芜湖一中2018年高一自主招生考试数 学 试 卷（满分：150分）一、选择题（本大题共7个小题，每小题6分，共42分,每小题只有一个正确选项，请把正确的选项序号填在答题卡的相应位置上） 1．若,,a b c 均为整数且满足20182018()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-= ( )A ．1B ．2C ．3D ．42．某圆柱的高为2，底面周长为8，其三视图如右图. 圆柱表面上的点M 在主视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为( ) A ．5B ．22C ．3D ．23．在菱形ABCD 中，2AB =，︒=∠60A ，E 为AB 的中点，若在线段BD 上取一点P ，则PE PA + 的最小值是( ) A 3B ．2C 5D 74．若实数a 使关于x 的不等式组()()⎪⎩⎪⎨⎧-≤--≤-x a x x x 132121131有且仅有三个整数解，且使关于y 的分式方程121223=-++-ya y y 有整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和是( ) A ．18-B ．16-C ．12-D ．10-5．如果方程()()2120x x x m --+=的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范围是( )A ．314m <≤B ．34m > C ．1m ≥ D ．01m <≤ 6．如图，直角三角形ABC 位于第一象限，3AB =，2AC =，直角顶点A在直线y x =上，其中点A 的横坐标为1，且两条直角边AB 、AC 分别平行于x 轴、y 轴，若函数()0ky k x =≠的图象与ABC ∆有交点，则k 的最大值是( ) A ．5B ．12125C ．12124D 12120yxBCA O第6题图7．如图，ABCD 是平行四边形，E 为CD 的中点，AE 和BD 的交点为AC F ,和BE 的交点为H ，AC 和BD 的交点为G ，四边形EHGF 的面积是15平方厘米，则ABCD 的面积是( )平方厘米.H GFEBDCAA ．180B ．120C ．90D ．60二、填空题（本大题共7个小题，每小题7分，共49分，请把正确答案写在答题卡上） 8．在ABC ∆中，80=∠A ，I 是C B ∠∠,的角平分线的交点，则BIC ∠的度数为 ． 9．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如12=5+7.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是_____.（结果用最简分数表示） 10．已知实数,a b 满足221a b +=，则44a ab b ++的最大值是 ．11．不等式21a x x <++对任意的实数x 都能成立，则实数a 的取值范围是________.12．如图，Rt △ABC 中，∠BCA ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝4，△ABC 以点B 为中心逆时针旋转，使点C 旋转至AB 边延长线上的C '处，那么AC 边转过的图形（图中阴影部分）的面积是 ．CC'A'13．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“奇异数”.如：333321(1),2631,=--=- 2和26均为“奇异数”.那么，不超过2018的正整数中，所有的“奇异数”之和为_________.（结果用数字表示）14．已知关于x 的方程299990x ax a --+=的两根都是素数，则实数a 的值为_________.座位号：三、解答题（本大题共5小题，满分59分，写出必要的解答过程） 15．(本小题满分12分)解方程组：3322226x y x y ⎧++-=⎪⎨+=⎪⎩.16．(本小题满分15分)如图1,在平面直角坐标系中,直线1y x =-与抛物线2y x bx c =-++交于A B 、两点，其中(),0A m ,()4,B n .该抛物线与y 轴交于点C ,与x 轴交于另一点D .（1）求该抛物线的解析式；（2）如图2,若点P 为线段AD 上的一动点(不与A D 、重合),分别以AP 、DP 为斜边,在直线AD 的同侧作等腰直角△APM 和等腰直角△DPN ,连接MN ,求△MPN 面积最大值以及此时P 点的坐标；（3）若不等式22x bx c kx t -++>+的解集为13x <<，求实数k 和t 的值.图1 图217．(本小题满分16分)如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，O 为AB 上一点，经过点A ,D 的O ⊙分别交AB ,AC 于点E ,F ,连接OF 交AD 于点G . （1）求证：BC 是O ⊙的切线；（2）设AB x =，AF y =，试用含,x y 的代数式表示线段AD 的长； （3）若8BE =，5sin 13B =，求DG 的长.18．(本小题满分16分)如图，在矩形ABCD 中，E 为AB 边上一点，EC 平分∠DEB ，F 为CE 的中点，连接AF ，BF ，过点E 作EH ∥BC 分别交AF ，CD 于G ，H 两点． （1）求证：AF ⊥BF ；（2）当AF•GF =6时，求CE 的长．芜湖一中2018年高一自主招生考试数 学 答 案一、选择题（每小题6分，共42分）二、填空题（每小题7分，共49分）8．0130 9．115 10．9811．12a < 12．4π 13．686014．5181256k =或三、解答题（本大题共5小题，满分59分，写出必要的解答过程。

）15. (本小题满分12分)解：设m n ==332(1)26(2)m n m n +=⎧⎨+=⎩………………………4分 由(2)得22()()26m n m mn n +-+=，化简得3mn =- (3) 由（1）、(3)解得1,3m =-或所以3,25x =-或，可得方程组的解为325291x x y y =-=⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或……………12分 16. (本小题满分15分)解：（1）把点,0A m （）、点4,B n （）代入1y x -=得2,3m n ==所以()()1,0,4,3A B 因为2y x bx c =-++过点A 、B ，所以101643b c b c -++=⎧⎨-++=⎩解得：65b c =⎧⎨=-⎩，所以265y x x =-+- ……………………5分（2）如图2，∵△APM 和△DPN 为等直角三角形 ∴=45APM DPN ∠∠= ∴90MPN ∠= ∴△MPN 为直角三角形令2650x x -+-=，解得：121,5x x ==∴()5,0,4D AD =设AP m =，则4DP m =-，2PM m =，()42PN m =-∴()1142222MPN S PM PN m m ∆=⋅=⨯⋅-=21-4m m -=()21-214m -+ ∴当2m =，即2AP =时，MPN S ∆最大值为1，此时3OP =,所以()3,0P …………10分（3）不等式2652x x kx t -+->+可化解为2(26)50x k x t +-++<所以方程2(26)50x k x t +-++=两根为１，3由韦达定理知1,2k t ==- ……………………15分 17. (本小题满分16分)（1）解：如图，连接OD∵AD 为BAC ∠的角平分线，∴CAD BAD ∠=∠.∵OD OA =，∴OAD ODA ∠=∠,∴CAD ODA ∠=∠,∴AC OD //.又∵︒=∠90C ，∴︒=∠90ODC ，∴BC OD ⊥，∴BC 是O 圆的切线。

……………………5分 （2）连接DF ，由（1）可知，BC 为切线.∴DAF FDC ∠=∠，∴CFD CDA ∠=∠,∴ADB AFD ∠=∠. 又∵DAF BAD ∠=∠,∴ADF ABD ∆∆∽,∴AFADAD AB =,∴AF AB AD ⋅=2 ∴xy AD =……………………10分（3）连接EF ，在BOD Rt ∆中，135sin ==OB OD B .设圆的半径为r ，∴1358=+r r ，∴5=r ，∴18,10==AB AE .∵AE 是直径，︒=∠90AFE ，而︒=∠90C ，∴//EF BC ，∴B AEF ∠=∠，∴135sin ==∠AE AF AEF , ∴135013510sin =⨯=∠⋅=AEF AE AF . ∵OD AF //,∴131051350===OD AF DG AG ,∴AD DG 2313=∴131330135018=⨯=⋅=AF AB AD ,∴1323301313302313=⨯=DG . .……………………16分 18．(本小题满分1６分) 解：（1）如图，连接DF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴CD AB //，∴CEB DCE ∠=∠， ∵EC 平分DEB ∠，∴CEB DEC ∠=∠，∴ DEC DCE ∠=∠， ∴DC DE =；∵F 为CE 的中点，∴EC DF ⊥，∴︒=∠90DFC ， 在矩形ABCD 中，CD AB =，︒=∠90ABC ， ∴EC EF CF BF 21===，∴CEB ABF ∠=∠， ∵CEB DCE ∠=∠，∴DCF ABF ∠=∠，在ABF ∆和DCF ∆中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DC AB DCF ABF CF BF ，∴ABF ∆≌DCF ∆（SAS ），∴︒=∠=∠90DFC AFB ，∴BF AF ⊥； . ……………………8分 （2）∵BF AF ⊥，∴︒=∠+∠90ABF BAF ，∵︒=∠90,//ABC BC EH ，∴︒=∠90BEH ，∴︒=∠+∠90CEB FEH ， ∵CEB ABF ∠=∠，∴FEH BAF ∠=∠， ∵AFE EFG ∠=∠，∴EFG ∆∽AFE ∆，∴AFEFEF GF =，即GF AF EF ⋅=2， ∵6=⋅GF AF ，∴6=EF ，∴622==EF CE ．……………………16分。