10狭义相对论基础习题思考题习题1010-1．一观察者测得运动着的米尺长0.5m ，问此尺以多大的速度接近观察者？解：由动尺缩短公式 2201cv l l -=，可得 22115.0cv -⨯=m/s 106.2238⨯==c v10-2．在参考系S 中，一粒子沿直线运动，从坐标原点运动到了m 105.18⨯=x 处，经历时间为s 00.1=t ∆，试计算该过程对应的固有时。

解：以粒子为S '系，利用221()t u c '∆=∆-8281.5101()0.866310t s ⨯'∆=-=⨯。

10-3．长度01ml=的米尺静止于'S 系中，与x′轴的夹角'θ=30°，'S 系相对S 系沿x 轴运动，在S 系中观测者测得米尺与x 轴夹角为=θ45°。

试求：（1）'S 系和S 系的相对运动速度。

（2）S 系中测得的米尺长度。

解：（1）米尺相对S '静止，它在,x y ''轴上的投影分别为：0cos 0.866m xL L θ''==，0sin 0.5m yL L θ''==。

米尺相对S 沿x 方向运动，设速度为v ，对S系中的观察者测得米尺在x 方向收缩，而y 方向的长度不变，即：221x v L L c=-，yyL L '=故 ：22tan 1yy xxxLL L LL vL c θ''==='-。

把ο45θ=及,y L L ''代入，则得：220.510.866v c -=，故 ：0.816v c=(2)在S 系中测得米尺长度为0.707msin 45y L L ==︒。

10-4．一门宽为a ，今有一固有长度0l (0l ＞a)的水平细杆，在门外贴近门的平面内沿其长度方向匀速运动。

若站在门外的观察者认为此杆的两端可同时被拉进此门，则该杆相对于门的运动速率u 至少为多少？解：门外观测者测得杆长为运动长度，21()u l l c=-当1a ≤时，可认为能被拉进门，则：21()u a lc≤-解得杆的运动速率至少为：21()a u c l =-10-5．两个惯性系中的观察者O 和O '以0.6c （c 表示真空中光速）的相对速度相互接近，如果O 测得两者的初始距离是20m ，则O '测得两者经过多少时间相遇？解： O 测得相遇时间为t ∆：0200.6Lt vc∆==O '测得的是固有时t '∆：∴201L tt βγ-∆'∆==88.8910s -=⨯，或者，O '测得长度收缩：22110.60.8LL L L L t vβ'=-=-=∆=n 8080.80.8208.8910s 0.60.6310L t c -⨯'∆===⨯⨯⨯10-6．一宇航员要到离地球为5光年的星球去旅行．如果宇航员希望把这路程缩短为3光年，则他所乘的火箭相对于地球的速度是多少？ 解： 22233151,15l l βββ'==-=-=-n∴ 941255v c c =-=10-7．从S 系观察到有一粒子在01=t 时由m 1001=x 处以速度c v 98.0=沿x 方向运动，s 10后到达2x 点，如在S '系(相对S 系以速度c u 96.0=沿x 方向运动)观察，粒子出发和到达的时空坐标2211,,,x t x t ''''各为多少？(0='=t t 时，S '与S 的原点重合)，并算出粒子相对S '系的速度。

解：利用洛仑兹变换：2221()u t x c t u c -'=-，221()x uc '=-，2221()10.960.28u c-=-=，有：1122612220.960100 1.147100.961()1()u c t x c c t s c u c c---⨯'===-⨯--；222222220.96109.8 2.110.961()1()u c t x cc c t s c u c c--⨯'===--；mc c c c u ut x x 14.357)96.0(1096.0100)(1222111=-⨯-=--='； mc c c c cu ut x x 82222221014.2)96.0(11096.08.9)(1⨯=-⨯-=--='；'8220.980.96 1.014100.96110.98x x x v u c c v u cv c c c--===⨯--⨯m/s。

10-8．1000m 的高空大气层中产生了一个π介子，以速度0.8v c =飞向地球,假定该π介子在其自身的静止参照系中的寿命等于其平均寿命62.410s -×，试分别从下面两个角度，即地面上观测者相对π介子静止系中的观测者来判断该π介子能否到达地球表面。

解：（1）地面上的观察者认为时间膨胀： 有221t uc ∆=-，∴6622410(0.8)1t sac c -∆==⨯-由860.83104109601000l v t m m-=∆=⋅⨯⋅⨯=<，∴到达不了地球；（2）π介子静止系中的观测者认为长度收缩： 有221u l l c=-22(0.8)10001600c l mc =-=而682.4100.8310576600s v t m m-=∆=⨯⋅⋅⨯=<，∴到达不了地球。

10-9．某人测得一静止棒长为l ，质量为m ，于是求得此棒线密度为/ρ=m l 。

假定此棒以速度v 在棒长方向上运动，此人再测棒的线密度为多少？若棒在垂直度方向上运动，它的线密度又为多少？ 解：棒以速度v 运动时，质量变为2211cv mm -=在棒长方向上运动，长度缩短为2211cvl l -=， 则棒的线密度为222211111c v c v l m l m -=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==ρρ棒在垂直度方向上运动时，长度不变，因此它的线密度为22121cv l mlm -==ρ10-10．一个电子从静止开始加速到c 1.0，需对它做多少功？，若速度从c 9.0增加到c 99.0又要做多少功？解：由相对论动能：22kE m c m c =-： （1）2610222(1)0.5110(1)10.11k E m c v c ==⨯---2.57MeV =；（2）220222122(11k Em c vvc c =-- 6220.5110(10.9910.9=⨯-- 2.44MeV= 。

10-11．一静止电子(静止能量为MeV 51.0)被1.3MeV 的电势差加速，然后以恒定速度运动。

求：（1）电子在达到最终速度后飞越m 4.8的距离需要多少时间？（2）在电子的静止系中测量，此段距离是多少？ 解：（1）∵MeV c m 51.020=，MeV E k3.1=∴MeV E c m mc k81.1202=+=，考虑到：221cv m m -=，得：220221m c v c mc -=，可求得：810.96 2.8810v c m s -==⨯⋅ ，那么，sv l t 881092.21088.24.8-⨯=⨯==；（2）由221vl c'=-，有28.410.96 2.37l m '=-=。

10-12．一电子在电场中从静止开始加速，电子的静止质量为kg 1011.931-⨯. （1）问电子应通过多大的电势差才能使其质量增加%4.0？（2）此时电子的速率是多少？解：（1）由220k E m c m c =-，且eU E k=，004.00=-mmm ， 有：222000.004eU mc m c m c =-=，∴2030.004 2.0510m c U Ve==⨯；（2）∵01.004m m =，∴2021m v c m-=，可求得：17107.2-⋅⨯=s m v 。

10-13．已知一粒子的动能等于其静止能量的n 倍，求：（1）粒子的速率，（2）粒子的动量。

解：（1）依题意知：2c nm E k=，又∵22kE m c m c =-，222000221m c nm cv c =-，有：22211(1)v c n -=+整理得：1)2(++=n n n cv ；（2）由420222c m c P E +=，而：20)1(c m n E +=， 得：)2(0+=n n c m P 。

10-14．太阳的辐射能来源于内部一系列核反应，其中之一是氢核(H 11)和氘核(H 21)聚变为氦核(He 32)，同时放出γ光子，反应方程为：γ+→+He H H 322111已知氢、氘和He 3的原子质量依次为u 007825.1、2.014102u 和3.016029u . 原子质量单位kg 1066.1u 127-⨯=. 试估算γ光子的能量。

解： 1.007825 2.014102 3.016029m u u u ∆=+-290.0058980.97910u kg -==⨯ 根据质能方程：29822190.97910(310)5.5MeV 1.610E mc --⨯⨯⨯∆=∆==⨯。

思考题1010-1．关于狭义相对论，下列几种说法中错误的是下列哪种表述：（A）一切运动物体的速度都不能大于真空中的光速；（B）在任何惯性系中，光在真空中沿任何方向的传播速率都相同；（C）在真空中，光的速度与光源的运动状态无关；（D）在真空中，光的速度与光的频率有关。

答：（D）10-2．下面两种论断是否正确？（1）在某个惯性系中同时、同地发生的事件，在所有其他惯性系中也一定是同时、同地发生的。

（2）在某个惯性系中有两个事件，同时发生在不同地点、而在与该系有相对运动的其他惯性系中，这两个事件却一定不同时。

解：（1）正确；（2）正确。

10-3．在惯性系S 和S '，分别观测同一个空间曲面。

如果在S 系观测该曲面是球面，在S '系观测必定是椭球面。

反过来，如果在S '系观测是球面，则在S 系观测定是椭球面，这一结论是否正确？答：根据运动的相对性这个结论是正确的。

10-4．一列以速度v 行驶的火车，其中点C '与站台中点C 对准时，从站台首尾两端同时发出闪光。

从看来，这两次闪光是否同时？何处在先？答：根据)(2x c u t t ∆-∆='∆γ，由于0t ∆=，0≠∆x ，所以0t '∆<，即对C '点的观测者来说两次闪光不同时发生，尾部在先。

10-5．一高速列车穿过一山底隧道，列车和隧道静止时有相同的长度0l ，山顶上有人看到当列车完全进入隧道中时，在隧道的进口和出口处同时发生了雷击，但并未击中列车。