第三章分离变量法二
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第一步：分离变量 设 u ( x, t ) X ( x)T (t ) 代入方程得
X ( x) X ( x) 0 X(x)： X (0) X (l ) 0 2 T(t)： T (t ) a T (t ) 0
第二步：求解固有值问题
解
2u0 u ( x, t ) 2
2 2 a 2 (n 1 (n 1 ) (1) n 2 2 ) exp t sin 2 1 2 l l n 0 (n 2 )
x
第三章分离变量法二
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混合边值条件情形
例
2 u u 2 x (0, l ), t 0 t a x 2 , x [0, l ] u ( x, 0) ( x), u (l , t ) u (l , t ) u (0, t ) 0, t 0 x
l
B ( 1)e
l
0
A B0
只有零解（舍）
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第二步：求解固有值问题 X ( x ) X ( x ) 0 情形二： 0 代入边界条件得
X (0) X (l ) X (l ) 0
通解为 X ( x) A Bx,
分离变量法二
热传导方程
热传导方程
有限杆上的热传导方程 考虑一根长为l的均匀细杆，其右端保持绝热，左 端保持零度，给定杆内的初始的温度分布，在没有 热源的情况下杆在任意时刻的温度分布
2 u 2 u , x (0, l ), t 0 a 2 t x x [0, l ] u ( x, 0) ( x), u (0, t ) u (l , t ) 0, t 0 x
k 1
2 a2 k t
sin k x
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第四步：利用固有函数的正交性叠加系数求出满足初 值条件的解 由初值条件得 ( x ) u ( x , 0) a k sin k x
k 1
因此
ak
( x) sin xdx sin xdx
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第二步：求解固有值问题 X ( x ) X ( x ) 0 分三种情形讨论 X (0) X (l ) X (l ) 0 情形一： 0 通解为 X ( x) Ae 代入边界条件得
x
Be
x
,
A B 0,
A( 1)e
(k 1, 2, )
sin k x， ak C k Bk . (k 1, 2, )
u k ( x , t ) X k ( x )Tk (t ) ak e

2 a2 k t
一般解为 u ( x , t ) X k ( x )Tk (t )
k 1
ak e
sin l cos l 0 tan l
第三章分离变量法二
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第二步：求解固有值问题 X ( x ) X ( x ) 0 情形三： 0
X (0) X (l ) X (l ) 0
由于方程 tan l 有无穷多个根 且这些根正负成对地出现，正根记为 1 , 2 , 3 ,. 固有值 k k2 , (k 1,2,3, ). 固有函数 X k ( x) Bk sin k x,
0 k l 2 0 k
l
代入一般解即得定解问题的解
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x,
第三章分离变量法二
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第三步：求特解，并进一步叠加出一般解 一般解为
2 2 1 a 2 (n 1 ) ( n 2 2 ) u ( x, t ) an exp t sin 2 l l n 0 an An Bn .
x
第一步：分离变量 令 u ( x, t ) X ( x)T (t ) 代入方程得
X ( x ) X ( x ) 0 X(x): X (0) X (l ) X (l ) 0
T(t):
固有值问题
T (t ) a 2T (t ) 0
第三章分离变量法二
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固有值问题
n n 1 2 n , X n ( x) Bn sin l l
1 2
x , n 0,1, 2,3,
第三章分离变量法二
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第三步：求特解，并进一步叠加出一般解 2 1 n 2 将固有值 n , n 0,1, 2,3,
第四步：利用固有函数的正交性叠加系数求出满足初 值条件的解
2 l (n 1 2 ) an ( x) sin l 0 l x dx
第三章分离变量法二
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练习 u
2 u 2 a , x (0, l ), t 0 t 2 x u0 x [0, l ] u ( x, 0) x, l u (0, t ) ux (l , t ) 0, t 0
l
代入方程 T (t ) a 2 T (t ) 0
2 2 a 2 (n 1 ) 2 解得 Tn (t ) An exp t , n 0,1, 2,3, 2 l
2 2 1 a 2 (n 1 ) ( n 2 2 ) t sin 特解为 un ( x, t ) an exp 2 l l an An Bn .
(k 1,2, )
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第三步：求特解，并进一步叠加出一般解 2 (k 1,2,3, ). 将固有值 k k , 代入方程 T a 2 k2T 0, (k 1,2, ) 解得 特解为
Tk (t ) C k e
2 a 2 k t
A B0
Байду номын сангаас
只有零解（舍）
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第二步：求解固有值问题 X ( x ) X ( x ) 0
X (0) X (l ) X (l ) 0 情形三： 0 通解为 X ( x) A cos x B sin x,
由边界条件X(0)=0得 A 0, 由边界条件 X '(l ) X (l ) 0 得 B (sin l cos l ) 0 为了使 B 0 必须使 于是