普朗克黑体辐射公式的推导
所谓的黑体是指能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体,简称黑体。
黑体辐射：由这样的空腔小孔发出的辐射就称为黑体辐射。
辐射热平衡状态:处于某一温度T 下的腔壁,单位面积所发射出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等时,辐射达到热平衡状态。
实验发现：
热平衡时,空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度T 有关而与黑体的形状和材料无关。
实验得到： 1.W ｉen 公式
从热力学出发加上一些特殊的假设,得到一个分布公式：
Ｗien 公式在短波部分与实验还相符合，长波部分则明显不一致。
2. Rayleig ｈ－Jeans 公式
Raylei ｇh-Je ａns 公式在低频区和实验相符，但是
在高频区公式与实验不符，并且
∞→=⎰∞
v v d E E ，既单位体积的能量发散，而
实
验测得的黑体辐射的能量密度是4
T E σ=,该式
叫
做Stefa ｎ-Bolz ｍann 公式,σ叫做St ｅfan-Bol ｚman ｎ常数。
3. Planc ｋ黑体辐射定律
1900年１２月１4日Ｐlan ｃｋ提出如果空腔内的黑体辐射和腔壁原子处于平衡，那么辐射的能量分布与腔壁原子的能量分布就应有一种对应。
作为辐射原子的模型,P ｌanck 假定：
（1）原子的性能和谐振子一样,以给定的频率v 振荡；
(２)黑体只能以Ｅ=hv 为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量,而不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收辐射能量。
得到：
νννπνρνd kT h C h d ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=1)/exp(1
833该式称为P ｌａnck 辐射定律 ｈ为普朗克常数,ｈ＝s j .10626.634
-⨯
4，普朗克的推导过程：
把空窖内的电磁波分解为各个频率的简振振动,简振模的形式最后为)
.(),(wt r K i k k e C t r -=αβψ，
为常系数振方向，表示两个互相垂直的偏ααk C 2,1=
每一个简振模在力学上等价于一个自由度,记频率在()νννd +,内的自由度数为()ννd g , 则(0，v ）范围内的总自由度数G(ｖ)与g(v)的关系为()()νννν
d g G ⎰=0。
借助几何方法求出()3338νπνc V G =
，取微分得()ννπννd c V d g 2
3
8=
令E 代表体积为V 的空窖内热平衡辐射的总内能，(
)ννd T u ,代表单位体积,频率间隔在()νννd +,内的能量，于是()ννεννd g d T u V E
⎰⎰∞
∞==0
~0)(,，的振子的平均能量代表频率为νε,()()ννπνννd c g V d g 23~81=≡代表
单位体积内频率间隔在()νννd +,内的振动自由度数。
应用经典统计的能量均分定理得到平均能量为KT =ε与振子的频率无关，代入()()ννενd g d T v u ~
,=可以得到
()ννπ
νd kT c
d T v u 238,=
,这就是瑞利-金斯公式，在低频区和实验符合,高频区严重偏离。
普朗克热辐射理论采用的也是波的观点,()()ννπ
νννd c g V d g 23~81=≡依旧认为他正确,但是能量均分定理不适
用,原因在于麦克斯韦——波尔滋蔓分布不对，问题出在振子能量取连续值上。
Pla ｎck 假定：黑体只能以Ｅ＝h
ｖ为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量,而不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收辐射能量,对于频率为ｖ的振子，其能量只能取一个最小能量单元的整数倍即()ννεεnh n =→，他认为振子的平均分布仍遵从麦克斯韦——玻尔兹曼分布,即()
νβεανn e
a n --=)(代表频率为ｖ对的振子处于能级()v n ε的平均数，于是振子
的平均能量为()()∑∑∑∑-
-
-
--
-=
=
n
n
n n
n
n n
n
n
n
e e e e βε
βεβε
αβε
ανενεε,
即()()νβ
νεZ ln ∂∂
-
= 其中()()
∑∞
=-=
n n e
Z νβεν代表频率为ｖ的振子的配分函数,可以得到()ν
βνβνh n h n e
e Z -∞
=--=
=
∑11。
()()1
1
ln -=-=∂∂-
=kT
h h e
h e h Z ν
νβνννβνε由此可以知道振子的平均能量与其频率有关,能量均分定理不成立。
把上式代入()(
)ννενd g d T v u ~
,=得到： ()1
8,/33-=kT h d e h c d T v u νν
νπν这就是普朗克辐射公式。
此时辐射场的内能为()()⎰⎰⎰∞
=∞
=∞
===-==-==
33454
334
30/330
158,18/,18,n x n kT h n c h k a aT dx e x h kT c E kT hv x e
d h c d T u E ππννπ
ννν其中得令，5，对Pla ｎck 辐射定律的讨论:νννπνρνd kT h C h d ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=1)/exp(1
833 (1）当ｖ很大(短波）时，因为e ｘp(ｈv/kT ）－１≈ｅxp(h ｖ／ｋT), 于是ﻩPl ａnck 定律化为Wien 公式。
νννπνρνd kT h C h d ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=1)/exp(1
833变为νννπνρνd kT h C h d )/ex p(833-= 2）当v 很小（长波）时,因为e ｘp(hv/ｋT)-１≈1+(hv ／kT)-1=(h ｖ/kT),则Plan ｃk 定律变为Ra ｙl ｅ
igh-Jeans 公式。