习3-1 惯性系S ′相对惯性系S 以速度u 运动．当它们的坐标原点O 与O '重合时，t =t '=0，发出一光波，此后两惯性系的观测者观测该光波的波阵面形状如何?用直角坐标系写出各自观测的波阵面的方程．解: 由于时间和空间都是均匀的，根据光速不变原理，光讯号为球面波．波阵面方程为：2222)(ct z y x =++ 2222)(t c z y x '='+'+'题3-1图3-2 设图3-4中车厢上观测者测得前后门距离为2l ．试用洛仑兹变换计算地面上的观测者测到同一光信号到达前、后门的时间差．解: 设光讯号到达前门为事件1，在车厢)(S '系时空坐标为),(),(11c ll t x =''，在车站)(S 系：)1()()(21211c u c l l c u c l x cu t t +=+='+'=γγγ 光信号到达后门为事件2，则在车厢)(S '系坐标为),(),(22c ll t x -=''，在车站)(S 系： )1()(2222c u c l x cu t t -='+'=γγ 于是2122c lut t γ-=- 或者 l x x x t t t t 2,,02121='-'='∆-=∆='∆ )2()(22l c ux c u t t γγ='∆+'∆=∆3-3 惯性系S ′相对另一惯性系S 沿x 轴作匀速直线运动，取两坐标原点重合时刻作为计时起点．在S 系中测得两事件的时空坐标分别为1x =6×104m,1t =2×10-4s ，以及2x =12×104m,2t =1×10-4s ．已知在S ′系中测得该两事件同时发生．试问：(1)S ′系相对S 系的速度是多少? (2) S '系中测得的两事件的空间间隔是多少? 解: 设)(S '相对S 的速度为v ， (1))(1211x c vt t -='γ)(2222x c vt t -='γ由题意 012='-'t t则)(12212xxcvtt-=-故812122105.12⨯-=-=--=cxxttcv1sm-⋅(2)由洛仑兹变换)(),(222111vtxxvtxx-='-='γγ代入数值，m102.5412⨯='-'xx3-4 长度0l=1 m 的米尺静止于S′系中，与x′轴的夹角'θ=30°，S′系相对S系沿x轴运动，在S系中观测者测得米尺与x轴夹角为=θ45︒．试求：(1)S′系和S系的相对运动速度.(2)S系中测得的米尺长度．解: (1)米尺相对S'静止，它在yx'',轴上的投影分别为：m866.0cos='='θLLx，m5.0sin='='θLLy米尺相对S沿x方向运动，设速度为v，对S系中的观察者测得米尺在x方向收缩，而y方向的长度不变，即yyxxLLcvLL'=-'=,122故221tancvLLLLLLxyxyxy-''='==θ把ο45=θ及yxLL'',代入则得866.05.0122=-cv故cv816.0=(2)在S系中测得米尺长度为m707.045sin=︒=yLL3-5 一门宽为a，今有一固有长度0l(0l＞a)的水平细杆，在门外贴近门的平面内沿其长度方向匀速运动．若站在门外的观察者认为此杆的两端可同时被拉进此门，则该杆相对于门的运动速率u至少为多少?解: 门外观测者测得杆长为运动长度，2)(1cull-=，当a≤1时，可认为能被拉进门，则2)(1cula-≤解得杆的运动速率至少为：2)(1lacu-=题3-6图3-6两个惯性系中的观察者O和O'以0.6c(c表示真空中光速)的相对速度相互接近，如果O测得两者的初始距离是20m ，则O '测得两者经过多少时间相遇? 解: O 测得相遇时间为t ∆c v L t 6.0200==∆O ' 测得的是固有时t '∆∴ v L tt 201βγ-=∆='∆s 1089.88-⨯=，6.0==c vβ， 8.01=γ，或者，O '测得长度收缩，v L t L L L L ='∆=-=-=,8.06.01102020βs 1089.81036.0208.06.08.0880-⨯=⨯⨯⨯=='c L t ∆3-7 观测者甲乙分别静止于两个惯性参考系S 和S '中，甲测得在同一地点发生的两事件的时间间隔为 4s ，而乙测得这两个事件的时间间隔为 5s ．求： (1) S '相对于S 的运动速度．(2)乙测得这两个事件发生的地点间的距离．解: 甲测得0,s 4==x t ∆∆,乙测得s 5=t ∆，坐标差为12x x x '-'='∆′(1)∴tcv t x cvt t ∆-∆=∆+∆='∆22)(11)(λγ54122='∆∆=-t t c v 解出cc t t c v 53)54(1)(122=-='∆∆-= 8108.1⨯=1s m -⋅ (2) ()0,45,=∆=∆'∆=∆-∆='∆x t t t v x x γγ ∴ m1093453458⨯-=-=⨯⨯-=-='c c t v x ∆γ∆负号表示012<'-'x x ．3-8 一宇航员要到离地球为5光年的星球去旅行．如果宇航员希望把这路程缩短为3光年，则他所乘的火箭相对于地球的速度是多少?解: 2220153,1513βββ-=-=-=='则l l∴ c c v 542591=-=3-9 论证以下结论：在某个惯性系中有两个事件同时发生在不同地点，在有相对运动的其他惯性系中，这两个事件一定不同时．证: 设在S 系B A 、事件在b a ,处同时发生，则B A a b t t t x x x -=∆-=∆,，在S '系中测得)(2x c v t t t t A B ∆-∆='-'='∆γ0,0≠∆=∆x t ，∴0≠'∆t即不同时发生． 3-10 试证明：(1)如果两个事件在某惯性系中是同一地点发生的，则对一切惯性系来说这两个事件的时间间隔，只有在此惯性系中最短．(2)如果两个事件在某惯性系中是同时发生的，则对一切惯性关系来说这两个事件的空间间隔，只有在此惯性系中最短．解: (1)如果在S '系中，两事件B A 、在同一地点发生，则0='∆x ，在S 系中，t t t '∆≥'∆=∆γ，仅当0=v 时，等式成立，∴t '∆最短．(2)若在S '系中同时发生，即0='∆t ，则在S 系中，x x x '∆≥'∆=∆γ，仅当0=v 时等式成立，∴S '系中x '∆最短．3-11 根据天文观测和推算，宇宙正在膨胀，太空中的天体都远离我们而去．假定地球上观察到一颗脉冲星(发出周期无线电波的星)的脉冲周期为 0.50s ，且这颗星正沿观察方向以速度0.8c 离我们而去．问这颗星的固有周期为多少? 解: 以脉冲星为S '系，0='∆x ，固有周期0τ='∆t .地球为S 系，则有运动时t t '∆=∆γ1，这里1t ∆不是地球上某点观测到的周期，而是以地球为参考系的两异地钟读数之差．还要考虑因飞行远离信号的传递时间，c t v 1∆∴ tc vt c t v t t ∆+'∆=∆+∆=∆γγ11′)1(c vt +'=∆γ6.01)8.0(112=-=cc γ则 γλτ)8.01(5.0)1(0c c c v tt +++∆='∆=s1666.08.13.06.01)8.01(5.0==+=3-12 6000m 的高空大气层中产生了一个π介子以速度v =0.998c 飞向地球．假定该π介子在其自身静止系中的寿命等于其平均寿命2×10-6s ．试分别从下面两个角度，即地球上的观测者和π介子静止系中观测者来判断π介子能否到达地球．解: π介子在其自身静止系中的寿命s 10260-⨯=t ∆是固有(本征)时间，对地球观测者，由于时间膨胀效应，其寿命延长了．衰变前经历的时间为s1016.315220-⨯=-=cv t t ∆∆这段时间飞行距离为m 9470==t v d ∆ 因m 6000>d ，故该π介子能到达地球．或在π介子静止系中，π介子是静止的．地球则以速度v 接近介子，在0t ∆时间内，地球接近的距离为m 5990=='t v d ∆m 60000=d 经洛仑兹收缩后的值为：m 37912200=-='c v d dd d '>'，故π介子能到达地球．3-13 设物体相对S ′系沿x '轴正向以0.8c 运动，如果S ′系相对S 系沿x 轴正向的速度也是0.8c ，问物体相对S 系的速度是多少?解: 根据速度合成定理，c u 8.0=,c v x8.0='∴ c c c c c c c v u u v v x x x 98.08.08.018.08.0122=⨯++='++'=3-14 飞船A 以0.8c 的速度相对地球向正东飞行，飞船B 以0.6c 的速度相对地球向正西方向飞行．当两飞船即将相遇时A 飞船在自己的天窗处相隔2s 发射两颗信号弹．在B 飞船的观测者测得两颗信号弹相隔的时间间隔为多少?解: 取B 为S 系，地球为S '系，自西向东为x (x ')轴正向，则A 对S '系的速度c v x 8.0='，S '系对S 系的速度为c u 6.0=，则A 对S 系(B 船)的速度为ccc c v u u v v xx x 946.048.016.08.012=++='++'=发射弹是从A 的同一点发出，其时间间隔为固有时s 2='t ∆，题3-14图∴B 中测得的时间间隔为：s17.6946.0121222=-=-'=cv t t x ∆∆3-15 (1)火箭A 和B 分别以0.8c 和0.6c 的速度相对地球向+x 和-x 方向飞行．试求由火箭B 测得A 的速度．(2)若火箭A 相对地球以0.8c 的速度向+y 方向运动，火箭B 的速度不变，求A 相对B 的速度． 解: (1)如图a ，取地球为S 系，B 为S '系，则S '相对S 的速度c u 6.0=，火箭A 相对S的速度c v x8.0=，则A 相对S '(B )的速度为：c c c c c c v c u u v v x x x 946.0)8.0)(6.0(1)6.0(8.0122=----=--='或者取A 为S '系，则c u 8.0=，B 相对S 系的速度c v x 6.0-=，于是B 相对A 的速度为：c c c c cc v c u u v v x x x 946.0)6.0)(8.0(18.06.0122-=----=--='(2)如图b ，取地球为S 系，火箭B 为S '系，S '系相对S 系沿x -方向运动，速度c u 6.0-=，A 对S 系的速度为,0=x v ,c v y 8.0=,由洛仑兹变换式A 相对B 的速度为：c c v c u u v v xx x 6.001)6.0(012=---=--='c c v c u v cu v xyy64.0)8.0(6.01112222=-=--='∴A 相对B 的速度大小为 cv v v y x 88.022='+'='速度与x '轴的夹角θ'为07.1tan =''='xy v v θο8.46='θ题3-15图3-16 静止在S 系中的观测者测得一光子沿与x 轴成︒60角的方向飞行．另一观测者静止于S ′系，S ′系的x '轴与x 轴一致，并以0.6c 的速度沿x 方向运动．试问S ′系中的观测者观测到的光子运动方向如何? 解: S 系中光子运动速度的分量为c c v x 500.060cos ο==cc v y 866.060sin ο==由速度变换公式，光子在S '系中的速度分量为c c c c cc v c u u v v x x x 143.05.06.016.05.0122-=⨯--=--='c c cc c v c u v cu v x yy 990.05.06.01866.06.011122222=⨯-⨯-=--='光子运动方向与x '轴的夹角θ'满足692.0tan -=''='xyv v θθ'在第二象限为ο2.98='θ 在S '系中，光子的运动速度为cv v v y x ='+'='22正是光速不变．3-17 (1)如果将电子由静止加速到速率为0.1c ，须对它作多少功?(2)如果将电子由速率为0.8c 加速到0.9c ，又须对它作多少功?解: (1)对电子作的功，等于电子动能的增量，得)111()1(222020202--=-=-==c vc m c m c m mc E E k k γ∆)11.011()103(101.922831--⨯⨯⨯=-161012.4-⨯=J=eV 1057.23⨯(2))()(2021202212c m c m c m c m E E E k k k---=-='∆)1111(221222202122cv cvc m c m c m ---=-=))8.0119.011(103101.92216231---⨯⨯⨯=-J 1014.514-⨯=eV 1021.35⨯=3-18 μ子静止质量是电子静止质量的207倍，静止时的平均寿命0τ=2×10-6s ，若它在实验室参考系中的平均寿命τ= 7×10-6s ，试问其质量是电子静止质量的多少倍? 解: 设μ子静止质量为0m ，相对实验室参考系的速度为c v β=，相应质量为m ，电子静止质量为e m 0，因2711,1022==--=ττββττ即由质速关系，在实验室参考系中质量为：20212071ββ-=-=e m m m故 72527207120720=⨯=-=βe m m3-19 一物体的速度使其质量增加了10%，试问此物体在运动方向上缩短了百分之几? 解: 设静止质量为0m ，运动质量为m ，由题设 10.000=-m m m201β-=m m由此二式得 10.01112=--β∴10.1112=-β在运动方向上的长度和静长分别为l 和0l ，则相对收缩量为：%1.9091.010.111112000==-=--=-=β∆l l l l l3-20 一电子在电场中从静止开始加速，试问它应通过多大的电势差才能使其质量增加0.4%?此时电子速度是多少?已知电子的静止质量为9.1×10-31kg ．解: 由质能关系1004.0200=∆=∆c m E m m ∴ 100/)103(101.94.01004.0283120⨯⨯⨯⨯==∆-c m EJ 1028.316-⨯=＝eV 106.11028.31916--⨯⨯=eV 100.23⨯=所需电势差为3100.2⨯伏特由质速公式有：004.111004.01111100002=+=∆+=∆+==-m m mm m m m β∴32221095.7)004.11(1)(-⨯=-==cvβ故电子速度为 -17s m 107.2⋅⨯==c v β3-21 一正负电子对撞机可以把电子加速到动能K E ＝2.8×109eV ．这种电子速率比光速差多少? 这样的一个电子动量是多大?(与电子静止质量相应的能量为0E ＝0.511×106eV )解:2022201c m cv c m E k --=所以 20202022/111c m E c m c m E c v k k +=+=-由上式，2962622020)108.210511.0/()1051.0(1)(1⨯+⨯⨯-=+-=c E c m c m c v k8109979245.2⨯=-1s m ⋅810997924580.2⨯=-v c -1s m ⋅8109979245.28=⨯--1s m ⋅由动量能量关系420222c m c p E +=可得 cc m E E ccm c m E ccm E p k k k 20242022042022)(+=-+=-=11882138269182s m kg 1049.1103/]106.1)10511.0108.22108.2[(---⋅⋅⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯=3-22氢原子的同位素氘(21H)和氚(31H)在高温条件下发生聚变反应，产生氦(42He)原子核和一个中子(10n)，并释放出大量能量，其反应方程为21H + 31H →42He + 10n 已知氘核的静止质量为2.0135原子质量单位(1原子质量单位＝1.600×10-27kg)，氚核和氦核及中子的质量分别为3.0155，4.0015，1.00865原子质量单位．求上述聚变反应释放出来的能量． 解: 反应前总质量为0290.50155.30135.2=+am u 反应后总质量为0102.50087.10015.4=+am u 质量亏损 0188.00102.50290.5=-=∆m am ukg 1012.329-⨯=由质能关系得()282921031012.3⨯⨯⨯==-mc E ∆∆ J 1081.221-⨯=71075.1⨯=eV3-23 一静止质量为0m 的粒子，裂变成两个粒子，速度分别为0.6c 和0.8c ．求裂变过程的静质量亏损和释放出的动能．解: 孤立系统在裂变过程中释放出动能，引起静能减少，相应的静止质量减少，即静质量亏损．设裂变产生两个粒子的静质量分别为10m 和20m，其相应的速度c v 6.01=,c v 8.02= 由于孤立系统中所发生的任何过程都同时遵守动量守恒定律和能(质)量守恒定律，所以有112222201221102211=-+-=+v cv m v c v m v m v m22220221102111m cv m cv m m m =-+-=+注意1m 和2m 必沿相反方向运动，动量守恒的矢量方程可以简化为一维标量方程，再以6.01=v c,8.02=v c 代入，将上二方程化为：20106886m m =，020106.08.0m m m =+上二式联立求解可得：010459.0m m =, 020257.0m m =故静质量亏损020100284.0)(m m m m m =+-=∆由静质量亏损引起静能减少，即转化为动能，故放出的动能为 202284.0c m mc E k =∆=∆3-24 有A ，B 两个静止质量都是0m的粒子，分别以1v =v ,2v =-v 的速度相向运动，在发生完全非弹性碰撞后合并为一个粒子．求碰撞后粒子的速度和静止质量．解: 在实验室参考系中，设碰撞前两粒子的质量分别1m 和2m ，碰撞后粒子的质量为M 、速度为V ，于是，根据动量守恒和质量守恒定律可得：MV v m v m =+2211①M m m =+21②由于 0)(1)()(120202211=---+-=+c v v m c v v m v m v m代入①式得 0=V221)(120c v m m m M -+=，即为碰撞后静止质量．3-25 试估计地球、太阳的史瓦西半径．解: 史瓦西半径22c GM r s =地球： kg 10624⨯≈M则： m 109.8)103(106107.623282411--⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=s r 太阳：kg 10230⨯≈M 则：3283011103)103(102107.62⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=-s r m 3-26 典型中子星的质量与太阳质量M ⊙＝2×1030kg 同数量级，半径约为10km ．若进一步坍缩为黑洞，其史瓦西半径为多少?一个质子那么大小的微黑洞(10-15cm)，质量是什么数量?解: (1)史瓦西半径与太阳的相同，3103⨯=s r m (2)1510-=s r cm 1710-=m 由22c GMr s =得91128172107.6107.62)103(102⨯=⨯⨯⨯⨯==--G c r M s kg 3-27 简述广义相对论的基本原理和实验验证．解: 广义相对论的基本原理是等效原理和广义相对性原理．等效原理又分为弱等效原理和强等效原理．弱等效原理是：在局部时空中，不可能通过力学实验区分引力和惯性力，引力和惯性力等效．强等效原理是：在局部时空中，任何物理实验都不能区分引力和惯性力，引力和惯性力等效．广义相对性原理是：所有参考系都是平权的，物理定律的表述相同．广义相对论的实验验证有：光线的引力偏转，引力红移，水星近日点进动，雷达回波延迟等．。