《微积分Ⅱ》课外练习题一、选择：1. 函数在闭区间上连续是在上可积的． ( )A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件C．充要条件 D．无关条件2. 二元函数定义域是． ( ) B．D．比较大小：． ( )B． C． D．不确定4.微分方程的阶数是． ( )A．5 B．3 C．2 D．15.下列广义积分发散的是． ( )A． B． C． D．6.是级数收敛的条件． ( )A．必要非充分 B．充分非必要 C．充分必要 D．无关7．如果点为的极值点，且在点处的两个一阶偏导数存在,则点必为的． ( )最大值点 B．驻点 C．最小值点 D．以上都不对微分方程是微分方程． ( )A．一阶线性非齐次 B. 一阶齐次 C. 可分离变量的 D. 一阶线性齐次9 .设是第一象限内的一个有界闭区域，而且。
记，，，则的大小顺序是． ( )C. D.10. 函数的连续区域是． ( )B.D.1. ． ( )B. C. D.12．下列广义收敛的是． ( ) A． B． C． D．．下列方程中，不是微分方程的是． ( ) A． B． C． D．．微分方程的阶数是． ( )A．5 B．3 C．2 D．1．二元函数的定义域是． ( )A． B．C． D．．设，则 ( )A． B． C． D．．= 其中积分区域D为区域：． ( )A． B． C． D．18．下列等式正确的是． ( ) A．B．C．D．19．二元函数的定义域是． ( )A． B．C． D．20．曲线在上连续，则曲线与以及轴围成的图形的面积是．( )A．B．C．D．||．． ( )A． B． C． D．22．= 其中积分区域D为区域：． ( )A． B． C． D．23.下列式子中正确的是． ( )A． B．C． D．以上都不对24. 二元函数的定义域是 ( )A． B．C． D．25.二元函数在点的某一邻域内有连续的偏导数是函数在点的．( )A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件C．充要条件 D．无关条件26.设，则． ( )A． B． C． D．. ． ( )A． B． C． D．. = 其中积分区域D为区域：． ( )A． B． C． D．29． ． ( )A． B． C． D．30． 则=． ( )A． B． C． D．31．函数的连续区域是． ( )A． B．C． D．32． ． ( )A． B． C． D．33．差分方程的阶数为． ( )A. B. C. D.34．微分方程的阶数是 ( )A． B． C． D．35．函数的定义域是． ( )A． B．C． D．36．级数的部分数列有界是该级数收敛的． ( )A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件C．充要条件 D．无关条件37． ，其中积分区域D为区域． ( )A. B. C. D.38．微分方程的阶是． ( )A．一阶 B． 二阶 C．三阶 D．以上均不对 39．． ( )A． B． C． D．40．二元函数的定义域是 ( )A． B．C． D．以上都不对41．设，则 ( )A． B． C． D．42．下列式子中正确的是． ( )A． B． C． D．以上都不对43．， ( )A. B. C. D.44.微分方程是． ( )A．一阶线性非齐次微分方程 B．一阶齐次微分方程C．可分离变量的微分方程 D．不可分离变量的微分方程45. 设是第二象限内的一个有界闭区域，而且。
记，，，则的大小顺序是． ( )A． B. C. D.46.函数的定义域为． ( )A． B． C． D．以上都不对。
47. ． ( )A. B. C. D.48. 二元函数的定义域是． ( )A． B．C． D．以上都不对49.设在上连续，且为奇函数，则( ( )A． B. C. D. 以上答案均不对比较大小：． ( )B． C． D．不确定51. ，其中积分区域D为矩形： ( )A. B. C. D.二、填空：1．．2. 二元函数的驻点为．3. 则=．4. 微分方程的通解是．5.幂级数的收敛半径是．6．若是由曲线所围成的平面区域，则．7．则=．8. ．9. 设，则．10.微分方程的通解为．11. 幂级数的收敛半径是． 12．= .13．点关于平面的对称点是 . 14． .15．幂级数的收敛域是 .16．由隐函数确定的函数的导数= （公式）.17． . 18．则= .19．由隐函数确定的函数的导数= （公式）.20．微分方程的通解为 .21．若函数在点的偏导数存在，且有极值，则 ， .22．设,则 . 23．.24．则= .25．差分方程的阶为 .26．设，则= . 27．已知，则 .28．设，则 .29．设,则 .30．若D是由曲线所围成的平面区域，则 .31. 微分方程的阶为 .32. 设，则全导数= .33. 无穷级数的和为 .34. 设，则 . 35. 微分方程的通解是.36．则= .37．设，则 .38．设,则 .39．，求 .40． .41．若是由曲线所围成的平面区域，则 .42. 设函数 ，全微分= .43.无穷级数 .44．微分方程的通解为 .45．则= .46．若，求 .47.微分方程的通解为 .48. 由隐函数确定函数的导数，有连续偏导数，且，则=（公式）.49.设，则 . 50. .51. . 52．差分方程的阶数为.53．无穷级数的和为 .54．则= .55．，则 .三、计算（一）：1．求定积分．2. 求极限．3. 设，求全导数．4. 设，求．5. 计算二重积分，其中．6. 求函数的极值．7．计算定积分．8. 求极限．9. 设方程确定隐函数，求．10. 设，其中，求．11.求微分方程的通解．12. 求二重积分，其中．13．求定积分．14. 求微分方程的通解．15. 求函数，求全微分．16.计算二重积分，其中D是由所围成的区域．17. 求函数，其中的偏导数．18. 求函数的极值．19．求微分方程的通解．20. 求定积分．21. 求极限．22. 求微分方程的通解．23. 求定积分．24. 求函数的极值．25．求微分方程的通解．26. 求定积分：．27.求广义积分．28.判定级数的敛散性．29. 求函数的二阶偏导数．30. 设其中，求．31．求微分方程的通解．32. 求的通解．33. 求定积分．34. 求极限．35. 设，其中，求．36. 求的二阶偏导数．37．求微分方程的通解．38. 求的通解．39. 求定积分．40. 求极限．41. 求函数，其中的偏导数．42. 求函数的极值．43．解微分方程：．44. 求定积分．45. 求广义积分．46. 求微分方程的通解．47. 已知函数，求各二阶偏导数．48. 函数的极值．49．求定积分．50. 求微分方程的通解．51. 求定积分．52.求微分方程的通解．53. 设由方程确定隐函数，求．54. 设，求二阶偏导数．55．求微分方程的通解．56. 求定积分．57. 设，其中，求．58.求极限．59.计算二重积分，其中：．60. 求函数的极值．四、计算（二）：1. 求曲线与直线所围成的图形的面积．2. 交换二次积分的次序.3. 用比值判别法（达朗贝尔法则）判定级数的敛散性．4. 求曲线与所围成的图形的面积．5.用比值判别法（达朗贝尔法则）判定级数的敛散性．6.利用极坐标计算二重积分，是圆域．7. 求由曲线，围成的平面图形的面积.8. 求幂级数的收敛半径和收敛域．9. 计算二重积分，其中．10. 用比值判别法判定级数的敛散性.11.求的偏导数．12.计算二重积分，其中是由所围成的闭区域．13. 应用二重积分, 求在平面上由与所围成的区域的面积．14.求微分方程在初始条件下的特解．15. 计算二重积分，其中是区域．16. 求函数的极值．17. 计算,其中是由不等式所确定的正方形区域．18. 求幂级数的收敛半径和收敛域．19. 求函数的二阶偏导数．20. 计算二重积分，其中．21. 用比值判别法（达朗贝尔法则）判定级数求极限的敛散性．22. 设，求全导数．23. 计算二重积分，其中是区域．24.用比值判别法判定级数的敛散性．25. 求在区间上，由曲线与直线所围成的图形的面积．26. 计算，其中 =．27. 交换二次积分的次序．28. 判定级数的敛散性，若级数收敛，求其和．29. 求的近似值．30. 计算二重积分，其中是由直线与双曲线所围成的区域．五、证明：1. 证明：设，且是可微函数，求证：．2. 证明：设，且是可微函数，求证：．3. 设二元函数，证明.4. 设，且，证明：5. 证明：．6. 求证：函数满足方程．六、应用：1. 某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为和，销售量分别为 和，需求函数分别为，，总成本函数为试问：厂家如何确定两个市场的产品售价，使其获得的总利润最大？最大利润是多少？2.（利用拉格朗日乘数法） 设生产某种产品的数量与所用两种原料A、B的数量 间有关系式.欲用150元购料，已知A、B原料的单价分别为1元、2元，问：购进两种原料各多少，可使生产的产品数量最多？3. 求由曲线与直线所围成的图形分别绕轴、轴旋转产生的旋转体的体积.4. 某工厂生产两种产品I与II，出售单价分别为10元与9元，生产单位的产品I与生产单位的产品II的总费用是： (元).问：取得最大利润时，两种产品的产量各多少？5. 求由曲线与直线所围成的图形分别绕轴、轴旋转产生的旋转体的体积.6. 将正数12表示成三个正数之和使得为最大，求此三个正数.7. 要做一个容积为的长方体箱子，问怎样选择尺寸，才能使其表面积最小？8. 求由曲线 与所围成图形的面积.9. 将正数12表示成三个正数之和使得为最大，求此三个正数.10. 某厂要用铁板作成一个体积为的有盖长方体水箱。
问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省.。