普朗克黑体辐射公式的推导
所谓的黑体是指能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。

黑体辐射：由这样的空腔小孔发出的辐射就称为黑体辐射。

辐射热平衡状态:处于某一温度T 下的腔壁，单位面积所发射出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等时，辐射达到热平衡状态。

实验发现：
热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度T 有关而与黑体的形状和材料无关。

实验得到： 1.Wien 公式
从热力学出发加上一些特殊的假设，得到一个分布公式：
Wien 公式在短波部分与实验还相符合，长波部分则明显不一致。

2. Rayleigh-Jeans 公式
Rayleigh-Jeans 公式在低频区和实验相符，但是在
高频区公式与实验不符，并且
∞→=⎰∞
v v d E E ，既单位体积的能量发散，而
实
验测得的黑体辐射的能量密度是4
T E σ=，该
式
叫做Stefan-Bolzmann 公式，σ叫做Stefan-Bolzmann 常数。

3. Planck 黑体辐射定律
1900年１２月１４日Planck 提出如果空腔内的黑体辐射和腔壁原子处于平衡，那么辐射的能量分布与腔壁原子的能量分布就应有一种对应。

作为辐射原子的模型，Planck 假定：
（1）原子的性能和谐振子一样，以给定的频率v 振荡； （2）黑体只能以E=hv 为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，而不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收辐射能量。

得到：
νννπνρνd kT h C h d ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=1)/exp(1
833该式称为Planck 辐射定律 h 为普朗克常数，h=s j .10626.634
-⨯
4，普朗克的推导过程：
把空窖内的电磁波分解为各个频率的简振振动，简振模的形式最后为)
.(),(wt r K i k k e C t r -=αβψ，
为常系数振方向，表示两个互相垂直的偏ααk C 2,1=
每一个简振模在力学上等价于一个自由度，记频率在(
)νννd +,内的自由度数为()ννd g ，
则（0，v ）范围内的总自由度数G(v)与g(v)的关系为()()νννν
d g G ⎰=0。

借助几何方法求出()3338νπνc V G =
，取微分得()ννπννd c
V d g 2
3
8= 令E 代表体积为V 的空窖内热平衡辐射的总内能，()ννd T u ,代表单位体积,频率间隔在()νννd +,内的能量，
于是()ννεννd g d T u V E
⎰⎰∞
∞==0
~0)(,，的振子的平均能量代表频率为νε，()()ννπνννd c g V d g 23~81=≡代
表单位体积内频率间隔在()νννd +,内的振动自由度数。

可以得到
()d T v u ,适用，E=hv
,对即()νε其中(Z ν()1
-=kT
e
νε
把上式代入()(
)ννενd g d T v u ~
,=得到： ()1
8,/33-=kT h d e h c d T v u νν
νπν这就是普朗克辐射公式。

此
时
辐射场
的内能为
()()⎰⎰⎰∞
=∞
=∞
===-==-==0
33454
334
3
0/33
158,18/,18,n x n kT h n c h k a aT dx e x h kT c E kT hv x e
d h c d T u E ππννπ
ννν其中得令,5，对Planck 辐射定律的讨论：νννπνρνd kT h C h d ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=1)/exp(1
833 （1）当v 很大（短波）时，因为exp(hv/kT)-1≈exp(hv/kT)，
于是
Planck 定律化为Wien 公式。

νννπνρνd kT h C h d ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=1)/exp(1
833变为νννπνρνd kT h C h d )/ex p(833-= 2）当v 公式。

3）
4）最新文件 5）。