2018年四川师大附中自主招生数学试卷一、选择题(本大题共有12个小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)1.(5分)如图,若数轴上的两点A、B表示的数分别为a、b,则|a﹣b|+|b|等于()A.a B.a﹣2b C.﹣a D.b﹣a2.(5分)如果|m+1|+(n﹣2018)2=0,那么m n的值为()A.﹣1B.1C.2018D.﹣20183.(5分)由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三种视图如下,那么小正方体个数为()A.5个B.6个C.7个D.8个4.(5分)有四张正面分别标有数字﹣2,﹣1,1,2的不透明卡片,它们除数字不同外其余相同.现将它们背面朝上,洗匀后小李从中任取两张,将两张卡片上的数字之和记为x,则小李得到的x值使分式的值为0的概率是()A.B.C.D.5.(5分)已知a2+b2=6ab且a>b>0,则的值为()A.B.±C.2D.±26.(5分)将边长分别为1、1、2、3、5的正方形依次选取2个、3个、4个、5个拼成矩形,按下面的规律依次记作矩形①、矩形②、矩形③、矩形④.若继续选取适当的正方形拼成矩形,那么按此规律,矩形⑧的周长应该为()A.288B.220C.178D.1107.(5分)若对所有的实数x,x2+ax+a恒为正,则()A.a<0B.a>4C.a<0或a>4D.0<a<48.(5分)已知m,n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根,则(m+2)(n+2)的最小值是()A.7B.11C.12D.169.(5分)如图,点E、F分别为正方形ABCD中AB、BC边的中点,连接AF、DE相交于点G,连接CG,则cos∠CGD=()A.B.C.D.10.(5分)一次函数y=﹣kx+4与反比例函数的图象有两个不同的交点,点(﹣,y1)、(﹣1,y2)、(,y3)是函数图象上的三个点,则y1、y2、y3的大小关系是()A.y2<y3<y1B.y1<y2<y3C.y3<y1<y2D.y3<y2<y111.(5分)如图,一个粒子从原点出发,每分钟移动一次,依次运动到(0,1)→(1,0)→(1,1)→(1,2)→(2,1)→(3,0)→……,则2018分钟时粒子所在点的横坐标为()A.886B.903C.946D.99012.(5分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论:①abc>0;②当x≥1时,y随x 的增大而减小;③2a+b=0;④b2﹣4ac>0;⑤<1,其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4二、填空题(本大题共有4个小题,每小题5分,共20分)13.(5分)如果ab<0,那么++=.14.(5分)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=12,BC=5,D是AB边上的动点,E是AC边上的动点,则BE+ED的最小值为.15.(5分)如图,矩形ABCD四个顶点均在函数y=的图象上,且矩形面积为2,则x A=.16.(5分)两条平行线间的距离公式一般地;两条平行线l1:Ax+By+C1=0和l2:Ax+By+C2=0间的距离公式是d=如:求:两条平行线x+3y﹣4=0和2x+6y﹣9=0的距离.解:将两方程中x,y的系数化成对应相等的形式,得2x+6y﹣8=0和2x+6y﹣9=0,因此,d=两条平行线l1:3x+4y=10和l2:6x+8y﹣10=0的距离是.三、解答题(本大题共有5个小题,共70分.请保留必要的,17.(10分)(1)已知x2﹣4x+1=0,求﹣的值;(2)如果=3+,求m的值.18.(12分)植树节前夕,某校所有学生参加植树活动,要求每人植2~6棵.活动结束后,校学生会就本校学生的植树量进行了调查.经过对调查数据的分析,得到如图所示的两幅不完整的统计图.请你根据图中提供的信息解答以下问题:(1)求该校共有多少名学生;(2)将条形统计图补充完整;(3)在扇形统计图中,计算出“3棵”部分所对应的圆心角的度数;(4)在这次调查中,众数和中位数分别为多少?(5)从该校中任选一名学生,其植树量为“6棵”的概率是多少?19.(15分)如图,在矩形ABCD中,E是AB边的中点,沿EC对折矩形ABCD,使B点落在点P处,折痕为EC,连接EC,连结AP并延长AP交CD于F点,连接BP,交CE于点H.(1)若∠PBA:∠PBC=1:2,判断△PBC的形状并说明;(2)求证:四边形AECF为平行四边形.20.(15分)如图,BC是⊙O的直径,A是⊙O上一点,过点C作⊙O的切线,交BA的延长线于点D,取CD的中点E,AE的延长线与BC的延长线交于点P.(1)求证:AP是⊙O的切线;(2)若OC=CP,AB=3,求CD的长.21.(18分)如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点,其中点B(2,0),交y轴于点C(0,﹣).直线y=mx+过点B与y轴交于点N,与抛物线的另一个交点是D,点P是直线BD下方的抛物线上一动点(不与点B、D重合),过点P作y轴的平行线,交直线BD于点E,过点D作DM⊥y轴于点M.(1)求抛物线y=x2+bx+c的表达式及点D的坐标;(2)若四边形PEMN是平行四边形?请求出点P的坐标;(3)过点P作PF⊥BD于点F,设△PEF的周长为C,点P的横坐标为a,求C与a的函数关系式,并求出C的最大值.参考答案一、选择题(本大题共有12个小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)1.选:B.2.选:B.3.选:D.4.选:A.5.选:A.6.选:C.7.选:D.8.选:D.9.选:D.10.选:D.11.选:D.12.选:D.二、填空题(本大题共有4个小题,每小题5分,共20分)13.答案为﹣1.14.答案为.15.答案为:.16.答案为:1.三、解答题(本大题共有5个小题,共70分.请保留必要的,17.(10分)(1)已知x2﹣4x+1=0,求﹣的值;(2)如果=3+,求m的值.【解答】解:(1)﹣===,∵x2﹣4x+1=0,∴x2﹣4x=﹣1,∴原式==﹣23;(2)∵=3+,∴=,∴3+m=﹣2,∴m=﹣5.18.(12分)植树节前夕,某校所有学生参加植树活动,要求每人植2~6棵.活动结束后,校学生会就本校学生的植树量进行了调查.经过对调查数据的分析,得到如图所示的两幅不完整的统计图.请你根据图中提供的信息解答以下问题:(1)求该校共有多少名学生;(2)将条形统计图补充完整;(3)在扇形统计图中,计算出“3棵”部分所对应的圆心角的度数;(4)在这次调查中,众数和中位数分别为多少?(5)从该校中任选一名学生,其植树量为“6棵”的概率是多少?【解答】解:(1)根据题意得:300÷30%=1000(人),答:该校共有1000名学生;(2)植5株的人数是:1000×35%=350(人),补图如下:(3)根据题意得:×360°=72°,答:植3棵部分所对应的圆心角的度数是72°;(4)植5棵的人数最多,则众数是5棵;把这些数从小到大排列,第501和502个数的平均数是中位数,则中位数是4棵.(5)因为共有1000人,植6株树的人数是50,则植树量为“6棵”的概率是=.19.(15分)如图,在矩形ABCD中,E是AB边的中点,沿EC对折矩形ABCD,使B点落在点P处,折痕为EC,连接EC,连结AP并延长AP交CD于F点,连接BP,交CE于点H.(1)若∠PBA:∠PBC=1:2,判断△PBC的形状并说明;(2)求证:四边形AECF为平行四边形.【解答】(1)解:△PBC是等边三角形,理由是:在矩形ABCD中,∠ABC=90°,∵∠PBA:∠PBC=1:2,∴∠OBC=60°,∵沿EC对折矩形ABCD,使B点落在点P处,∴PC=BC,∴△PBC是等边三角形;(2)证明:∵根据折叠得出△EBC≌△EPC,∴BE=PE,∴∠1=∠2,∵E为AB的中点,∴BE=AE,∴AE=PE,∴∠3=∠4,∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°,∴∠2+∠3=90°,∴BP⊥AF,∵对折矩形ABCD,∴BP⊥CE,∴AF∥CE,∵根据矩形ABCD得:AE∥CF,∴四边形AECF为平行四边形.20.(15分)如图,BC是⊙O的直径,A是⊙O上一点,过点C作⊙O的切线,交BA的延长线于点D,取CD的中点E,AE的延长线与BC的延长线交于点P.(1)求证:AP是⊙O的切线;(2)若OC=CP,AB=3,求CD的长.【解答】(1)证明:连结AO,AC;如图所示:∵BC是⊙O的直径,∴∠BAC=90°,∴∠CAD=90°,∵E是CD的中点,∴AE=CD=CE=DE,∴∠ECA=∠EAC,∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∵CD是⊙O的切线,∴CD⊥OC,∴∠ECA+∠OCA=90°,∴∠EAC+∠OAC=90°,∴OA⊥AP,∵A是⊙O上一点,∴AP是⊙O的切线;(2)解:由(1)知OA⊥AP.在Rt△OAP中,∵∠OAP=90°,OC=CP=OA,即OP=2OA,∴sin P==;∴∠P=30°,∴∠AOP=60°,∵OC=OA,∴△AOC是等边三角形,∴∠ACO=60°,在Rt△BAC中,∵∠BAC=90°,AB=3,∠ACO=60°,∴AC===3,又∵在Rt△ACD中,∠CAD=90°,∠ACD=90°﹣∠ACO=30°,∴CD===2.21.(18分)如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点,其中点B(2,0),交y轴于点C(0,﹣).直线y=mx+过点B与y轴交于点N,与抛物线的另一个交点是D,点P是直线BD下方的抛物线上一动点(不与点B、D重合),过点P作y轴的平行线,交直线BD于点E,过点D作DM⊥y轴于点M.(1)求抛物线y=x2+bx+c的表达式及点D的坐标;(2)若四边形PEMN是平行四边形?请求出点P的坐标;(3)过点P作PF⊥BD于点F,设△PEF的周长为C,点P的横坐标为a,求C与a的函数关系式,并求出C的最大值.【解答】解:(1)将B,C点坐标代入函数解析式,得,解得,抛物线的解析式为y=x2+x﹣.∵直线y=mx+过点B(2,0),∴2m+=0,解得m=﹣,直线的解析式为y=﹣x+.联立直线与抛物线,得∴x2+x﹣=﹣x+,解得x1=﹣8,x2=2(舍),∴D(﹣8,7);(2)∵DM⊥y轴,∴M(0,7),N(0,)∴MN=7﹣=6.设P的坐标为(x,x2+x﹣),E的坐标则是(x,﹣x+)PE=﹣x+﹣(x2+x﹣)=﹣x2﹣x+4,∵PE∥y轴,要使四边形PEMN是平行四边形,必有PE=MN,即﹣x2﹣x+4=6,解得x1=﹣2,x2=﹣4,当x=﹣2时,y=﹣3,即P(﹣2,﹣3),当x=﹣4时,y=﹣,即P(﹣4,﹣),综上所述:点P的坐标是(﹣2,﹣3)和)(﹣4,﹣);(3)在Rt△DMN中,DM=8,MN=6,由勾股定理,得DN==10,∴△DMN的周长是24.∵PE∥y轴,∴∠PEN=∠DNM,又∵∠PFE=∠DMN=90°,∴△PEF∽△DMN,∴=,由(2)知PE=﹣a2﹣a+4,∴=,∴C=﹣a2﹣a+,C=﹣(a+3)2+15,C与a的函数关系式为C=﹣a2﹣a+,当a=﹣3时,C的最大值是15.。