当x
L,0
A x e ik x L
B e ik x L x
用 Ax B x代 入
0
A x e ik x L
A e ik x L x
移 项 ： A x e ik x L A x e ik L
co s k x L i sin k x L co s k x L i sin k x L
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三维无限深势阱中
0 当 0x,y,zL
Ux,y,x
当 x,y,z0及 x,y,zL
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• 边界条件:在势箱中运动的电子.
在 x 0 , 及 x L 处 ， （1 x ） = 0 ( 驻 波 条 件 )
当 x 0 ，0 A x B x A x B x
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d
2 1 ( x ) dx2
k
2 x
1
(
x
)
d
2 2 ( y ) dy2
k
2 y
2
(
y
)
d
2 3 ( z ) dz2
k
2 z
3
(
z
)
• 方程的解:
21((yx))
Ax eikx x Ayeiky y
B eikxx x
Byeiky y
3 ( z)
Azeikz z
B eikz z z
VgEdE
能态密度： 每单位体积在单位能量 间隔内的状态数目
gE42hm2 32E12
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f E,T
能量E 状态被6电.1子.2填电充子的气几的率基态
电子气服从费米-狄拉克统计
表示化学势
fE,TexE p1/kBT1
物理意义：
化学势或费米能量，在体积不变的条件下，
系统增加一个电子所需的自由能。 是温度T和电子数N的函数。
i sin k x L i sin k x L
只 有 当 sin k x L 0
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同理：
sin k y L 0
sin kz L 0
k k
x y
L L
k z L
nx n y nz
kx ,ky kz
nx
L
n y
L
nz
L
(
n
x
,
n
y
,
n
z
0任 意 正 整 数)
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假定正电荷均匀分布， 每个自由电子的势能是一常数
22r Er
2m
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2
2(x, y, z) E(x, y, z)分离变量： 2m
(x, y, z) （ 1 x)（ 2 y)（ 3 z）
令E=
2k2 2m
2
2m(kx2 ky2 kz2)
E mv2 , pmv,E p2 ,P k,
1 ( x ) 2 ( y ) 3 ( y ) 1 ( x) Ax sin k x x 2 ( y ) Ay sin k y y 3 ( z ) Az sin k z z
A sin k x x sin k y y sin k z z
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• 只剩下正弦项,余弦项为零.
2
2m
令E= 2k2 2m
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2
2
2m2(x,y,z)2m(kx2ky2kz2)(x,y,z)
2
2 x2
2 y2
2 z2
原 式 =d2 dx 1(2x)2(y)3(z)d2 dy 2(2y)1(x)3(z)d2 dz3(2z)1(x)2(y) (kx 2ky 2kz2)1(x)2(y)3(z)
第六章 金属电子论
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H ˆ(r )E (r )
定态薛定谔方程
2 m 2 2U(r)(r)E(r)
•从数学上讲 给定一个E 就有相应的解 •从物理上讲 只有特殊的E 才能得到满足
物理要求的解 这就意味着能量只能取分立的值--量子化
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6.1 金属自由电子气的量子理论 6.1.1 自由电子能级和能态密度
k
y
k
z
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2 n x
L
2 n y
L
2 n z
L
• 电子波函数:
Ae Ae ikr
i(kxxkyykzz)
• 波函数归一化:
L
0
x
x
L 0
Ax2e 0d x
1,
A
2 x
L
1, A x
1
1
L2
A Ax Ay Az
1
3
L2
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得出
r 1 eikr V 电子的波函数是平面波
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N0VfE,TgEdE
化学势依赖于T 和电子气的数密度n=N/V
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绝对零度，电子气系统处于基态
1
lim
f
E,T
T 0
0
物理意义
当 E0
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N EFVgEdE 0
EF
2
k
2 F
2m
kF 32n13
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• A为归一化常数,电子能量:
2
E
2m
(kx2
k
2 y
kz2 )(
h)
2
E
h2
8 2m
(nx2
ny2
nz2 )
2
L2
E
h2 8mL2
(nx2
ny2
nz2 )
粒子的状态由一组正整数（n x ,ny ,nz）来确定，
• 推广到无限个线度都是L的势阱
• 各个势阱相应位置波函数相等:
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1(x)1(xL)
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• 两边同除 1(x)2(y)3(z)
d21(x) d22(y) d23(z)
dx2
1(x)
dy2
2(y)
dz2
3(z)
(kx2ky2kz2)
分离变量:
d 21 ( x ) k x21 ( x ) 0 d 2 2 ( y ) k y2 2 ( y ) 0 d 2 3 ( z ) k z2 3 ( z ) 0
A x e ik x x
B e ik x x x
A e ik x ( x L ) x
B e ik x ( x L ) x
e e i k x x
ik x ( x L )
e i k x L 1即 ：c o s k x L i s i n k x L 1
k x L 2 n x
k
x
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电子的动量 p k速度
周期性边界条件
v k m
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当 L
行进的平面波 无限空间的平面波
波矢由分立值
连续变化的值
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2021/1/15
波矢空间每个状态代表点所占体积
2
3
L
K 空间单位体积中含有代表点的数目等于
L
2
3
V
2 3
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k 到 k dk 的体积元 dk dkxdkydkz 中
dZ22V 3dk4V 3dk
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能量E到E+dE之间球壳的体积 即波矢 k 2mE 到 k dk
4k2dk
其状态数
dZ V 4k2dk 43
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dk
2m dE 2E
d
3
Z4V2hm2 2
1
E2dE