设材料的泊松比 1 / 3, 当h / l 1 / 10 时，有
5ql 4 1 Cy 384EI [1 39]
可见此时剪力对位移的影响只是弯矩影响的1/39=2.56%, 所以通常可略去不计。
例18-2 试求图示刚架C点的转角，各杆的EI均为常数。
q
B
EI l EI C
A l
q
2
q 剪力方程为 F = (l-2x ) SP 2
q
2
F 1
x
A l/2
x
B
C
l/2
B
A l/2
C l/2
C点的竖向位移
cy 2(
l/2
0
l/2 k F F MM P S SP dx dx) 0 EI GA
1 l/2 x q k l/2 1 q 2 2[ (lx x )dx (l 2 x)dx] EI 0 2 2 GA 0 2 2 q l/2 2 3 kq l / 2 (lx x )dx (l 2 x)dx 0 0 2 EI 2GA
C
N
du P M d P FS dv P - FRiCi
单位荷载法
该式是平面杆件结构位移计算的一般公式，可以求结构上任何点的任 何位移。 计算结果若为正，则所求得实际位移方向与所假设单位力指向相同，为 负则相反。
18.4 荷载作用下的位移计算
如果结构只受到荷载作用，且不考虑支座位移的影响，则位移公式为
5ql 4 kql2 () 384EI 8GA
式中 第一项是弯矩的影响； 第二项是剪力的影响。
对矩形截面
k 1.2, A bh, I bh3 / 12, 代入上式，
得
5ql 4 24E h 2 [ 1 Cy 384EI 25G ( l ) ]
则 E / G 2(1 ) 8 / 3,
变形和位移条件。因此，位移计算是计算超静定结构的基础。
18.2 功与虚功原理
18.2.1 实功与虚功 1. 位移的表示方法
集中荷载F1作用点沿F1方向的位移，记为11。 第一个下标1表示此位移是与F1相对应的位移；
第二个下标1表示此位移是荷载F1引起的，如图示。
F1
1
11
A
2
21
B
2. 功的表示方法
续变形（位移状态），则力状态的外力在位移状态的相应位移上所做
的外力虚功总和（记为We ），等于力状态中变形体的内力在位移状态 的相应变形上所做内力虚功的总和（记为Wi ），即虚功方程
We Wi
注意：
1）虚位移或虚变形必须与结构的支承条件相协调并满足变形连续性
条件，它必须是结构的支承条件所允许发生的。 2）虚功原理在实际应用中有两种方式： 虚力原理——虚荷载法； 虚位移原理——虚位移法。


FN FNP kF F MMP dx dx S SP dx EA EI GA
式中
EA—— 抗拉刚度；
GA—— 抗剪刚度；
EI—— 抗弯刚度；
k—— 截面的切应力分布不均匀系数，只与截面形状有关，对于 矩形截面k=1.2，圆形截面k=10/9，薄壁圆环形截面k=2； Mp、FNP、FSP ——实际荷载引起的弯矩、轴力、剪力； Mp、FNP、FSP ——虚拟单位荷载引起的弯矩、轴力、剪力。
总内力虚功为 Wi FN du P M d P FS dv p 式中 ——沿每一杆的全长积分；
——对结构中所有相关杆件求和。
根据虚功方程有
F
C
Ri
Ci FN duP Md P FS dvP
即
F
18.1.2 位移计算的目的
• 计算结构位移的一个目的是为了校核结构的刚度。 校核结构的刚度，一般就是检验结构中的某一位移是否超过规 定的允许值，以防止结构因产生过大的变形而影响其正常的使 用。 • 计算结构位移的另一个目的是为了求解超静定结构。
在计算超静定结构的内力时，除了平衡条件外，还必须考虑结构的
3.虚功的两个状态
实功的力与位移彼此不独立，相互之间存在着一定的关系。 虚功的力和位移彼此是独立的。 F 由于小变形，故符合叠加原理。 图示变形可分解为两种彼此独立的状态。
F1 1
11
A
1
F2
1
12
2
22
B
A
2
21
B
A
F2 1
12
2
22
B
a）
b)
所谓力状态和位移状态，必须根据所讨论的虚功来确定。 例如，对虚功 W12 F1来说，图 a所示的状态是力状态，图b所示的是位 12
第18章 静定结构的位移计算
18.1 计算结构位移的目的 18.2 功与虚功原理
18.3 计算结构位移的一般公式 18.4 荷载作用下的位移计算 18.5 图乘法 18.6 支座移动时的位移计算
18.7 弹性体系的几个互等定理 小结
18.1 计算结构位移的目的
18.1.1 变形和位移
• 结构在荷载、温度变化、支座位移和制造误差等各种因素作用下 会发生变形。 • 结构的位移指结构中杆件横截面位置的改变，分线位移和角位移 两种。


F F l MMP dx N NP EI EA
例 18-1 试求图示矩形截面简支梁中点C的竖向位移Δ cy，并 比较弯矩和剪力对该位移的影响。梁的EI、GA均为常数。
q A l/2 C l/2 B
x
b
h
解：作虚拟状态，在C点加一竖向单位荷载F=1。
F 1
x
B
A l/2
C l/2
作实际状态的MP 、FSP 图，虚拟状态的M、FS 图。
q
x
A
l/2 C l/2 B
F 1
x
B
A
l/2
C l/2
设坐标原点在A点，由于对称，可以只取左半部分AC段进行计算 虚拟状态中AC段（0≤x≤l/2）上的弯矩方程为 剪力方程为 FS=1/2
M=x/2
实际状态中AC段的弯矩方程 M = (lx-x )
FN du P Md P FS dvP
式中微段的变形是由荷载引起的，以Mp、FNP、FSP表示实际状态中微段dx 上所受内力。由实际变形 F M 1 kF du P dx NP dx d p dx P dx dvP dx SP dx EI EA GA 得到
Wi Fdu Md FS dv
A
B
e）
B
dx
du


dx
dv
I R
d
式中

对所有杆求和； 对整根杆积分；
dx
3.变形体的虚功原理
设变形体在力系的作用下处于平衡状态（力状态），又设该变形体由 于别的与上述力系无关的原因作用下，发生符合约束条件的微小的连
l
代入得C点的转角为
MMP C EI dx
l ql 2 dx qx 2 dx (1) 0 (1) 0 2 EI 2 EI l
ql3 ql3 2ql3 2 EI 6 EI 3EI
(
)
例18-3 试求图示对称桁架节点I的竖向位移，各杆采用的型 钢规格已在图所示桁架的右半部分杆件旁标出。材料的弹性 模量E=2.06×105 MPa。
应注意实功算式前的系数1/2。
F b F1
0
11
a

（2）虚功：力在与其自身无关的相应位移上所做的功。 当 i j 时，Wij表示做功的力与产生位移的不是一个力。 位移 12是荷载 F2所引起，与荷载F1没有任何关系。
F1 1
12
A
F2 2
22
B
W12 F112
当位移与力的方向一致时，虚功为正功；方向相反时，虚功为负。 虚功算式前的系数为1。
移状态。但对虚功 W21 F2来说，如图 b所示的状态则是力状态，而 21
图a所示的是位移状态。
4. 广义力与广义位移
广义力：做功的力可以是一个集中力或一个集中力偶，也可以是一对 集中力或一对集中力偶，甚至可以是某一力系。 广义位移：与广义力相对应的位移，分别是线位移或角位移、相对线位 移或相对角位移。
• 截面的移动称为线位移，截面的转动称为角位移。
• 在平面结构的位移计算中，通常采用水平位移分量和竖直位移 分量来表示线位移。 • 通常将线位移、角位移、相对线位移及相对角位移统称为广义 位移，记为∆。
举例：
梁C截面的竖 直位移和转角
刚架C点的水平、 竖直位移和转角
平面悬臂刚架的变形及 自由端的位移和转角
解：作虚拟状态，在C点加的一个单位集中力偶 M =1。
作Mp 图 l
a)
C
EI
各杆的x坐标轴，水平杆以C点为原点，向左为正。 竖杆以B点为原点，向下为正。 则BC杆的弯矩方程为
2
q
B
x
EI
C
M P= AB杆为
qx 2
M = -1
l
EI
x
M P= -
ql
2
2
A
M = -1
欲求两截面的相对角位移，则在两截面处加一对方向相反的单位力偶。
欲求两点沿其连线方向上的相对线位移，就应该在此两点沿其连线方
向上加一对方向相反的单位集中力。 欲求桁架某杆的角位移时，则可在该杆的两端加一对大小等于杆长倒数、 与杆垂直但方向相反的集中力。
18.3 计算结构位移的一般公式
18.3.1 单位荷载法


FNP FNP F F l dx N NP 0 EA EA