上海市各区县2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编三角函数一、填空题1、（宝山区2015届高三上期末）函数3tan y x =的周期是2、（虹口区2015届高三上期末）在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，若75,60,A B b =︒=︒=，则c =3、（黄浦区2015届高三上期末）已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，角α的终边与圆心在原点的单位圆(半径为1的圆)交于第二象限内的点4(,)5A A x ，则sin 2α＝ ．(用数值表示)4、（嘉定区2015届高三上期末）△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A c C a cos 2cos 3=，31tan =A ，则=B _________ 5、（金山区2015届高三上期末）方程：sin x +cos x =1在[0，π]上的解是 ▲6、（静安区2015届高三上期末）已知△ABC 的顶点)6,2(A 、)1,7(B 、)3,1(--C ，则△ABC 的内角BAC ∠的大小是 .（结果用反三角函数值表示）7、（静安区2015届高三上期末）已知αtan 、βtan 是方程04332=++x x 的两根，α、)2,2(ππβ-∈，则βα+= .8、（浦东区2015届高三上期末）函数sin y x x =的最大值为 9、（普陀区2015届高三上期末）函数⎪⎭⎫⎝⎛-π=x y 4tan 的单调递减区间是 10、（普陀区2015届高三上期末）在ABC ∆中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若32=a ，2=c ， 120=A ，则=∆ABC S11、（青浦区2015届高三上期末）已知函数2cos y x =与2sin(2)(0)y x ϕϕπ=+≤<，它们的图像有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是 12、（松江区2015届高三上期末）已知函数()sin()3f x x πω=+（R x ∈，0>ω）的最小正周期为π，将)(x f y =图像向左平移ϕ个单位长度)20(πϕ<<所得图像关于y 轴对称，则=ϕ ▲13、（徐汇区2015届高三上期末）已知3sin 5θ=-，则cos 2θ=__ __14、（杨浦区2015届高三上期末）已知() , 0,1sin 2∈=απα，则α=_______________ 15、（长宁区2015届高三上期末）函数y ＝sin2x cos2x 的最小正周期是________________ 16、（长宁区2015届高三上期末）已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2226t a n 5bc a acB -+=， 则sin B 的值是二、选择题1、（宝山区2015届高三上期末）已知点(tan ,cos )P αα在第三象限，则角α的终边在（ ）（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 2、（崇明县2015届高三上期末）定义在R 上的函数()f x 既是偶函数又是周期函数．若()f x 的最小正周期是π，且当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()sin f x x =，则53f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为…………………（ ）A ．12-B ．12C ．D 3、（奉贤区2015届高三上期末）下列函数是在(0,1)上为减函数的是 （ ）A ．cos y x =B ．2x y =C ．sin y x =D ．x y tan =三、解答题1、（崇明县2015届高三上期末）已知函数21()sin 22f x x x =+．（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．2、（奉贤区2015届高三上期末）已知函数2()sin cos 2f x x x x =+⋅+，求()f x 的最小正周期，并求()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．3、（虹口区2015届高三上期末）已知3cos ,424x x πππ⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求sin ,sin ,cos 24x x x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值4、（黄浦区2015届高三上期末）已知函数()cos cos2,R f x x x x x =-∈． (1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)在ABC ∆中，内角A B C 、、所对边的长分别是a b c 、、，若()2,C ,24f A c π===，求ABC ∆的面积ABC S ∆的值．5、（静安区2015届高三上期末）在锐角ABC ∆中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 所对的边长，且满足ba A 23sin =. （1）求∠B 的大小； （2）若b =ABC ∆的面积ABC S ∆=a c +的值. 6、（浦东区2015届高三上期末）某风景区有空中景点A 及平坦的地面上景点B ．已知AB 与地面所成角的大小为 60，点A 在地面上的射影为H ，如图.请在地面上选定点M ，使得A B B MAM+达到最大值.7、（普陀区2015届高三上期末）已知函数x x b x a x f cos sin sin )(2+=满足2)23(6(==ππf f（1）求实数b a ,的值以及函数)(x f 的最小正周期；（2）记)()(t x f x g +=，若函数)(x g 是偶函数，求实数t 的值.8、（青浦区2015届高三上期末）如图，摩天轮上一点P 在t 时刻距离地面高度满足sin()y A t b ωϕ=++，[],ϕππ∈-，已知某摩天轮的半径为50米，点O 距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P 的起始位置在摩天轮的最低点处．（1）根据条件写出y （米）关于t （分钟）的解析式；（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P 距离地面超过85米?9、（松江区2015届高三上期末）在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边，且满足c b a <<,B a b sin 2=．（1）求A 的大小；（2）若2a =，32=b ，求ABC ∆的面积．OABCDMN10、（徐汇区2015届高三上期末）已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π，且23)125(=πf ． （1）求A 的值；（2）若23)()(=-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)43(θπ-f ．11、（杨浦区2015届高三上期末）如图，有一块扇形草地OMN ，已知半径为R ，2MON π∠=，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD 作为儿童乐园使用，其中点A 、B 在弧MN 上，且线段AB 平行于线段MN （1）若点A 为弧MN 的一个三等分点，求矩形ABCD 的面积S ； （2）当A 在何处时，矩形ABCD 的面积S 最大？最大值为多少？12、（闸北区2015届高三上期末）如图，在海岸线EF 一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC ，该曲线段是函数sin()(0,0,(0,))y A x A ωφωφπ=+>>∈，[4,0]x ∈-的图像，图像的最高点为(1,2)B -．边界的中间部分为长1千米的直线段CD ，且CD EF ∥．游乐场的后一部分边界是以O 为圆心的一段圆弧．（1）求曲线段FGBC 的函数表达式； （2）曲线段FGBC 上的入口G 距海岸线EF 最近距离为1千米，现准备从入口G 修一条笔直的景观路到O ，求景观路GO长；（3）如图，在扇形ODE 区域内建一个平行四边 形休闲区OMPQ ，平行四边形的一边在海岸线EF 上，一边在半径OD 上，另外一个顶点P 在圆弧上，且POE θ∠=，求平行四边形休闲区OMPQ 面积的最大值及此时θ的值．13、（长宁区2015届高三上期末）已知8,tan cot 23παπαα<<-=- （1）求tan α的值； （2）求sin 22πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值。

C y 2EQ P xDGF (- 4,0)参考答案 一、填空题1、π 2 3、2425- 4、43π 5、2π或06、55arccos7、32π- 8、2 9、⎪⎭⎫ ⎝⎛+-43.4ππππk k （Zk ∈） 10、3 11、6π 12、12π 13、72514、566ππ或15、2π16、53二、选择题1、B2、D3、A三、解答题 1、解：（1）x x x f 2sin 2122cos 13)(++=232sin 212cos 23++=x x 23)32sin(++=πx π=T （2）因为46ππ≤≤-x ，所以ππ65320≤+≤x 当232ππ=+x 时，即12π=x 时，)(x f 的最大值为231+当032=+πx 时，即6π-=x 时，)(x f 的最小值为23. 2、解：()23cos sin cos 32+⋅+=x x x x f21)1sin 2222x x +=++ 2分sin(2)3x π=++ 4分ππ==∴22T 5分 因为46ππ≤≤-x ，所以ππ65320≤+≤x ， 6分 当232ππ=+x 时，即12π=x 时，)(x f的最大值为1 7分 当032=+πx 时，即6π-=x 时，)(x f8分3、解：(,)442x πππ-∈，在第一象限，∴sin()4x π-==； 4s i n s i n ()s i n ()c o s c o s ()s i n4444445x x x x ππππππ=-+=-+-=； 27c o s 212s i n 25xx =-=-； 4、解(1)∵()cos cos2R f x x x x x =-∈，， ∴()2sin(2)6f x x π=-.由222,262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，解得,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈.∴函数()f x 的单调递增区间是[,],63k k k Z ππππ-+∈. (2)∵在ABC ∆中，()2,,24f A C c π===，∴2sin(2)2,6A π-=解得,3A k k Z ππ=+∈.又0A π<<， ∴3A π=.依据正弦定理，有,sinsin34a c a ππ==解得.∴512B AC ππ=--=.∴11sin 222ABC S ac B ∆==⋅=. 5、1）根据正弦定理BbA a sin sin =，得b B b a A sin 23sin ==，所以23sin =B ，………（4分） 又由角B 为锐角，得3π=B ；…………………………（6分）（2）B ac S ABC sin 21=∆，又ABC S ∆=3=ac ，…………………………（8分） 根据余弦定理B ac c a b cos 2222-+=，得1037cos 2222=+=+=+B ac b c a ，…………………………（12分）所以ac c a c a 2)(222++=+=16，从而a c +=4．…………………………（14分） 6、解：因为AB 与地面所成的角的大小为 60，AH 垂直于地面，BM 是地面上的直线，所以 60,60≥∠=∠ABM ABH .∵,sin sin sin BAMA BM M AB ==…………………………………………………………2分∴()BM B M B A M AM BM AB sin sin sin sin sin sin ++=+=+ sin sin cos cos sin 1cos sin cos sin sin M B M B M B M M B B+++==+22cos 2sin cos cot sin cos sin 2B B M M M M B =+=+……………………………4分 cot30sin cos 3sin cos 2sin(30).M M M M M ≤+=+=+……………6分当60=∠=∠B M 时，AB BMAM+达到最大值，此时点M 在BH 延长线上，HM BH =处.……………………………………8分7、【解】 （1）由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2)23(2)6(ππf f 得，⎩⎨⎧==+283a b a ……2分，解得⎩⎨⎧==322b a ……3分将2=a ，34=b 代入x x b x a x f cos sin sin )(2+=得x x x x f cos sin 32sin 2)(2+=所以)(x f x x 2sin 32cos 1+-=……4分)62sin(21π-+=x …………5分所以函数)(x f 的最小正周期ππ==22T …………6分 （2）由（1）得，1]6)(2sin[2)(+-+=+πt x t x f ，所以1622sin 2)(+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=πt x x g …8分 函数)(x g 是偶函数，则对于任意的实数x ，均有)()(x g x g =-成立。