二次曲面方程化简方法探讨
[摘要] 三元二次方程表示的是三维空间的二次曲面,如果能选择适当的坐标系将三元二次方程化为标准形式,该二次曲面的形状也就容易判定了。
空间解析几何中给出了由旋转或平移化简二次曲面方程的方法,但是旋转所采用的坐标变换却不容易求得。
而旋转的作用恰好是将二次型化为标准型,于是可以借助二次型的知识化简二次曲面方程。
本文介绍了将一般二次曲面方程化为标准方程的几种常用方法。
[关键词] 二次曲面方程标准方程正交变换合同变换偏导数
二次曲面的一般方程为:
一般二次曲面或是基本类型二次曲面,共9种;或是退化二次曲面,共5种;或是无轨迹(虚图形),共3种。
为了便于判定以一般方程给出的二次曲面方程的类型,有必要把一个二次曲面的一般方程化为标准方程。
二次曲面的标准方程:
1)没有坐标的交叉项xy,xz,yz;
2)如果有某个坐标的二次项,就没有这个坐标的一次项;
3)如果有某个坐标的一次项,就没有其他坐标的一次项,并且这时方程的左边不再有常数项。
满足上述3个条件的二次曲面方程称为标准方程。
[1]定理1:任意二次曲面(1)通过适当的的旋转,都可以使新坐标系中不再含有形如的交叉项,即在新的坐标系中方程化为:
(a,b,…,d)为新的系数,为新坐标)
[1]定理2:对于不含交叉项xy,xz,yz的二次曲面方程:
可以适当的坐标变换进一不化简,使它成为如下5种方程之一:
定理1,定理2给出了化简一般二次曲面方程的一般步骤:
第一步:将一般二次曲面方程中的交叉项去掉,即将方程中的二次项部分化为平方和;
第二步:将新的只剩平方项、一次项、常数项的方程化为标准方程。
注:第一步消去方程中的交叉项实质上是将方程中的二次项部分化为标型(二次型→标准型),而问题的关键就在这一步,于是问题转化为:先求实二次型的标准型,再作一次可逆线性替换。
遵循以上两步,应用二次型的知识,可以用如下几种方法化简一般二次曲面方程:
一、正交变换法:
使它成为有平方项的二次齐次式,有了平方项后,集中含有某一个有平方的变量的所有项,然后配方,对剩下的两个变量进行同样的变形,化成平方项后,再经过可逆线性变换就得到标准型。
要将实二次型化为标准型f=XTAX,就是要寻求一个可逆变换C使CTAC是一个对角阵,则二次型YT(CTAC)Y就是要求的标准型,而寻求C可以用合同变换法。
三、合同变换法
合同变换的规则如下:
(1)交换两行后交换两列,记为P();
(2)第行乘后,第列乘,记为P( ());
(3)第行的倍加到第行后,再把第列的倍加到第列,记为P( ())。
合同变换:
(其中B为对角阵)
于是:C’AC=B
(H:对A作合同变换,而对E只作相应的行变换)
原始的合同变换是进行一次行初等变换后,紧接着进行一次相应的列初等变换,要一步一步的仔细计算,而且每一步都要写出来,比较麻烦。
于是可将原始的合同变换改进为如下步骤:
第一步:作分块矩阵(),看左上角元素a11是否为零,若a11=0,则设法找一个,将第j行加到第一行上使左上角元素非零(如这时对一切j=2,3,…,n成立,则由A的
对称性,j=2,3,…,n成立,即A的第一行第一列元素都为零,这时就可以不管A的第一行第一列元素,只须对A剩下的元素进行变换即可)。
然后再将()的第j列加到第一列上。
第二步:用行初等变换将a21a31,…an1都变为零,再应用相应的列初等变换将a12,a13,…a1n都变为零(实际上由A的对称性,只要将a12,a13,…a1n直接写为零即可)。
第三步:将A的第一行第一列除(1,1)元素外的所有元素都变为零后,再用同样的方法继续做下去,直到将A变为对角阵为止。
基于上述第二步:用行初等变换将a21,a31,...an1都变为零,再将a12,a13, (1)
直接写为零,于是可将上述合同变换进一步改进:
只用第三种初等行变换,将A化为上三角阵即可(但是当A的主对角元素全为0时,须先对A进行初等行变换再作相应初等列变换,使(1,1)元素非0)。
即:
(B:上三角阵;H:第三种初等行变换)
例3:将实二次型:
化为平方和。
解:系数矩阵
由例3可以看到,连续用第三种初等行变换,能够快速的将二次型化为标准型,同时求出变换阵P,经过改进的合同变换与原始的合同变换比较起来简捷得多,当然比正交变换和配方法都简捷。
《解析几何》教材中介绍了二次曲面方程的不变量完全系统,即一般二次曲面方程可以直接由它的不变量写出,于是就有了化简二次曲面方程的行列式法(不变量法):
四、行列式法
对于二次曲面C:XTAX=0,系数矩阵:
(、、、称为C的不变量)
;
(、称为C的条件(半)不变量)
特征方程:,
[1]定理3:二次曲面C在OXYZ中的标准方程可用其不变量及特征根给出如下([1]中):
Ⅰ、当为中心型曲面:
;
Ⅱ、当时,C为抛物面:
;
Ⅲ、当时,
;
Ⅳ、当时,
;
Ⅴ、当时,
;
(注:此法简单明了,故不再举例详述。
)
有了行列式法,在求二次曲面的标准方程时,如果不需要知道所用的线性变换,就可以通过计算一系列行列式,而直接写出标准方程。
但有时会遇到某些行列式不易计算,所以行列式法有很大的局限性。
前面四种方法在《解析几何》或《高等代数》教材中都作了介绍,而下面将介绍的偏导数法却不常见。
偏导数法虽然本质上属于配方法,但它与与配方法比较起来,是一种公式化了的方法,操作简单。
五、偏导数法
将二次型简记为,将它的标准型简记为,则偏导数法的公式如下:
(1)当中含有某变数的平方项为的系数且时,有公式:
(甲)
其中为不含变数的实二次型,只要作适当的线性变数替换,公式(甲)中第一式的第一项可化为新变数的平方项,而且由于中含有变数,而中不含,这就从根本上保证了所作的变数替换是满秩线性变换;由其第二式求得的如果不是标准型,若中仍含有变数的平方项,则对它再运用公式(甲),若中不含变数的平方项,则对再运行下面给出的公式(乙)化为标准型。
当不含变数的平方项是,在中任选一项,例如选(系数),则有公式:
(乙)
其中是不含变数和的实二次型,只要作适当的线性变数替换,(乙)中的第一式的第一项可化为新变数的平方项,而且多项式[]与[]的变数对应项不可能完全成比例,这两个多项式都含有和,而中不含和,这也就从根本上保证了所作变数替换是满秩线性变换,由其第二式求得的如果不是标准型,并且仍不含变数的平方项则对它继续运用公式(乙),如果中含有变数的平方项,则对它再用公式(甲)处理,如此反复演算直至把化为标准型。
(注:公式(甲),公式(乙)的推导参见[5],这里不详述,下面举例说明:)
例4:化二次型:
为标准型,并求出所用的满秩线性变换及其变换阵。
解:令,这是一个含有变数平方项的二次型,可在其中任选一个平方项系数,如不妨选取来用公式(甲)演算,有:
因为二次型不是标准型且仍含有平方项,故再对运用公式(甲)演算,易见的平方项有两个,不妨选取其中的系数,于是有
已经是标准型了。
将③代入②,并将其结果代入①,得
④
在④中令:,
即:
则所求的二次型的标准型为:
所采用的满秩线性变换为:
即:
其变换阵为:P=
结束语
化一般二次曲面方程为标准方程的方法很多,本文介绍了:正交变换法、配方法、合同变换法、行列式法、偏导数法。
而前三种方法都是通过求实二次型的标准型间接地求曲面标准方程。
配方法采用的是初等代数中的把二次式化为一次式平方的知识,好学易懂。
但配方时要靠一系列的观察,最后求变换阵时还要作一系列的矩阵求逆和乘法运算,加大了难度。
正交变换法采用的变换阵是正交阵,所求得的是一种特殊的标准型,即其各平方项系数必须是该二次型矩阵的特征值,演算繁。
然而,有些问题又必须用正交变换法去做。
合同变换法是一种普遍的方法,利用矩阵成队初等变换求得标准型的同时也求到了所用的线性变换,并且灵活性大,规律性强。
行列式法是一种公式化了的方法,但要计算的行列式较多,特别是行列式法受到一定条件限制,而且没有给出所用的线性变换,所以它不是一种普遍的方法。
但是当某些实际问题不需要知道所采用的线性替换是可采用此法。
偏导数法也是一种公式化了的方法,不需要作一系列的观察,这是它的一大优点。
但求所采用的线性变换时也不如合同变换法简捷。
总之,应该视具体情况灵活的选用化一般二次曲面方程为标准方程的方法。
参考文献
[1]杨文茂,李全英.《空间解析几何》.武汉:武汉大学出版社,2002.2
[2]孙振绮,丁效华.《空间解析几何与线性代数》.北京:机械工业出版社,2004.6
[3]北京大学数学系.《高等代数》(第二版).北京:高等教育出版社,1988.3
[4]陈志杰等.《高等代数与解析几何习题精解》.北京:科学出版社,2002.2
[5]姜铁轮.化实二次型为标准型的偏导数法.教学与科技,1994(1):4—10。