2020年绵阳中学自主招生数学试题一.选择题：〔本大题共12个小题，每个4分，共48分，将所选答案填涂在机读卡上〕 1、以下因式分解中，结果正确的选项是〔 〕 A.2322()x y y y x y -=-B.424(2)(2)(2)x x x x -=+-+C.211(1)x x x x x--=--D.21(2)(1)(3)a a a --=--2、〝二次函数2y ax bx c =++的图像如下图，试判定a b c ++与 0的大小.〞一同学是如此回答的：〝由图像可知：当1x =时0y <， 因此0a b c ++<.〞他这种讲明咨询题的方式表达的数学思想方法叫做〔 〕A.换元法B.配方法C.数形结合法D.分类讨论法 3、实数x 满足22114x x x x ++-=，那么14x-的值是〔 〕A.-2B.1C.-1或2D.-2或14、假设直线21y x =-与反比例函数k y x =的图像交于点(2,)P a ，那么反比例函数ky x =的图像还必过点〔 〕 A. (-1,6)B.(1,-6)C.(-2,-3)D.(2,12)5、现规定一种新的运算：〝*〞：*()m n m n m n -=+，那么51*22＝〔 〕A.54B.5C.3D.9 6、一副三角板，如下图叠放在一起，那么AOB COD ∠+∠＝〔 〕A.180°B.150°C.160°D.170°7、某中学对2005年、2006年、2007年该校住校人数统计时发觉，2006年比2005年增加20%，2007年比2006年减少20%，那么2007年比2005年〔 〕A.不增不减B.增加4％C.减少4％D.减少2％ 8、一半径为8的圆中，圆心角θ为锐角，且32θ=，那么角θ所对的弦长等于〔 〕A.8B.10C.82D.169、一支长为13cm 的金属筷子〔粗细忽略不计〕，放入一个长、宽、高分不是4cm 、3cm 、16cm 的长方体水槽中，那么水槽至少要放进〔 〕深的水才能完全埋住筷子。
A.13cmB.410cmC.12cmD.153cm10、如图，张三同学把一个直角边长分不为3cm,4cm 的直角三角形硬纸板，在桌面上翻动〔顺时针方向〕，顶点A 的位置变化为12A A A →→，其中第二次翻动时被桌面上一小木块挡住，使纸板一边21A C 与桌面所成的角恰好等于BAC ∠，那么A 翻动到2A 位置时共走过的路程为〔 〕A.82cmB.8πcmC.229cmD. 4πcm11、一辆汽车从甲地开往乙地，开始以正常速度匀速行驶，但行至途中汽车出了故障，只好停下修车，修好后，为了按时到达乙地，司机加快了行驶速度并匀速行驶。
下面是汽车行驶路程S(千米)关于时刻t(小时)的函数图象，那么能大致反映汽车行驶情形的图像是〔 〕A B C D12、由绵阳动身到成都的某一次列车，运行途中须停靠的车站依次是：绵阳→罗江→黄许→德阳→广汉→清白江→新都→成都.那么要为这次列车制作的车票一共有〔 〕 A.7种 B.8种 C.56种 D.28种 二. 填空题〔共6个小题，每个小题4分，共24分。
将你所得答案填在答卷上〕13、依照图中的抛物线能够判定：当x ________时，y 随x 的增大而减小； 当x ________时，y 有最小值。
14、函数222x y x x +=+-中，自变量x 的取值范畴是__________.15、如图，在圆O 中，直径10AB C D =，，是上半圆AB 上的两个动 点。
弦AC 与BD 交于点E ，那么··AE AC BE BD +＝____________. 16、以下图是用火柴棍摆放的1个、2个、3个……六边形，那么摆100个六边形，需要火柴棍______根。
17、在平面直角坐标系中，平行四边形四个顶点中，有三个顶点坐标分不是〔-2，5〕，〔-3，-1〕， 〔1，-1〕，假设另外一个顶点在第二象限，那么另外一个顶点的坐标是_______________. 18、参加保险公司的汽车保险，汽车修理费是按分段赔偿，具体赔偿细那么如下表。
某人在汽车修理后在保险公司得到的赔偿金额是2000元，那么此人的汽修理费是________元.汽车修理费x 元 赔偿率 0x <<500 60％ 500x ≤<1000 70％ 1000x ≤<300080％ …………三.解答题〔共7个小题，总分值78分，将解题过程写在答卷上〕19、〔10分〕先化简，再求值：32221052422x x x x x x x x --÷++--+-， 其中20122(tan 45cos30)21x =-++︒-︒-.20、〔10分〕在ABC ∆中，190,2C AC BC ∠=︒=.以BC 为底作等腰直角BCD ∆，E 是CD 的中点，求证：AE EB ⊥.21、(10分)绵阳中学为了进一步改善办学条件，决定打算拆除一部分旧校舍，建筑新校舍。
拆除旧校舍每平方米需80元，建筑新校舍每平方米需要800元，打算在年内拆除旧校舍与建筑新校舍共9000平方米，在实施中为扩大绿化面积，新建校舍只完成了打算的90％而拆除旧校舍那么超过了打算的10％，结果恰好完成了原打算的拆、建总面积。
〔1〕求原打算拆、建面积各是多少平方米？〔2〕假设绿化1平方米需要200元，那么把在实际的拆、建工程中节余的资金全部用来绿化，可绿化多少平方米？22、〔10分〕直线y x a =+与y 轴的负半轴交于点A ，直线28y x =-+与x 轴交于点B ，与y轴交于点C ，:7:8AO CO =〔O 是坐标原点〕，两条直线交于点P .〔1〕求a 的值及点P 的坐标； 〔2〕求四边形AOBP 的面积S .23、〔12分〕如图：AB 是圆O 的直径，BC 是圆O 的弦，圆O 的割线DEF 垂直于AB 于点G ，交BC 于点,.H DC DH =〔1〕求证：DC 是圆O 的切线；〔2〕请你再添加一个条件，可使结论2·BH BG BO =成立,讲明理由。
〔3〕在满足以上所有的条件下，10,8.AB EF ==求sin A ∠的值。
24、〔12分〕如图，菱形ABCD 的边长为12cm ，A ∠＝60︒，点P 从点A 动身沿线路AB BD →做匀速运动，点Q 从点D 同时动身沿线路DC CB BA →→做匀速运动.〔1〕点,P Q 运动的速度分不为2cm/秒和2.5cm/秒，通过12秒后，P Q 、分不到达M N 、两点，试判定AMN ∆的形状，并讲明理由；〔2〕假如〔1〕中的点P Q 、有分不从M N 、同时沿原路返回，点P 的速度不变，点Q 的速度改为v cm/秒，通过3秒后，P Q 、分不到达E F 、两点，假设BEF ∆与题〔1〕中的AMN ∆相似，试求v 的值.25、〔14分〕在ABC ∆中，90,,C AC BC ∠=︒的长分不是,b a ，且cot cos B AB A =⋅.〔1〕求证：2b a =；〔2〕假设b ＝2，抛物线2()y m x b a =-+与直线4y x =+交于点11(,)M x y 和点22(,)N x y ，且MON ∆的面积为6〔O 是坐标原点〕.求m 的值；〔3〕假设224,30an p q b=--=，抛物线2(3)y n x px q =++与x 轴的两个交点中，一个交点在原点的右侧，试判定抛物线与y 轴的交点是在y 轴的正半轴依旧负半轴，讲明理由.综合素养测试数学科目参考答案一.选择题〔本大题共12个小题，每个4分，共48分，将所选答案填涂在机读卡上〕 1.B 2.C 3.D 4.C5.D6.A7.C8.A9.C 10.D 11.C12.D二.填空题〔共6个小题，每个小题4分，共24分。
将你所得答案填在答卷上〕 13. <1 、 =1 ； 14. x>-2且x ≠1 ； 15. 100 ； 16. 501 ； 17.〔-6，5〕 ； 18. 2687.25 三.解答题〔共7个大题，共78分〕 19、〔10分〕〔1〕化简原式＝2102(1)2(2)(2)5(2)(1)x x x x x x x x x ---⨯+++-+- 22(2)(1)1222x x x x x x x x -+-=+==-+++ 求值：421221x =-+++=-∴原式122x =-=- 20、〔10分〕过E 作//EF BC 交BD 于F135ACE ACB BCE ∠=∠+∠=︒45135DFE DBC EFB ∠=∠=︒⇒∠=︒………………①又11//22EF BCAC BC =…………………………②EF AC ∴=……………………………………………③CE FB = 90CEA DBE EFB ACE DBE DEB ∠=∠⎫∴∆≅∆⇒⎬∠+∠=︒⎭又90DEB CEA ∴∠+∠=︒故90AEB ∠=︒AE EB ∴⊥21、〔10分〕解：〔1〕由题意可设拆旧舍x 平方米，建新舍y 平方米，那么900045001.10.990004500x y x x y y +==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩答：原打算拆建各4500平方米。
〔2〕打算资金145008045008003960000y =⨯+⨯=元有用资金2 1.14500800.945008004950804050800y =⨯⨯+⨯⨯=⨯+⨯39600032400003636000=+= ∴节余资金：3960000-3636000＝324000 ∴可建绿化面积＝3240001620200=平方米 答：可绿化面积1620平方米 22、〔10分〕解：〔1〕因直线y x a =+与y 轴负半轴交于点A ，故0a < 又由题知(4,0)(0,8)B C而:7:8AO CO = 故7a =-由728y x y x =-⎧⎨=-+⎩得52x y =⎧⎨=-⎩即(5,2)P -故：7a =-,点P 的坐标为〔5，-2〕 〔2〕过P 作PD y ⊥轴于点D ，依题知：4255OB OD PD AD ====111143()(45)25522222ADP OBPD S S S OB PD OD AD PD ∆=+=+⨯+⨯⨯=⨯+⨯+⨯⨯=四边形AOBP 梯形23、〔12分〕解：〔1〕连接OD OC 、相交于M ，由题可知90ACB ∠=︒,90CO AO ACO CAO CAO B =∴∠=∠∠+∠=︒ 90B BHG ∠+∠=︒CAO BHG DC DH ∴∠=∠=又DCH DHC DCH ACO ∴∠=∠∴∠=∠90DCH HCO ACO OCH ∴∠+∠=∠+∠=︒OC PC ∴⊥，即DC 为切线〔2〕加条件：H 为BC 的中点，OH HB BHGBOH ∴⊥∴∆∆2BH BGBH BO BG BO BH∴=∴=⋅〔3〕由题2108416AB EF EG AG BG EG ==∴=∴⋅==、()16AB BG BE ∴-=即2101602BG BG BG -+=∴=或8〔舍〕又2251010BH BG BO BH =⋅=⨯=∴=21010210sin 105BC BC A AB ∴=∴===24、〔12分〕解：〔1〕601212A AD AB BD ∠=︒==∴=又2/21224p p P V cm s S v t cm =∴=⋅=⨯=P ∴点到达D 点，即M 与D 重合2.5/ 2.51230Q Q Q v cm sS v t cm ==⋅=⨯=N ∴点在AB 之中点，即AN BN = AMN ∴∆为直角三角形〔2〕2/36p p v m st sS cm ==∴=E ∴为BD 的中点，又BEF ∆与AMN ∆相似 BEF ∴∆为直角三角形①Q 到达1F 处：Q v ＝33＝1/cm s②Q 到达2F 处：Q S ＝9，93/3Q v cm s == ③Q 到达3F 处：Q S ＝6+12＝18，186/3Q v cm s ==25、〔14分〕 〔1〕证明： cot ,cos ,cot cos a bB A B AB A b AB===⋅ 2a bAB a b b AB∴=⋅∴=〔2〕2b =且2a b = 故4a =2(2)4y m x ∴=-+由2(2)44y m x y x ⎧=-+⎨=+⎩，得 2(41)40mx m x m -++=………………①要使 抛物线与直线有交点，那么方程①中0∆> 得18m >-过O 作OD MN ⊥于D ，设E F 、为直线4y x =+与坐标轴的交点，那么(4,0),(0,4)E F -22DO ∴=又162MON S OD MN ∆=⋅⋅= 6322MN ∴==过M N 、分不作x 轴、y 轴的平行线交于点P 那么2121MP x x NP y y =-=-又221144y x y x =+=+即21NP x x =-故212MN x x =-213x x ∴-=即221()9x x -=由方程①得1212414m x x m x x +⎧+=⎪⎨⎪=⎩241()449m m +∴-⨯=得1m =或19m =- 〔3〕224an b =且2b a = 242n n ∴=⇒=±又30p q --=，即93p =+，即2[(93)39](3)(9)y n x x n x x =+++=++ 抛物线与x 轴的两个交点中有一个在原点右侧，故0q < 而抛物线与y 轴交点为(0,3)nq∴当2n =时，30nq <，交y 轴于负半轴当2n =-时，30nq >，交y 轴于正半轴。