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2019安徽师大附中自主招生
数 学 试 卷
一、填空题（本大题共8小题，每小题7分，共56分. 把答案填在题中横线上）
1．若1x =
，则32(2(1x x x -++的值是 ．
2．有6个量杯A 、B 、C 、D 、E 、F ，它们的容积分别是16毫升、18毫升、22毫升、23毫升、24毫升和34毫升．有些量杯中注满了酒精，有些量杯中注满了蒸馏水，还剩下一个空量杯，而酒精的体积是蒸馏水体积的两倍．那么注满蒸馏水的量杯是 ． 3．各边互不相等的ABC ∆，两条高的长度分别为4和12，若第三条高的长度也是整数，那么这条高的长度等于 ．
4．如图1,在ABC ∆中, AB AC = ,
40=∠A ,延长AC 到D ,使CD BC =,点P 是
ABD ∆的内心,则BPC ∠= ．
图1 图2 图3
5．ABC ∆的三边长,,a b c 都为整数,且24a bc b ca +++=,当ABC ∆为等腰三角形时,它的三边边长分别为 ． 6．如图2,凸五边形ABCDE 内接于半径为1的⊙O ,ABCD 是矩形, AE ED =,且BE 和CE 把AD 三等分.则此五边形ABCDE 的面积是 ．
7．方程2
0x ax b ++=的两根为12,x x ，且3322121212x x x x x x +=+=+，则有序实数对
(,)a b 共有 对．
8．如图3,正EFG ∆内接于正方形ABCD ，其中,,E F G 分别在边,,AB AD BC 上，若
2AE EB =，则BG
BC
= ．
二、解答题（本大题共3小题，共44分，答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
9．（本小题满分14分）如图，⊙1O 与⊙2O 相交于A 、B 两点，过点B 的直线交⊙1O 与⊙
2O 于C 、D .弧BD 的中点为M ，AM 交⊙1O 于E ，交CD 于F ，连,,CE AD DM .
(1) 求证：AD EF DM CF ⋅=⋅;
(2) 求证：22EF MF
CE MA
=; (3) 若5,7,2,4BC BD CF DF AM MF ====，求MF 和CE 的长.
棋盘上用黑棋子和白棋子对局，规则10．（本小题满分14分）两个男孩曹俊和伍岳在33
如下：
（I）他们轮流下子；（II）每轮到一次，就把一个棋子放在棋盘的空格里；（III）棋手轮到时，可选择一白子或一黑子，并且不必要总用同色；（IV）当棋盘填满时，某一行、列或对角线有偶数个黑棋子，曹俊就得1分，而某一行、列或对角线有奇数个黑棋子，伍岳就得1分；（V）棋手至少得到8分中的5分，就算得胜．
（1）4:4和局是否可能？若可能,请列出一种表格的情况；若不可能，请说明理由；
（2）叙述先下手的男孩的取胜策略．
11．（本小题满分16分）已知直线1
2
y x =和y x m =-+，二次函数2y x px q =++图象的顶点为M
（1）若M 恰在直线1
2
y x =
和y x m =-+的交点处，证明无论m 取何实数值，二次函数2y x px q =++的图象与直线y x m =-+总有两个不同的交点；
（2）在（1）的条件下，直线y x m =-+过点)3,0(-D ，二次函数2y x px q =++的图象与y 轴交于点C ，与x 轴的左交点为A ，在直线1
2
y x =
上求异于M 的点N ，使N 在CMA ∆的外接圆上.
2019安师大附中自主招生数学 答案
1. 2
2. A 、C （或者填16毫升、22毫升）
3. 5
4. 145︒
5. 6,6,1；4,4,2；3,3,3
6.
7. 3
8.
9
9.(1)证明：连接AB ，BCE BAE ∠=∠,BM MD =,则BAM DAM ∠=∠BDM =∠
C E F
D M F 与中，CEF DMF ∠=∠.由,ECF MAD ∠=∠CEF AMD ∠=∠
CEF AMD ∴
△∽△ CF EF
AD MD = 即AD EF DM CF ⋅=⋅ ………………5分 （2）CEF DMF △∽△,有EF MF CE DM =，CEF AMD △∽△，有EF MD
CE AM = 22EF MF MD MF
CE DM AM MA
== ………………9分 （3）由题意3,4BF DF ==,由相交弦定理可知：BF DF MF AF ⋅=⋅
123,2MF MF MF =⋅=,由（2）可得2=64CE ，
8CE = ………………14分
10.解（1）4:4和局是可能的，结局如图1
图1
…………… 5分
（2）如果有0或2个黑子的行（列或对角线，下同）的数目超过4，曹俊就会得胜。

如果有3或1个黑子，也就是有0或2个白子的行的数目超过4，伍岳就会得胜。

由于曹俊（黑）和伍岳（白）之间的对称性，只要考虑曹俊先下手的情形就够了。

曹俊把一个黑子放在中心上，然后，不管伍岳怎样下子，曹俊总是把不同色的棋子放在关于中心对称的方格上。

这样，在他的后面4步中，每一步都保证有两条对角线之一或通过中心的行或列有2个黑子。

此外，至少还有另一行或另一列有2个黑子。

事实上。

试考虑游戏的结局的棋盘，恰好有两角方格放着黑子，这两个黑子不能在对角上。

因此，棋盘实际上类似于图
图2
方格1和2恰好有一个放黑子，它所在的一行有偶数个黑子。

……………14分
11（1）证明交点21,33M m m ⎛⎫
⎪⎝⎭
，此时二次函数为221()33y x m m =-+
22441393x mx m m =-++，联立消去y ，得22442
(1)0393
x m x m m --+-=
由1=可证 …………… 7分
（2）()0,3D -带入直线方程，3(2,1)m M =-∴--2(2)1(1)(3)y x x x =+-=++,
(0,3)(3,0)C A -,由勾股定理可知: CMA △为直角三角形，且CAM ∠为直角， MC ∴为CMA △外接圆的直径，设1
(,)2N n n 090CNM ∠=
222CN MN CM +=,2221(3)2CN n n =+-,2221
(2)(1)2
MN n n =+++,220CM =
解得126,25n n ==-.而22n =-即是M 点的横坐标，不合题意，舍去。

63
(,)55
P ∴
……………16分。