20XX 年秋高一数学第一学期函数压轴训练题1．（本小题满分12分）已知x 满足不等式211222(log )7log 30x x ++≤，求22()log log 42x xf x =⋅的最大值与最小值及相应x 值．2.（14分）已知定义域为R 的函数2()12x x af x -+=+是奇函数（1）求a 值；（2）判断并证明该函数在定义域R 上的单调性；（3）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围；3. （本小题满分10分）已知定义在区间(1,1)-上的函数2()1ax b f x x+=+为奇函数,且12()25f =. (1) 求实数a ,b 的值；(2) 用定义证明:函数()f x 在区间(1,1)-上是增函数； (3) 解关于t 的不等式(1)()0f t f t -+<.4. (14分)定义在R +上的函数f(x)对任意实数a,b +∈R ,均有f(ab)=f(a)+f(b)成立，且当x>1时,f(x)<0，(1)求f(1) (2)求证：f(x)为减函数。
(3)当f(4)= -2时，解不等式1)5()3(-≥+-f x f5.（本小题满分12分）已知定义在[1，4]上的函数f(x)＝x 2-2bx+4b(b ≥1)， (I)求f(x)的最小值g(b)； (II)求g(b)的最大值M 。
6.（12分）设函数()log (3)(0,1)a f x x a a a =->≠且，当点(,)P x y 是函数()y f x =图象上的点时，点(2,)Q x a y --是函数()y g x =图象上的点. （1）写出函数()y g x =的解析式；（2）若当[2,3]x a a ∈++时，恒有|()()|1f x g x -，试确定a 的取值范围；（3）把()y g x =的图象向左平移a 个单位得到()y h x =的图象，函数1()22()()()2h x h x h x F x a a a ---=-+，（0,1a a >≠且）在1[,4]4的最大值为54，求a 的值.7. （12分）设函数124()lg ()3x xa f x a R ++=∈.（1）当2a =-时，求()f x 的定义域；（2）如果(,1)x ∈-∞-时，()f x 有意义，试确定a 的取值范围； （3）如果01a <<，求证：当0x ≠时，有2()(2)f x f x <.8. （本题满分14分）已知幂函数(2)(1)()()k k f x xk z -+=∈满足(2)(3)f f <。
（1）求整数k 的值，并写出相应的函数()f x 的解析式；（2）对于（1）中的函数()f x ，试判断是否存在正数m ，使函数()1()(21)g x mf x m x =-+-，在区间[]0,1上的最大值为5。
若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由。
9. （本题满分14分）已知函数1()(0x f x aa -=>且1)a ≠（Ⅰ）若函数()y f x =的图象经过()4,3P 点，求a 的值； （Ⅱ）当a 变化时，比较1(lg)( 2.1)100f f -与大小，并写出比较过程； （Ⅲ）若(lg )100f a =，求a 的值．10. （本题16分）已知函数9()log (91)x f x kx =++(k ∈R )是偶函数． (1)求k 的值；(2)若函数()y f x =的图象与直线12y x b =+没有交点，求b 的取值范围； (3)设()94()log 33x h x a a =⋅-，若函数()f x 与()h x 的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围．11. （本小题满分12分）二次函数()y f x =的图象经过三点(3,7),(5,7),(2,8)A B C --.（1）求函数()y f x =的解析式（2）求函数()y f x =在区间[],1t t +上的最大值和最小值12.(本小题满分14分) 已知函数x xax f 22)(+=,且)(x f 为奇函数． (Ⅰ)求a 的值;(Ⅱ)定义:若函数0),0(,)(>>+=x a xax x g ,则函数)(x g 在],0(a 上是减函数,在),[+∞a 是增函数.设2)1()()(+--=x f x f x F ,求函数)(x F 在]1,1[-∈x 上的值域．13.(本小题满分16分) 设0a >,0b >,已知函数()1ax bf x x +=+. (Ⅰ)当a b ≠时,讨论函数()f x 的单调性(直接写结论); (Ⅱ)当0x >时,(i)证明2)]([)()1(ab f a b f f =⋅;14.(本小题满分16分)设函数])1(lg[)(22x a ax x f +-=的定义域区间为I ,其中0a >. (Ⅰ)求I 的长度)(a L (注:区间(,)αβ的长度定义为βα-); (Ⅱ)判断函数)(a L 的单调性,并用单调性定义证明;(Ⅲ)给定常数(0,1)k ∈,当[]k k a +-∈1,1时,求区间I 长度)(a L 的最小值.1.解：由211222(log )7log 30x x ++≤，∴1213log 2x -≤≤-， ∴21log 32x ≤≤， 而2222()log log (log 2)(log 1)42x xf x x x =⋅=--=222(log )3log 2x x -+=2231(log )24x --，当23log 2x =时min 1()4f x =- 此时x =322=当2log 3x =时max 91()244f x =-=，此时8x =． 2. 解：（1）由题设，需12(0)0,1a f a -+==∴=，1212()xxf x -+∴=经验证，()f x 为奇函数，1a ∴=---------（2分）（2）减函数--------------（3分）证明：任取121221,,,0R x x x x x x x ∈∆=-，由（1）122121122(22)1212211212(12)(12)()()x x x x x x x x y f f x x ---++++∆=-=-=12121212,022,220,(12)(12)0x x x x x x x x ∴∴-++0y ∴∆∴该函数在定义域R 上是减函数--------------（7分）3. 解：(1)由2()1ax b f x x +=+为奇函数,且 2122()1251()2a bf +==+ 则21122()()12251()2a bf f -+-==-=-+-，解得：1,0a b ==。
∴2()1x f x x =+(2)证明：在区间(1,1)-上任取12,x x ，令1211x x -<<<,221212211222221212(1)(1)()()11(1)(1)x x x x x x f x f x x x x x +-+-=-=++++12122212()(1)(1)(1)x x x x x x --=++1211x x -<<< ∴ 120x x -< ,1210x x -> , 21(1)0x +>, 22(1)0x +>∴12()()0f x f x -< 即12()()f x f x <故函数()f x 在区间(1,1)-上是增函数.(3)(1)()0f t f t -+< ∴ ()(1)(1)f t f t f t <--=-函数()f x 在区间(1,1)-上是增函数 ∴ 111111t tt t <-⎧⎪-<<⎨⎪-<-<⎩∴102t <<故关于t 的不等式的解集为1(0,)2. 4（1） 由条件得f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0 (2) 法一：设k 为一个大于1的常数，x ∈R+，则 f(kx)=f(x)+f(k)因为k>1，所以f(k)<0，且kx>x所以kx>x,f(kx)<f(x)对x ∈R+恒成立，所以 f(x)为R+上的单调减函数 法二：设()2121,0,x x x x <+∞∈且令1,12>=k kx x 则)()()()()()()()(212121k f x f k f x f kx f x f x f x f -=--=-=-有题知，f(k)<0)()(0)()(2121x f x f x f x f >>-∴即所以f(x)在（0，+∞）上为减函数 法三：设()2121,0,x x x x <+∞∈且)()()()()(12121121x x f x x x f x f x f x f -=⋅-=- 0)(11212<∴>x xf x x )()(0)()(2121x f x f x f x f >>-∴即 所以f(x)在（0，+∞）上为减函数5解：f(x)=(x-b)2-b 2+4b的对称轴为直线x ＝b （ b ≥1），(I) ①当1≤b ≤4时，g(b)＝f(b)＝-b 2+4b ; ②当b ＞4时，g(b)＝f(4)＝16-314b ，综上所述，f(x)的最小值g(b)＝2 (14)4 3116 (4)4bb b b b ⎧-+⎪⎪⎨⎪-⎪⎩≤≤。
＞ (II) ①当1≤b ≤4时，g(b)＝-b 2+4b ＝-(b-18)2+164， ∴当b ＝1时，M ＝g(1)＝-34；②当b ＞4时，g(b)＝16-314b 是减函数，∴g(b)＜16-314×4＝-15＜-34，综上所述，g(b)的最大值M= -34。
6. 解：（1）设点Q 的坐标为(',')x y ，则'2,'x x a y y =-=-，即'2,'x x a y y =+=-。
∵点(,)P x y 在函数log (3)a y x a =-图象上 ∴'log ('23)a y x a a -=+-，即1'log 'ay x a=-∴1()log ag x x a =-(2)由题意[2,3]x a a ∈++，则3(2)3220x a a a a -=+-=-+>，110(2)x a a a=>-+-.又0a >，且1a ≠，∴01a <<221|()()||log (3)log ||log (43)|a aaf xg x x a x ax a x a-=--=-+-∵()()1f x g x - ∴221log (43)1a x ax a --+∵01a <<∴22a a +>，则22()43r x x ax a =-+在[2,3]a a ++上为增函数， ∴函数22()log (43)a u x x ax a =-+在[2,3]a a ++上为减函数，从而max [()](2)log (44)a u x u a a =+=-。