2016年安徽省合肥市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合为自然数集，则下列选项正确的是（）A．M⊆{x|x≥1} B．M⊆{x|x＞﹣2}C．M∩N={0} D．M∪N=N2．若i是虚数单位，复数z满足（1﹣i）z=1，则|2z﹣3|=（）A．B．C．D．3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a9=1，S18=0，当S n取最大值时n的值为（）A．7 B．8 C．9 D．104．若a，b都是正数，则的最小值为（）A．7 B．8 C．9 D．105．已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M到焦点F的距离等于2p，则直线MF的斜率为（）A．B． C．±1 D．6．点G为△ABC的重心，设=，=，则=（）A．﹣B． C．﹣2D．27．由棱锥和棱柱组成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．14 B．C．22 D．8．执行下面的程序框图，则输出的n的值为（）A．10 B．11 C．1024 D．20489．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为（）A．20πB．24πC．28πD．32π10．已知实数x，y满足，若z=kx﹣y的最小值为﹣5，则实数k的值为（）A．﹣3 B．3或﹣5 C．﹣3或﹣5 D．±311．某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的前提下，学生C第一个出场的概率为（）A．B．C．D．12．定义在R上的偶函数f（x）的导函数为f′（x），若对任意的实数x，都有2f（x）+xf′（x）＜2恒成立，则使x2f（x）﹣f（1）＜x2﹣1成立的实数x的取值范围为（）A．{x|x≠±1} B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣1，1）D．（﹣1，0）∪（0，1）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．命题“”的否定是______．14．双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，记|F1F2|=2c，以坐标原点O为圆心，c为半径的圆与双曲线M在第一象限的交点为P，若|PF1|=c+2，则P点的横坐标为______．15．已知各项均为正数的数列{a n}前n项和为S n，若，则a n=______．16．若函数f（x）=x2（x﹣2）2﹣a|x﹣1|+a有4个零点，则a的取值范围为______．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知函数为偶函数，（1）求b；（2）若a=3，求△ABC的面积S．18．某品牌手机厂商推出新款的旗舰机型，并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时间（x个月）和市场y%（2）根据上述回归方程，分析该款旗舰机型市场占有率的变化趋势，并预测自上市起经过多少个月，该款旗舰机型市场占有率能超过0.5%（精确到月）附：．19．如图，六面体ABCDHEFG中，四边形ABCD为菱形，AE，BF，CG，DH都垂直于平面ABCD，若DA=DH=DB=4，AE=CG=3（1）求证：EG⊥DF；（2）求BE与平面EFGH所成角的正弦值．20．已知椭圆经过点，且离心率为，F1，F2是椭圆E的左，右焦点（1）求椭圆E的方程；（2）若点A，B是椭圆E上关于y轴对称两点（A，B不是长轴的端点），点P是椭圆E上异于A，B的一点，且直线PA，PB分别交y轴于点M，N，求证：直线MF1与直线NF2的交点G在定圆上．21．已知函数g（x）=ax3+x2+x（a为实数）（1）试讨论函数g（x）的单调性；（2）若对∀x∈（0，+∞）恒有，求实数a的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．如图，PA为四边形ABCD外接圆的切线，CB的延长线交PA于点P，AC与BD相交于点M，PA∥BD （1）求证：∠ACB=∠ACD；（2）若PA=3，PC=6，AM=1，求AB的长．23．在直角坐标系xOy中，曲线（α为参数），在以O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l：ρsinθ+ρcosθ=m（1）若m=0，判断直线l与曲线C的位置关系；（2）若曲线C上存在点P到直线l的距离为，求实数m的取值范围．24．已知函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣a|（a∈R）的最小值为a（1）求实数a的值；（2）解不等式f（x）≤5．2016年安徽省合肥市高考数学二模试卷（理科）答案与解析一、选择题1．若集合为自然数集，则下列选项正确的是（ ）A ．M ⊆{x|x ≥1}B ．M ⊆{x|x ＞﹣2}C ．M∩N={0}D ．M ∪N=N解：∵=[﹣2，1），N 为自然数集，故M ⊆{x|x≥1}错误；M ⊆{x|x ＞﹣2}错误；M∩N={0}正确；M ∪N=N 错误；选C2．若i 是虚数单位，复数z 满足（1﹣i ）z=1，则|2z ﹣3|=（ ）A ．B ．C ．D ．解：设z=a+bi ，则（1﹣i ）z=（1﹣i ）（a+bi ）=1， ∴（a+b ）+（b ﹣a ）i=1， ∴a+b=1，a ﹣b=0，∴a=b=，则|2z ﹣3|=|2（+i ）﹣3|=|﹣2+i|=，选B3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 9=1，S 18=0，当S n 取最大值时n 的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 9=1，S 18=0， ∴a 1+8d=1，18a 1+d=0，可得：a 1=17，d=﹣2．∴a n =17﹣2（n ﹣1）=19﹣2n ，由a n ≥0，解得，∴当S n 取最大值时n 的值为9．选C4．若a ，b 都是正数，则的最小值为（ ） A ．7 B ．8 C ．9D ．10解：∵a ，b 都是正数，则=5++≥5+2=9，当且仅当b=2a ＞0时取等号．选C5．已知抛物线y 2=2px （p ＞0）上一点M 到焦点F 的距离等于2p ，则直线MF 的斜率为（ ）A ．B ．C ．±1D ．解：抛物线的焦点为F （，0），准线方程为x=﹣．∵点M 到焦点F 的距离等于2p ，∴M 到准线x=﹣的距离等于2p ． ∴x M =，代入抛物线方程解得y M =±p ．∴k MF ==．选D6．点G 为△ABC 的重心，设=， =，则=（ ）A ． ﹣B ．C ．﹣2D ．2解：由题意知， +=，即+=，故=﹣2=﹣2 选C7．由棱锥和棱柱组成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．14B ．C ．22D ．解：由三视图可知：该几何体的体积V=4+×2=14．选A8．执行下面的程序框图，则输出的n的值为（）A．10 B．11 C．1024 D．2048解：模拟执行程序框图，可得n=1，S=1满足条件S≤2016，n=2，S=1+2=3满足条件S≤2016，n=4，S=3+4=7满足条件S≤2016，n=8，S=7+8=15满足条件S≤2016，n=16，S=15+16=31满足条件S≤2016，n=32，S=31+32=63满足条件S≤2016，n=64，S=63+64=127满足条件S≤2016，n=128，S=127+128=255满足条件S≤2016，n=256，S=255+256=511满足条件S≤2016，n=512，S=511+512=1023满足条件S≤2016，n=1024，S=1023+1024=2047不满足条件S≤2016，退出循环，输出n的值为1024．选C9．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为（）A．20πB．24πC．28πD．32π解：∵AB=AC=2，∠BAC=60°，∴由余弦定理可得BC=2，设△ABC外接圆的半径为r，则2r==4，∴r=2，设球心到平面ABC的距离为d，则由勾股定理可得R2=d2+22=22+（2﹣d）2，∴d=1，R2=5，∴三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为4πR2=20π．选A10．已知实数x，y满足，若z=kx﹣y的最小值为﹣5，则实数k的值为（）A．﹣3 B．3或﹣5 C．﹣3或﹣5 D．±3解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，2），联立，解得B（﹣2，﹣1），化z=kx﹣y为y=kx﹣z，由图可知，当k＜0时，直线过A时在y轴上的截距最大，z有最小值为k﹣2=﹣5，即k=﹣3；当k＞0时，直线过B时在y轴上的截距最大，z有最小值﹣2k+1=﹣5，即k=3．综上，实数k的值为±3．选D11．某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的前提下，学生C第一个出场的概率为（）A．B．C．D．解：方法一：“学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的出场顺序为：分为两类．第一类：A最后一个出场，从除了B之外的3人选1人安排第一个，其它的任意排，故有A31A33=18种，第二类：A不是最后一个出场，从除了A，B之外的3人选2人安排在，第一个或最后一个，其余3人任意排，故有A32A33=36种，故学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场的种数18+36=54种，“学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的前提下，学生C第一个出场的”的出场顺序为：分为两类第一类：学生C第一个出场，A最后一个出场，故有A33=6种，第二类：学生C第一个出场，A不是最后一个出场，从除了A，B之外的2人选1人安排在最后一个，其余3人任意排，故有A21A33=12种，故在“学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的前提下，学生C第一个出场的种数6+12=18种，故学生C第一个出场的概率为=，方法二：先排B，有A31（非第一与最后），再排A有A31（非第一）种方法，其余三个自由排，共有A31A31A33=54这是总结果；学生C第一个出场，先排B，有A31（非第一与最后），再排A有A31，C第一个出场，剩余2人自由排，故有A31A31A22=18种，故学生C第一个出场的概率为=，选A12．定义在R上的偶函数f（x）的导函数为f′（x），若对任意的实数x，都有2f（x）+xf′（x）＜2恒成立，则使x2f（x）﹣f（1）＜x2﹣1成立的实数x的取值范围为（）A．{x|x≠±1} B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣1，1）D．（﹣1，0）∪（0，1）解：当x＞0时，由2f（x）+xf′（x）﹣2＜0可知：两边同乘以x得：2xf（x）﹣x2f′（x）﹣2x＜0设：g（x）=x2f（x）﹣x2则g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）﹣2x＜0，恒成立：∴g（x）在（0，+∞）单调递减，由x2f（x）﹣f（1）＜x2﹣1∴x2f（x）﹣x2＜f（1）﹣1即g（x）＜g（1）即x＞1；当x＜0时，函数是偶函数，同理得：x＜﹣1综上可知：实数x的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），选B二、填空题13．命题“”的否定是．解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“”的否定是：14．双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，记|F1F2|=2c，以坐标原点O为圆心，c为半径的圆与双曲线M在第一象限的交点为P，若|PF1|=c+2，则P点的横坐标为．解：坐标原点O为圆心，c为半径的圆的方程为x2+y2=c2，由，解得x2=，由|PF1|=c+2，由双曲线的定义可得|PF2|=|PF1|﹣2a=c+2﹣2=c，在直角三角形PF1F2中，可得c2+（c+2）2=4c2，解得c=1+，由c2=a2+b2=1+b2，可得b2=3+2，可得P的横坐标为=．答案：．15．已知各项均为正数的数列{a n}前n项和为S n，若，则a n=．解：由S1=2，得a1=S1=2，由，得，又a n＞0，∴2S n=S n+a n+1，即S n=a n+1，当n≥2时，S n﹣1=a n，两式作差得：a n=a n+1﹣a n，即，又由，求得a2=2，∴当n≥2时，．验证n=1时不成立，∴，16．若函数f（x）=x2（x﹣2）2﹣a|x﹣1|+a有4个零点，则a的取值范围为．解：函数f（x）=x2（x﹣2）2﹣a|x﹣1|+a有4个零点，转化为：x2（x﹣2）2﹣a|x﹣1|+a=0由4个根，即y=x2（x﹣2）2；y=a|x﹣1|﹣a=两个函数的图象有4个交点，在同一个直角坐标系中画出两个函数的图象，如图：当a＜0时，如图中蓝色的折线，函数有4个零点，可得﹣1＜a＜0；当a＞0时，如图中的红色折线，此时函数有4个零点．满足题意．综上：a∈（﹣1，0）∪（0，+∞）三、解答题17．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知函数为偶函数，（1）求b；（2）若a=3，求△ABC的面积S．解：（1）在△ABC中，由f（x）为偶函数可知，所以又0＜B＜π，故所以…（2）∵，b=，∴由正弦定理得sinA==，∴A=或，当A=时，则C=π﹣﹣=，△ABC的面积S==当时，则C=π﹣﹣==，△△ABC的面积S===18．某品牌手机厂商推出新款的旗舰机型，并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时间（x个月）和市场占有率（y%（1（2）根据上述回归方程，分析该款旗舰机型市场占有率的变化趋势，并预测自上市起经过多少个月，该款旗舰机型市场占有率能超过0.5%（精确到月）附：．解：（1）根据表中数据，计算=×（1+2+3+4+5）=3，=×（0.02+0.05+0.1+0.15+0.18）=0.1；∴==0.042，∴=0.1﹣0.042×3=﹣0.026，所以线性回归方程为；…（2）由上面的回归方程可知，上市时间与市场占有率正相关，即上市时间每增加1个月，市场占有率都增加0.042个百分点；由，解得x≥13；预计上市13个月时，市场占有率能超过0.5%．…19．如图，六面体ABCDHEFG中，四边形ABCD为菱形，AE，BF，CG，DH都垂直于平面ABCD，若DA=DH=DB=4，AE=CG=3（1）求证：EG⊥DF；（2）求BE与平面EFGH所成角的正弦值．解：（1）连接AC，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∵BF⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BF，又BD⊂平面BDF，BF⊂平面BDF，BD∩BF=B，∴AC⊥平面BDF，∵AE∥CG，AE=CG，∴四边形AEGC是平行四边形，∴EG∥AC，∴EG⊥平面BDF，又DF⊆平面BDF，∴EG⊥DF．（2）设AC∩BD=O，EG∩HF=P，∵四边形ABCD为菱形，AE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，∴AD∥BC，AE∥BF，∴平面ADHE∥平面BCGF，∴EH∥FG，同理可得：EH∥HG，∴四边形EFGH为平行四边形，∴P为EG的中点，又O为AC的中点，∴OP∥AE，AE=OP，∴OP⊥平面ABCD，又OA⊥OB，所以OA，OB，OP两两垂直，∵OP=（BF+DH），∴BF=2．以O为原点建立空间直角坐标系O﹣xyz，∵△ABD是等边三角形，AB=4，∴OA=2．∴E（2，0，3），P（0，0，3），F（0，2，2），B（0，2，0）．∴=（2，﹣2，3），=（2，0，0），=（0，2，﹣1）．设平面EFGH的一个法向量为，则，∴，令y=1，得．设BE与平面EFGH所成角为θ，则．20．已知椭圆经过点，且离心率为，F1，F2是椭圆E的左，右焦点（1）求椭圆E的方程；（2）若点A，B是椭圆E上关于y轴对称两点（A，B不是长轴的端点），点P是椭圆E上异于A，B的一点，且直线PA，PB分别交y轴于点M，N，求证：直线MF1与直线NF2的交点G在定圆上．解：（1）∵椭圆经过点，且离心率为，∴由条件得，解得，∴椭圆C的方程证明：（2）设B（x0，y0），P（x1，y1），则A（﹣x0，y0）直线PA的方程为，令x=0，得故，同理可得，，∴=∴F1M⊥F2N，∴直线F1M与直线F2N交于点G在以F1F2为直径的圆上．21．已知函数g（x）=ax3+x2+x（a为实数）（1）试讨论函数g（x）的单调性；（2）若对∀x∈（0，+∞）恒有，求实数a的取值范围．解：（1）g'（x）=3ax2+2x+1（i）当a=0时，g（x）在单调减和单调增；（ii）当a≠0时，△=4﹣12a，当时，g'（x）=3ax2+2x+1≥0恒成立，此时g（x）在R单调增；当时，由g'（x）=3ax2+2x+1=0得，，g（x）在（x1，x2）单调减，在（﹣∞，x1）和（x2，+∞）单调增；当a＜0时，g（x）在（x2，x1）单调增，在（﹣∞，x2）和（x1，+∞）单调减；（2）令，则因此，f（x）在（0，1）单调减，在（1，+∞）单调增∴f min（x）=f（1）=1当a＞﹣1时，g（1）=a+2＞1=f（1），显然，对∀x∈（0，+∞）不恒有f（x）≥g（x）；当a≤﹣1时，由（1）知，g（x）在（0，x1）单调增，在（x1，+∞）单调减，，即所以，在（0，+∞）上，，又所以，即满足对∀x∈（0，+∞）恒有f（x）≥g（x）综上，实数a∈（﹣∞，﹣1]．22．如图，PA为四边形ABCD外接圆的切线，CB的延长线交PA于点P，AC与BD相交于点M，PA∥BD （1）求证：∠ACB=∠ACD；（2）若PA=3，PC=6，AM=1，求AB的长．（1）证明：∵PA为切线，∴∠PAB=∠ACB．∵PA∥BD，∴∠PAB=∠ABD=∠ACD，∴∠ACB=∠ACD…（2）解：已知PA=3，PC=6，AM=1，由切割线定理PA2=PB•PC得：，∵PA∥BD，得又知△AMB～△ABC，所以所以AB2=AM•AC=4，所以AB=223．在直角坐标系xOy中，曲线（α为参数），在以O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l：ρsinθ+ρcosθ=m（1）若m=0，判断直线l与曲线C的位置关系；（2）若曲线C上存在点P到直线l的距离为，求实数m的取值范围．解：（1）曲线（α为参数），曲线C的直角坐标方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，是一个圆；圆心（1，1），半径为：．直线l：ρsinθ+ρcosθ=0，可得直线l的直角坐标方程为：x+y=0圆心C到直线l的距离，所以直线l与圆C相切（2）由已知可得：圆心C到直线lx+y=m的距离，解得﹣1≤m≤524．已知函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣a|（a∈R）的最小值为a（1）求实数a的值；（2）解不等式f（x）≤5．解：（1）f（x）=|x﹣4|+|x﹣a|≥|4﹣a|=a，从而解得a=2…（2）由（1）知，f（x）=|x﹣4|+|x﹣2|=，综合函数y=f（x）的图象知，解集为。