实验一 离散时间信号与系统分析一、实验目的1．掌握离散时间信号与系统的时域分析方法。
2．掌握序列傅氏变换的计算机实现方法，利用序列的傅氏变换对离散信号、系统及系统响应进行频域分析。
3．熟悉理想采样的性质，了解信号采样前后的频谱变化，加深对采样定理的理解。
二、实验原理1．离散时间系统一个离散时间系统是将输入序列变换成输出序列的一种运算。
若以][⋅T 来表示这种运算，则一个离散时间系统可由下图来表示：图 离散时间系统输出与输入之间关系用下式表示)]([)(n x T n y =离散时间系统中最重要、最常用的是线性时不变系统。
2．离散时间系统的单位脉冲响应设系统输入)()(n n x δ=，系统输出)(n y 的初始状态为零，这是系统输出用)(n h 表示，即)]([)(n T n h δ=，则称)(n h 为系统的单位脉冲响应。
可得到：)()()()()(n h n x m n h m x n y m *=-=∑∞-∞= 该式说明线性时不变系统的响应等于输入序列与单位脉冲序列的卷积。
3．连续时间信号的采样采样是从连续信号到离散时间信号的过渡桥梁，对采样过程的研究不仅可以了解采样前后信号时域何频域特性发生的变化以及信号内容不丢失的条件，而且有助于加深对拉氏变换、傅氏变换、Z 变换和序列傅氏变换之间关系的理解。
对一个连续时间信号进行理想采样的过程可以表示为信号与一个周期冲激脉冲的乘积，即：)()()(ˆt t x t xT a a δ=其中，)(ˆt xa 是连续信号)(t x a 的理想采样，)(t T δ是周期冲激脉冲 ∑∞-∞=-=m T mT t t )()(δδ 设模拟信号)(t x a ，冲激函数序列)(t T δ以及抽样信号)(ˆt xa 的傅立叶变换分别为)(Ωj X a 、)(Ωj M 和)(ˆΩj X a，即 )]([)(t x F j X a a =Ω)]([)(t F j M T δ=Ω)](ˆ[)(ˆt x F j X a a=Ω 根据连续时间信号与系统中的频域卷积定理，式（2.59）表示的时域相乘，变换到频域为卷积运算，即)]()([21)(ˆΩ*Ω=Ωj X j M j X a a π其中⎰∞∞-Ω-==Ωdt e t x t x F j X t j a a a )()]([)( 由此可以推导出∑∞-∞=Ω-Ω=Ωk s a a jk j X T j X )(1)(ˆ 由上式可知，信号理想采样后的频谱是原来信号频谱的周期延拓，其延拓周期等于采样频率。
根据香农定理，如果原信号是带限信号，且采样频率高于原信号最高频率的2倍，则采样后的离散序列不会发生频谱混叠现象。
4．有限长序列的分析对于长度为N 的有限长序列，我们只观察、分析在某些频率点上的值。
⎩⎨⎧-≤≤=n N n n x n x 其它010),()(一般只需要在π2~0之间均匀的取M 个频率点，计算这些点上的序列傅立叶变换：∑-=-=10)()(N n jn j k k e n x e X ωω其中，M k k /2πω=，1,,1,0-=M k 。
)(ωj e X 是一个复函数，它的模就是幅频特性曲线。
三、主要实验仪器及材料微型计算机、Matlab 软件（或TC 编程环境）。
四、实验内容1．知识准备认真复习离散信号与系统、单位脉冲响应、抽样定理等有关内容，阅读本实验原理与方法。
2．编制信号产生子程序，用于产生实验中要用到的信号序列（1）单位脉冲序列单位脉冲序列⎩⎨⎧≠===0,00,1)()(n n n n x b δ （2）系统单位脉冲响应序列)3()2(5.2)1(5.2)()(-+-+-+=n n n n n h b δδδδ（3）理想采样信号序列对信号)()cos()(t u t Ae t x t a Ω=-α进行理想采样，可以得到一个理想的采样信号序列)()cos()(n u nT Ae nT x nT Ω=-α，1000≤≤n 。
其中A 为幅度因子，α是衰减因子，Ω是频率，T 为采样周期。
这几个参数要在实验过程中输入，以产生不同的)(n x 。
首先产生理想采样信号序列a x (n)，使A ＝444.128, a =50π2,Ω=50π2。
然后改变参数A ＝1，a =0.4,Ω=2.0734，产生理想采样信号序列a x (n)。
3．离散信号、系统和系统响应的分析观察信号x b (n )和系统h b (n )的时域和频域特性；利用线性卷积求信号通过系统以后的响应。
比较系统响应和信号的时域和幅频特性。
注意它们之间有无差异，绘出图形。
4．分析理想采样信号序列的特性产生理想采样信号序列，使：（1）首先选用采样频率为1000Hz ，T=1/1000，观察所得理想采样信号的幅频特性，在折叠频率以内和给定的理想幅频特性无明显差异，并作记录。
（2）改变采样频率为300Hz ，T=1/300，观察所得理想采样信号的幅频特性曲线的变化，并作记录。
（3）进一步减小采样频率为200Hz ，T=1/200，观察频谱混叠现象是否明显存在，说明原因，并记录此时的幅频特性曲线。
5. 卷积定律的验证。
采用参数A ＝444.128, a =50π2,Ω=50π2， T=1/1000，将)(n x a 和系统)(n h b 的傅氏变换相乘，直接求得)(k j e Y ω，将得到的幅频特性曲线和先求)(n y 后再求得的幅频特性曲线进行比较，观察二者有无差异。
验证卷积定律。
五、思考题1．线性时不变系统的输出的长度与输入和系统的单位冲激响应的长度有什么关系？2. 对信号进行理想抽样时，抽样频率不同，相应理想采样序列傅立叶变换频谱的数字频率度量是否都相同7它们所对应的模拟频率是否相同?为什么？六、实验报告要求1．简述实验原理及目的。
2. 总结在上机实验内容中要求比较时域、幅频曲线差异部分内容的结果，定性分析它们正确与否，并简要说明这些结果的含义。
3.总结实验所得主要结论。
4.简要回答思考题。
附：实验一 离散时间系统分析参考程序部分参考程序四、2.（1）,（2）的参考程序：――――――――――――――――――――――――――――%单位脉冲序列)(n x b 的时域和幅频特性%在MatLab 中，这一函数可以用zeros 函数实现：n=1:50;x=zeros(1,50); %MatLab 中数组的下标从1开始x(1)=1;close all;subplot(3,1,1);stem(x);title('单位冲击信号序列x(n)');k=-24:25;X=x*(exp(-j*pi/25)).^((n-1)'*k);magX=abs(X);subplot(3,1,2);stem(magX);title('单位冲击信号序列的幅度谱');angX=angle(X);subplot(3,1,3);stem(angX);title('单位冲击信号序列的相位谱');%以下是)(n h b 的时域和幅频特性n=1:50;x=zeros(1,50);x(1)=1;x(2)=2.5;x(3)=2.5;x(4)=1;close all;subplot(3,1,1);stem(x);title(系统'单位脉冲响应信号序列');k=-24:25;X=x*(exp(-j*pi/25)).^((n-1)'*k);magX=abs(X);subplot(3,1,2);stem(magX);title('系统频率响应的幅度谱');angX=angle(X);subplot(3,1,3);stem(angX);title('系统频率响应的相位谱')%以下矩形脉冲序列)(n x c 的时域和幅频特性(没有要求做，仅作参考) n=1:50;x=sign(sign(10-n)+1);close all;subplot(3,1,1);stem(x);title('矩形脉冲序列');k=-24:25;X=x*(exp(-j*pi/25)).^((n-1)'*k);magX=abs(X);subplot(3,1,2);stem(magX);title('矩形脉冲序列傅立叶变换的幅度谱');angX=angle(X);subplot(3,1,3);stem(angX);title('矩形脉冲序列傅立叶变换的相位谱');四、2.（3）的参考程序：―――――――――――――――――――――――――――――――― n=1:50; %定义序列的长度是50A=444.128; %设置信号有关的参数a=50*sqrt(2.0)*pi;T=0.001; %采样率w0=50*sqrt(2.0)*pi; %ω符号在MatLab 中不能输入，用w 代替 x=A*exp(-a*(n-1)*T).*cos(w0*(n-1)*T); %pi 是MatLab 中定义的π %close allfiguresubplot(3,1,1);stem(n-1,x); %绘制x （n ）的图形title('理想采样信号序列x(n)'); %设置结果图形的标题k=-24:25;%W=(pi/25)*k;X=x*(exp(-j*pi/25)).^((n-1)'*k);magX=abs(X); %绘制x （n ）的幅度谱subplot(3,1,2);stem(n-1,magX);title('理想采样信号序列的幅度谱');angX=angle(X); %绘制x （n ）的相位谱subplot(3,1,3);stem(n-1,angX);title('理想采样信号序列的相位谱');四、3. 的参考程序（)(n x a 要用b x (n)代替）：%卷积计算%在MatLab 中提供了卷积函数conv ，即y=conv （n ，h ），调用十分方便。
%信号)(n x a 和系统单位脉冲响应)(n h b 的卷积n=1:50;hb=zeros(1,50);hb(1)=1;hb(2)=2.5;hb(3)=2.5;hb(4)=1;close all;subplot(3,1,1);stem(hb);title('系统单位脉冲响应hb[n]');m=1:50;T=0.001;A=444.128;a=50*sqrt(2.0)*pi;w0=50*sqrt(2.0)*pi;x=A*exp(-a*(m-1)*T).*cos(w0*(m-1)*T);subplot(3,1,2);stem(x);title('输入信号x[n]');y=conv(x,hb);subplot(3,1,3);stem(y);title('输出信号y[n]');四、5. 的参考程序%参考程序clearhb=zeros(1,50);hb(1)=1;hb(2)=2.5;hb(3)=2.5;hb(4)=1;m=1:50;T=0.001;A=444.128;a=50*sqrt(2.0)*pi;w0=50*sqrt(2.0)*pi;x=A*exp(-a*(m-1)*T).*cos(w0*(m-1)*T);n=1:50;k=-24:25;X=x*(exp(-j*pi/25)).^((n-1)'*k);magX=abs(X);%绘制信号x(n)傅立叶变换的幅度谱subplot(3,2,1);stem(magX);title('输入信号傅立叶变换的幅度谱');angX=angle(X); %绘制x(n)的相位谱subplot(3,2,2);stem(angX);title('输入信号傅立叶变换的相位谱');Hb=hb*(exp(-j*pi/25)).^((n-1)'*k);magHb=abs(Hb); %绘制hb(n)的幅度谱subplot(3,2,3);stem(magHb);title('系统单位频率响应的幅度谱');angHb=angle(Hb); %绘制hb(n)的相位谱subplot(3,2,4);stem(angHb);title('系统频率响应的相位谱');n=1:99;k=1:99;y=conv(x,hb);Y=y*(exp(-j*pi/25)).^((n-1)'*k);magY=abs(Y); %绘制y(n)的幅度谱subplot(3,2,5);stem(magY);title('输出信号傅立叶变换的幅度谱');angY=angle(Y); %绘制y(n)的相位谱subplot(3,2,6);stem(angY);title('输出信号傅立叶变换的相位谱');%将以下验证的结果显示figureXHB=X.*Hb;subplot(4,1,1);stem(abs(XHB));title('x(n)的幅度谱与hb(n)的幅度谱相乘');axis([0,50,0,8000])subplot(4,1,2);stem(abs(Y));title('y(n) 傅立叶变换的幅度谱');axis([0,50,0,8000])angXHB=angle(XHB); %绘制y(n)的相位谱subplot(4,1,3);% stem(unwrap(angXHB));stem(angXHB);axis([0,50,0,6])title('输出x(n)信号的频谱与hb(n)的频谱相乘的相位谱'); angY=angle(Y); %绘制y(n)的相位谱subplot(4,1,4);stem(angY);axis([0,50,0,6])% stem(unwrap(angY));title('输出y(n)信号傅立叶变换的相位谱');。