对于序列x(n)，如果对所有n 存在一个最小的正整 数N，满足
x(n)= x(n+N)
则序列x(n)是周期序列 ，最小周期为N 。
以正弦序列 为例讨论周期性
设
x(n)= Asin(ωn+φ)
则有
x(n+N) =Asin[ω(n+N)+φ]
=Asin(ωN+ωn+φ)
若满足条件ωN= 2kπ，则
x(n+N)= Asin[ω(n+N)+φ] = Asin(ωn+φ) = x(n)
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例：证明一个时不变系统
例1.7 试分析下列系统的时不变性
(1) y(n)= 2x(n)-3， (2) y(n)= x(Mn)，其中M为正整数。
二者相等 ，具有时不变 性
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时变系统
(1) y(n)= 2x(n)-3， (2) y(n)= x(Mn)，其中M为正整数。
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不满足叠
加原理，非线性系
统
满足叠加
原理，线性系统
时不变系统
输入序列x (n)移动任意m 位后，输出序列y (n)也移动m 位，数值却保持不变。
m 为任意常整数 时不变系统也称为移不变系统
例：卷积和计算
例1.3 设序列 求y(n)= x(n)*z(n) 。 解：
对应点相乘！
n＜0时，x(m)与z(n-m) 没有重叠，得y(n)=0。
0≤n≤4时，
勇于开始，才能找到成
功的路
对应点相乘！
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例：卷积和计算
4＜n≤6时，
4＜n≤6时，
n＞10时，x(m)与z(n-m)没有重叠，得y(n)= 0。
(1.2)
表示两个序列的和，定义为同序号 的序列值逐项对应相加。
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例：序列的和
例1.1 设序列
计算序列的和x(n)+ y(n)。 解：
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例：序列求和图示
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基本运算—序列的积
设序列为x(n)和y(n)，则序列
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1.2.5 用单位脉冲序列表示任意序列
任何序列都可以用单位脉冲序列的移位加权和来 表示，即 x(n) 可看成是x(n)和δ(n)的卷积和，式中
例1.6
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1.3 离散时间系统
离散时间系统的定义及表示 线性时不变系统 单位脉冲响应与卷积和 线性时不变系统的性质 因果系统和稳定系统
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图1.1 序列的图形表示
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1.2.2 序列的基本运算
和 积 移位 标乘 翻转
累加 差分 时间尺度变换 序列的能量 卷积和
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基本运算—序列的和
设序列为x(n)和y(n)，则序列
z(n)= x(n)+ y(n)
信号的分类
连续时间信号：
连续时间域内的信号 幅度可以是连续数值，或是离散数值
离散时间信号：
离散时间点上的信号 幅度同样可以是连续数值，或是离散数值
特殊形式：模拟信号和数字信号
模拟信号：时间和幅度都是连续数值的信号，实际 中与连续时间信号常常通用。
数字信号：时间和幅度都离散化的信号。
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信号与信息
信号是信息的表现形式
信息则是信号的具体内容
交通灯信号传递的信息：红灯停而绿灯行。
信号是传递信息的函数
数学上表示成一个或多个独立变量的函数 一维变量：时间或其它参量
语音信号表示为一个时间变量的函数 静止图像信号表示为两个空间变量的亮度函数
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例：序列移位图示
x(n)
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基本运算—序列的标乘
设序列为x(n)，a为常数(a≠ 0)，则序 列
y(n)= ax(n)
(1.5)
表示将序列x(n)的标乘，定义为各序 列值均乘以a，使新序列的幅度为原序列 的a倍。
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2π/ω为有理数而非整数时，仍然是周期序列 ，周期大于2π/ω。
例1.5 序列
，2π/ω= 8/3
是有理数，所以是周期序列，取k= 3，得到周期N=
8。 2π/ω为无理数时，任何k 都不能使N 为正整 数，这时正弦序列不是周期序列。
例 序列
指数为纯虚数的复指数序列的周期性与正弦序列 的情况相同。
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卷积和计算的四个步骤
翻转：x(m) ，z(m) →z(-m) 移位：z(-m) → z(n-m)
n为正数时，右移n位 n为负数时，左移n位
相乘：z(n-m) • x(m) （m值相同） 相加：y(n) =∑{z(n-m) • x(m)}
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1.3.1 离散时间系统的定义及表示
离散时间系统定义为将输入序列x(n)映射成输 出序列y(n)的惟一变换或运算。 以T [·]表示这种运算
y(n)= T[x(n)]
对变换T [·]加以不同的约束条件，所定义的 系统就具有不同的特性和功能。 线性时不变系统: 最重要、最常用，可表征许 多物理过程。
设序列为x(n)，则序列
y(n)= x(n-m) 表示将序列x(n)进行移位。
(1.4)
m为正时
x(n -m)：x(n)逐项依次延时(右移)m位 x(n+m)：x(n)逐项依次超前(左移)m位
m为负时，则相反。
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例：序列的移位
例1.1 设序列
计算序列的和x(n+1)。 解：
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基本运算—序列的累加
设序列为x(n)，则序列 (1.7)
定义为对x(n)的累加，表示将n 以前的 所有x(n)值求和。
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基本运算—序列的差分
前向差分：将序列先进行左移，再相减
Δx(n) = x(n+1)- x(n)
(1.8)
后向差分：将序列先进行右移，再相减
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本章主要内容
离散时间信号的基本概念 离散时间系统的定义及其性质 线性常系数差分方程及其求解方法 理想取样：连续时间信号数字处理 的概念和基本方法 Matlab实现
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1.2 离散时间信号——序列
序列的定义及表示 序列的基本运算 几种常用序列 序列的周期性 用单位脉冲序列表示任意序列
▽x(n) = x(n)- x(n-1)
(1.9)
由此，容易得出 ▽x(n) = Δx(n-1)
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多阶差分运算
二阶前向差 分 二阶后向差分
单位延迟算子D，有 Dy(n)= y(n-1)
▽y(n)= y(n)- y(n-1)= y(n)- Dy(n)= (1- D)y(n) ▽= 1-D
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周期性讨论
N、k 为整数，k 的取值满足条件，且保证
N 最小正整数。其周期为
2π/ω为整数时，取k = 1，保证为最小正整数 。此时为周期序列，周期为2π/ω。
例1.4 序列
，因为2π/ω=
8，所以是一个周期序列，其周期N= 8。
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周期性讨论
线性系统
设系统的输入序列与输出分别为
可加性: 如果系统的输入之和与输出之和满足
齐次性(或比例性): 设a为常数，系统的输入 增大a倍，输出也增大a倍
线性系统与非线性系统
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例：证明一个线性系统
注意：必须证明系统同时满足可加性和齐次性，且
信号及比例常数都可以是复数。
例1.7 试分析下列系统的线性
z(n)= x(n) • y(n)
(1.3)
表示两个序列的积，定义为同序号 的序列值逐项对应相乘。
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例：序列的积
例1.1 设序列
计算序列的和x(n) • y(n)。 解：
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例：序列求积图示
x(n)
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基本运算—序列的移位
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实指数序列
• 当|a|＜1时序列收敛
•a为实数
• 当|a|＞1时序列发散
勇于开始，才能找到成 功的路
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正弦序列
x(n)= Asin(ωn+φ)
• x(n)由x(t)= sinΩt 取样得到
•A为幅度 •ω为数字域角频率 •φ为起始相位
基本运算—序列的能量
设序列为x(n)，则序列
(1.12)
定义为序列的能量，表示序列各取样值 的平方之和；
若为复序列，取模值后再求平方和。
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基本运算—序列的卷积和
设序列为x(n)和z(n)，则序列
(1.13) 定义为x(n)和z(n)的卷积和。卷积和又 称为离散卷积或线性卷积，是很重要的公 式。
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单位阶跃序列
u(n)类似于u(t) u(t)在t= 0时常不定义， u(n)在n= 0时为u(0)= 1