分离变量法分离变量法又称Fourier 级数方法，而在波动方程情形也称为驻波法。

它是解决数学物理方程定解问题中的种基本决数学物理方程定解问题中的一种基本方法，这个方法建立在叠加原理的基础上，其基本出发点是物理学中的机械振上其基本出发点是物理学中的机械振动或电磁振动总可分解为一些简谐振动的叠加的叠加。

思想：把偏微分方程的求解问题转化为常微分方程的求解。

常微分方程求解：一阶非齐次的常微分方程：)dy ()(),P x y Q x dx+=它的通解为()()()()()P x dx P x dx P x dx y x Ce e Q x e dx−−∫∫∫=+∫解为二阶非齐次的常微分方程：y ′′′()()()P x y Q x y f x ++=它的通解为f f 21112212()y y y x C y C y y dx y dx W W=+−+∫∫其中个线性12()()0.y P x y y Q x y y ′′′++=两个线性是无关的解和12,0.y y W =≠′′并且12,y y 常系数齐次的常微分方程：常系数齐次的常微分方程0y py qy ′′′++=它的特征方程20r pr q ++=，假设特征方程的根为12.r r，(1)特征方程有两个不等的实根:齐次方程通解为：r x r x12.y Ae Be =+(2)特征方程有两个相等的实根:()特征方程有两个等实根1().r xy A Bx e =+(3)特征方程有一对共轭的复根:12,,r i r i αβαβ=+=−齐次方程通解为()(cos sin ).xy x e A x B x αββ=+第一节有界弦的自由振动222(0,0u u a x l t ⎧∂∂=∈>22,(,),(,0)(),(,0)(),[0,]t t x u x x u x x x l ϕψ⎪∂∂⎪⎪==∈⎨(0,)(,)0,0u t u l t t ⎪==≥⎪⎪⎩物解释一根长为l 的弦，两端固定，给定初始位移物理解释：根长为的弦两端固定给定初始位移和速度，在没有强迫外力作用下的振动.•求解的基本步骤第一步：求满足齐次方程和齐次边界条件的变量分离形式的解(,)()()u x t X x T t =XT X T把分离形式的解代入方程可得2a ′′′′=即2()()T t X x X ′′′′=()()a T t x 以及(0)()()()0X T t X l T t ==上述等式左端是t 的函数，右端是x 的函数，由此可得两端只能是常数，记为.λ−⎧从而有()()0X x X x λ′′+=⎨X (x ):(0)()0X X l ==⎩T )固有值问2()()0T t a t λ′′+=T (t ):题第二步：求固有值和固有函数的三种情况讨论固有值问题X (x )，以及T (t )的表达式(A)下对λ的三种情况讨论固有值问题：<其通解为情形()0λ(),X x Be λλ−−=+其解为代入边界条件可得0,A B +=A B −−−0A B ==0l l Ae Be λλ+=只有零解只有零解。

情形(B)0λ=其通解为(),X x A Bx =+0A B ==代入边界条件可得只有零解。

情形（C ）其通解为0λ>()cos sin ,X x A B λλ=+由边界条件X (0) = 0推出0,A =,()sin 0X l B l λ==知道再由0,B ≠为了使sin 0.l λ=必须于是有(123), (1,2,3,).l k k λπ==L 22()k πλ固有值2, (123).k k ,,,l λ===L k ()sin , (1,2,)k k X x B x k l π==L 固有函数22,(k πλ===L 代入另一个方程可得2, (123)k k ,,,l λ把代入另个方程可得2220, (1,2,3,k T a T k π′′+==L 其通解为2,(,,,)lT (t )的表达式()cos sin , (1,2,)k k k k a k aT t C t D t k l lππ=+=L 由此，就得到方程满足边界条件的变量分离的非零特解=(,)()()cos sin sin k k kk k u x t X x T t k a k a k a t b t x πππ⎛⎞=+⎜⎟C , D , k k k k k k l l l a B b B ⎝⎠==(1,,)2k =L为了求出原定解问题的解，还需满足初始条件。

般来讲前面求的特解定满足初始条件第三步：利用初始条件求得定解问题的解一般来讲，前面求出的特解不一定满足初始条件。

,u x t 为此，我们把所有特解叠加起来，并使之满足初始条件，即取()k 1(,)()()k k k u x t X x T t ∞==⎛∑1 cos sin sink k k k a k a k a t b t x l l l πππ∞=⎞=+⎜⎟⎝⎠∑使得,0) sink π∞==1()(,0)s k k x u x a x l ϕ=∑ ,0)k k a b k ππ∞==1()(,0) sint k x u x x l l ψ=∑其中2l k π⎛⎞=0()sin k a x x dxl l ϕ⎜⎟⎝⎠∫2l k d π⎛⎞0()sin .k b x x dx k a l ψπ=⎜⎟⎝⎠∫注意，k k a b lπ()x ψ,k a (),x ϕ分别是在[0, l ]区间上正弦展开的Fourier 级数的系数。

下面来证明, 当初始数据满足一定条件时，级数解(,)cos sin sin (4.12)k k k a k a k u x t a t b t x πππ∞⎛⎞=+⎜⎟∑,就是波动方程混合问题的解.1k l l l =⎝⎠引理1: 设函数f (x )在区间[0, l ]有直到m 阶的连续导数,m +1阶导数分段连续, 且当p 为偶数时, ()()(0)()0.p p ffl ==若把f (x )展开成正弦级数()sink k f x a x π∞1k l =∑则级数是收敛的.|| mk ka ∞∑1k =证明：由假设知[0Fourier (1))m +, 在区间[0,l ]上展开成Fourier 级数,当m 为奇数时, 展开式为() f x (k ∞(1)1)1()sinm m kk fx ax lπ++==∑其中(1)(1)02()sin l m m kk afx x dx π++⎛⎞=⎜⎟∫()()22)sin )cos llm m l l k k k x x fx x dx πππ⎝⎠⎡⎤⎛⎞⎛⎞=−00()()f l ll ll⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎣⎦∫2(1)(1)22llm m k k k k f x x ππππ−−⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎟⎟⎥00()cos ()sin x fx dxl l l l l l =−−⎜⎜⎟⎜⎢⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎣⎦=∫L 1111222(1)()sin (1);m m m m lk k k k f x x dx a l l l l πππ++++⎛⎞⎛⎞⎛⎞=−=−⎜⎟⎜⎟⎜⎟∫当m 为偶数时, 展开式为(1)(1)(1)0()cos ,m m m ak fx ax π+∞+++12kk l=∑同样可推得11(1)2(1),0,1,2.m m m kk k aa k l π+++⎛⎞=−=⎜⎟⎝⎠L B l 2l d ∞⎧根据Bessel 不等式得(1)2(1)201|||()|,m m k k a f x dx m l ++=∞≤⎪⎪⎨∑∫为奇数(1)2(1)2(1)200112|||||()|,2l m m m k k a a f x dx m l +++=⎪+≤⎪⎩∑∫为偶数所以无论m 为奇数还是偶数都有(1)2||,m a∞+<∞∑1kk =即222m ∞+∑1||.k k ka =<∞利用Cauchy 不等式得12222||1||()(||),mm m k k k a ka kk a ∞∞∞∞++≤≤+<∞∑∑∑∑1111k k k k k k====m∞∑所以级数收敛.1||k k ka =) x 定理2：[0,l 上, 二次连续可微且三阶导()ϕ设在区间[,],函数次连续可微且阶导数分段连续，函数连续可微且二阶分段连续,在端点处满足相容性条件()x ψ(0)()(0)()(0)()0,l l l ϕϕϕϕψψ′′′′======则级数(4.12)定义的函数u (x ,t )有二阶连续导数，且是波动方程定解问题的解.证明：由引理1知，级数收敛,2211||,||k k k k ka kb ∞∞==∑∑则级数(412)逐项微分二次后所得的级数也是致(4.12)关于x 和t 逐项微分二次后所得的级数也是一致收敛, 而且分别收敛到u (x ,t )的相应导数，级数(4.12)定义的有二阶连续导数且是波动方程定解问题的解函数u (x ,t )有二阶连续导数，且是波动方程定解问题的解.n = 4•ol物理意义：驻波(,)cos sin sin an an n u x t a t b t x πππ⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞=+n n n l l ln π⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎣⎦⎛⎞()sin sin n n n N x t l ωϕ=+⎜⎟⎝⎠其中22ta ,arctan nn n nN a b b ϕ=+=振幅sin n N x ⎜⎟l除两个端点外，弦在某些点始终保持静止的，这样的点称为节点。

点称为节点包含节点的振动波驻波解u(x,t)是由一系列不同频率，不同位相，不同是由系列不同频率不同位相不同振幅的驻波叠加而成的。

分离变量法的解题步骤 第一步令u ( x, t ) = X ( x )T (t ) 适合方程和边界条件，从而定出 X ( x) 所适合的常微分方程齐次边值问题，以及T (t )适合的常微分方程。

求解该常微分方程齐次边值问题， 求出全部固有值和固有函数，并求 出相应的 T(t) 的表达式。

的表达式第二步 第三步固有 值问 题将所有变量分离形式的特解叠加起来，并 将所有变量分离形式的特解叠加起来 并 利用初始条件定出所有待定系数。

21附：kπ sin x,L 是[0, l]上的正交函数列 sin x, l l ⎧l , m=n ⎪ l mπ nπ ⎪2 ∫0 sin l x sin l xdx = ⎨ ⎪ ⎪ ⎩0 m≠nπ2π sin x,LL lkπ 2 π 1,cos l x, cos x,LLcos l lπx,L是[0, [0 l]上的正交函数列⎧l , m=n≠0 ⎪ l mπ nπ ⎪2 d =⎨ ∫0 cos l x cos l xdx l m=n=0 ⎪ ⎪ ⎩0 m≠n22• 其它边界条件的混合问题2 ⎧ ∂ 2u u ∂ 2 x ∈ (0, l ), t > 0 ⎪ ∂t 2 = a ∂x 2 , ⎪ ⎪ ⎨u ( x, 0) = ϕ ( x), ut ( x, 0) = ψ ( x), x ∈ [0, l ] ⎪u ( t≥0 , t ) = u x (l , t ) = 0, , x (0, ⎪ ⎪ ⎩两端自由的边界条件⎧ X ′′( x) + λ X ( x) = 0 ⎨ ⎩ X ′(0) = X ′(l ) = 0⎛ nπ ⎞ λn = ⎜ ⎟ , ⎝ l ⎠ ⎛ nπ X n ( x) = Bn cos ⎜ ⎝ l n = 0,1, 2,3,L ⎞ x⎟, ⎠2322 ⎧ ∂ 2u ∂ u 2 x ∈ (0, l ), t > 0 ⎪ ∂t 2 = a ∂x 2 , ⎪ ⎪ ⎨u ( x, 0) = ϕ ( x), ut ( x, 0) = ψ ( x), x ∈ [0, l ] ⎪u (0, 0 t≥0 x (0 t ) = u (l , t ) = 0, ⎪ ⎪ ⎩左端点自由 右端点固定的边界条件 左端点自由、右端点固定的边界条件⎧ X ′′( x) + λ X ( x) = 0 ⎨ ⎩ X ′(0) = X (l ) = 0⎡ ( n + )π ⎤ λn = ⎢ ⎥ , l ⎣ ⎦ ⎡(n + 1 2 )π X n ( x) = cos ⎢ l ⎣ n = 0,1, 2,3,L1 2 2⎤ x⎥ , ⎦242 ⎧ ∂ 2u ∂ u 2 x ∈ (0, l ), t > 0 ⎪ ∂t 2 = a ∂x 2 , ⎪ ⎪ ⎨u ( x, 0) = ϕ ( x), ut ( x, 0) = ψ ( x), x ∈ [0, l ] ⎪u (0, (0 t ) = u x (l , t ) = 0, 0 t≥0 ⎪ ⎪ ⎩左端点固定 右端点自由的边界条件 左端点固定、右端点自由的边界条件⎧ X ′′( x) + λ X ( x) = 0 ⎨ ⎩ X (0) = X ′(l ) = 0⎡ ( n + )π ⎤ λn = ⎢ ⎥ , l ⎣ ⎦ ⎡(n + 1 2 )π X n ( x) = sin ⎢ l ⎣ n = 0,1, 2,3,L1 2 2⎤ x⎥ , ⎦25第二节 有限长杆上的热传导2 ⎧ ∂u ∂ u 2 x ∈ (0, (0 l ), ) t>0 ⎪ ∂t = a ∂x 2 , ⎪ ⎪ x ∈ [0, l ] ⎨u ( x, 0) = ϕ ( x), ⎪u (0, t ) = u (l , t ) = 0, t ≥ 0 x ⎪ ⎪ ⎩物理解释：一根长为 根长为 l 的均匀细杆，其右端保持绝热， 左端保持零度，给定杆内的初始的温度分 布，在没有热源的情况下杆在任意时刻的 温度分布26• 求解的基本步骤第一步：求满足齐次方程和齐次边界条件的 变量分离形式的解u ( x, t ) = X ( x)T (t ) ⎧ X ′′( x) + λ X ( x) = 0 X(x)： ⎨ ⎩ X (0) = X ′(l ) = 02 T(t)： T ′(t ) + a λT (t ) = 0固有值问题27第二步：求固有值和固有函数 第二步 求固有值和固有函数 X(x)，以 以 及 T(t)的表达式⎡ ( n + )π ⎤ λn = ⎢ ⎥ , l ⎣ ⎦ ⎡(n + 1 2 )π X n ( x) = Bn sin i ⎢ l ⎣ n = 0,1, 012 2,3, 3L1 2 2固有值和 固有函数⎤ x⎥ , ⎦2 2 ⎛ a 2 (n + 1 ⎞ 2) π Tn (t ) = An exp ⎜ − t⎟ 2 l ⎝ ⎠ n = 0,1, 2,3,LT(t)的表达式28第三步：利用初始条件求得定解问题的解2 2 1 ⎛ a 2 (n + 1 ⎞ + ) π ( n ⎛ 2 2 )π u ( x, t ) = ∑ an exp ⎜ − t ⎟ sin ⎜ 2 l l n =0 ⎝ ⎠ ⎝ ∞⎞ x ⎟ , an = An Bn . ⎠利用初始条件得2 l ⎛ (n + 1 2 )π an = ∫ ϕ ( x) sin ⎜ l 0 l ⎝⎞ x ⎟ dx ⎠29第三类边界条件的混合问题的求解中遇到的困难2 ⎧ ∂u u ∂ 2 x ∈ (0, l ), t > 0 ⎪ ∂t = a ∂x 2 , ⎪ ⎪ x ∈ [0, l ] ⎨u ( x, 0) = ϕ ( x), ⎪u (l , t ) + u (l , t ) = u (0, (0 t ) = 0, 0 t≥0 ⎪ x ⎪ ⎩⎧ X ′′( x) + λ X ( x) = 0 ⎨ ⎩ X ′(l ) + X (l ) = X (0) = 0tan β nl = − β n X n ( x) = sin i βn x30•求解的基本步骤第一步：求满足齐次方程和齐次边界条件的变量分离形式的解(,)()()u x t X x T t =XT 把分离形式的解代入方程和边界条件可得2a X T′′′=即2()()T t X x X ′′′=()()a T t x 以及(0)()(()())()0X T t X l X l T t ′=+=上述等式左端是t 的函数，右端是x 的函数，由此可得两端只能是常数，记为.λ−⎧从而有()()0X x X x λ′′+=⎨′X (x ):(0)()()0X X l X l =+=⎩T )2()()0T t a t λ′+=T (t ):固有值问题第二步：求固有值和固有函数的三种情况讨论固有值问题X (x )，以及T (t )的表达式(A)下对λ的三种情况讨论固有值问题：<其通解为情形()λ(),X x Beλλ−−=+其解为代入边界条件可得0,A B +=0llllλλλλ−−−−−−0,AeBeA eB eλλ++−−−=只有零解0A B ==只有零解。