二项式定理知识点及题型归纳总结知识点精讲一、二项式定理()nn n r r n r n n n n n nb a C b a C b a C b a C b a 01100+⋯++⋯++=+--()*Nn ∈.展开式具有以下特点： （1）项数：共1+n 项.（2）二项式系数：依次为组合数nn n n n C C C C ，⋯,,,21.（3）每一项的次数是一样的，都为n 次，展开式依a 的降幂、b 的升幂排列展开.特别地，()nn n n n n x C x C x C x +⋯+++=+22111.二、二项式展开式的通项（第1+r 项）二项式展开的通项为r r n r n r b a C T -+=1().,,3,2,1,0n r ⋯=.其中rn C 的二项式系数.令变量（常用x ）取1，可得1+r T 的系数.注 通项公式主要用于求二项式展开式的指数、满足条件的项数或系数、展开式的某一项或系数.在应用通项公式时要注意以下几点： ①分清r rn rn b aC -是第1+r 项，而不是第r 项；②在通项公式r r n r n r b a C T -+=1中，含n r b a C T rn r ,,,,,1+这6个参数，只有n r b a ,,,是独立的，在未知n r ,的情况下利用通项公式解题，一般都需要先将通项公式转化为方程组求n 和r . 三、二项式展开式中的系数 （1）二项式系数与项的系数二项式系数仅指nn n n n C C C C ，⋯,,,21而言，不包括字母b a ,所表示的式子中的系数.例如：()nx +2的展开式中，含有r x 的项应该是n r n r n r x C T -+=21，其中r n C 叫做该项的二项式系数，而rx 的系数应该是r n r n C -2（即含r x 项的系数）.（2）二项式系数的性质①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即22110,,--===n n n n n n n n n C C C C C C ，…，r n n r n C C -=.②二项展开式中间项的二项式系数最大.如果二项式的幂指数n 是偶数，中间项是第12+n 项，其二项式系数n n C 2最大；如果二项式的幂指数n是奇数，中间项有两项，即为第21+n 项和第121++n 项，它们的二项式系数21-n n C 和21+n n C 相等并且最大. （3）二项式系数和与系数和 ①二项式系数和011+12n nnn n n C C C ++⋯+==（） .奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，02413512n n n n n n n C C C C C C -+++⋯=+++⋯=即 .②系数和求所有项系数和，令1x =；求变号系数和，令1x =-；求常数项，令0x =。

题型归纳及思路提示题型1 二项式定理展开式的应用思路提示 对二项展开式的认识不仅要关注展开式中对各项的特点，更重要的是要理解等式两边的关系，右边是左边n 个因式a b +积的结果，而左边是右边各项和的结果，这就为此类问题的解决提供了思考的方向和解决的思路。

例12.30 用计数原理证明：()011222nn n n n r n n r n n rn n na b c a c a b c b c b c a b a ---+=++++++ (),0,1,2,,n N r n *∈=⋯.解析: ()()()()nn a b a b a b a b +=+++个，其展开式的通项为n r r r A a b -，是由n 个()a b +中的()n r -个()a b +中每一个取a ，r 个()a b +中每一个取b 相乘取得的，这样的取法（只需从r 个()a b +中取b ，自然剩余()n r -个()a b +中取a ）共有r n C 种，即rr n A C = ()0,1,2,r n =⋯.故 ()011222nn n n n r n n r n n rn n na b c a c ab c b c b c a b a ---+=++++++变式1 在()()()()()12345x x x x x -----的展开式中，x 的系数为（ ） A. 15- B. 85 C. 120- D. 274变式2 在()5242x x ++的展开式中，x 的系数为________（用数字作答）.变式3 512x x ⎛+ ⎝ 的展开式中整理后的常数项为_________（用数字作答）.题型2 二项展开式通项的应用 思路提示二项展开式的通项从微观角度反映了二项展开式的全貌，是展开式的缩影，它可以用于求二项展开式的任意指定项及其系数等。

例12.31 （1）()522121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是（ ）A. 3-B. 2-C. 2D. 3(2)((3511+展开式中x 的系数为（ ）A. 4-B. 2-C. 2D. 4解析：（1）利用计数原理求解，当左边因式取2，所得常数项为()555212C -=-，当左边因式取2x ， 所得常数项为4515C ⋅=，故展开式中常数项为253-+= ，故选D .(3211128x +=++（）(511510105x x x -=-+ .故((3511+展开式中含x 的项()1101122x x x ⨯-+⨯= .故选C .变式1 ()()10211xx -+展开式中5x 的系数为_________。

变式2 (10611⎛⎝展开式中的常数项为_____________。

变式3 已知()2311nx x x x ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭的展开式中没有常数项，n N *∈，且28n ≤≤，n =_____.例12.32 （1）求证：()222,3nn n N n ≥+∈≥ .（2）求证：()12132,nn n N n *⎛⎫<+<≥∈ ⎪⎝⎭.解析 （1）因为()01211n n nn n n C C C =+=++⋯+，又3n ≥，n N *∈，所以()11n+展开式至少有4项，即 01-101-1++222n n n nn n n n n n n n n C C C C C C C n C ≥=++⋯++++=.证毕.（2）首先2n ≥，显然有()()()122231121111111!1111+2!3!!nn n n n n nn n n n n n C C C n n n n n n n n ---⎛⎫+=+++⋯++=+⋅+⋅+⋅ ⎪⎝⎭()1111111112332!3!!12231n n nn <++++⋯+<+++⋯+=-<⨯⨯- ；同时1111111112nn n nn n c c C n n n n ⎛⎫+=++⋯+>+= ⎪⎝⎭ （至少有3项），故有()12132,nn n N n *⎛⎫<+<≥∈ ⎪⎝⎭. 变式1 ,a b R ∈，0,a b n N *+≥∈.求证：22nn n a b a b ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭.变式2 求证：()()()()21221n n nn n n n N *+≥+-∈ .变式3 对于n N *∈，求证：111111nn n n +⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭.例12.33 (1)9a x ⎛ ⎝展开式中3x 的系数为94，a =________.(2)8的展开式中常数项为（ ）A.3516B.358 C.354D.105解析 （1）919r rrr a T c x -+⎛⎛⎫=⎪ ⎝⎭⎝，令x=1得系数为99rr rc a -⎛ ⎝，x 的幂=()9399221rr r rr x x xx ----⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭⇒399219rr r rr T C a x--+⎛= ⎝，由展开式中的错误!未找到引用源。

的系数为94，得99393294r r r r c a -⎧-=⎪⎪⎨⎛⎪= ⎪⎝⎩，⇒48a r =⎧⎨=⎩ 。

88284222188881112222=r rr r rrrr r r r r r rT CC x x C x C x -----+⎛⎫=⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭（），令40r -=，得r=4，即常数项为458413528T C =⋅=.故选B 。

变式118x ⎛- ⎝的展开式中含15x 的项的系数为____________(用数字作答)。

变式 2设二项式6x ⎛ ⎝(0a >)的展开式中3x 的系数为A ，常数项为B ，若B=4A ，则a 的值为___________。

变式 3 ()10x y -展开式中37x y 与73x y 的系数和为____________(用数字作答)。

例12.34()20x +展开式中系数为有理数的项共有________项。

解析：)20120rrrr T C x-+==错误!未找到引用源。

(0,1,2,20r =)依题意，r 为4的整数倍，0,4,8,12,16,20r =.故展开式中系数为有理项的项共有6项。

变式1n⎫的第三项和第二项系数之比为11：2，求展开式中有理项有多少个？ 变式2 (51a =+,a b 为有理数)，则a b +=（ ）A. 45B. 55C. 70D. 80变式3 1nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 展开式中存在常数项，正整数n 的最小值为__________.题型3 二项展开式的系数和问题 思路提示有关系数和的问题不仅要注意二项式系数和的结果，重要的是研究二项式系数所用的方法即赋值法，这里就需要读者根据题目结合已知条件进行赋值。

例12.35 已知()712x -=270127a a x a x a x +++.求（1）127a a a ++⋯+； （2）1357a a a a +++； （3）0246a a a a +++； （4）017a a a ++⋯+.解析 令1x =，则01271a a a a ++⋯++=-①令1x =-，则7012345673a a a a a a a a -+-+-+-=.② (1)因为0071a c ==，所以127a a a ++⋯+=2-.(2)(①-②)÷2得1357a a a a +++=1094-.(3) (①+②)错误!未找到引用源。

得02461093a a a a +++=(4) 解法一：因为展开式中0246,,,a a a a 大于零，而1357,,,a a a a 小于零，所以017a a a ++⋯+=（0246a a a a +++）-（1357a a a a +++）=2187.解法二：017a a a ++⋯+即为展开式()712x +中各项的系数和，故只需要对()712x +中令1x =即可得017a a a ++⋯+的值等于73=2187.评注： 求关于展开式中的系数和问题，往往根据展开式的特点给其中字母一些特殊的数值，如1，-1等，此即赋值法。