第八章 静电场中的导体和电介质§8-1 静电场中的导体一、静电感应 导体的静电平衡条件 1、静电感应2、导体静电平衡条件（1）导体的静电平衡：当导体上没有电荷作定向运动时称这种状态为导体的静电平衡。

（2）静电平衡条件 从场强角度看：①导体内任一点，场强0=E；②导体表面上任一点E与表面垂直。

从电势角度也可以把上述结论说成：①⇒导体内各点电势相等；②⇒导体表面为等势面。

用一句话说：静电平衡时导体为等势体。

二、静电平衡时导体上的电荷分布 1、导体内无空腔时电荷分布如图所示，导体电荷为Q ，在其内作一高斯面S ，高斯定理为：∑⎰=∙内S Sq s d E 01ε导体静电平衡时其内0=E，∴ 0=∙⎰s d E S， 即0=∑内S q 。

S 面是任意的，∴导体内无净电荷存在。

结论：静电平衡时，净电荷都分布在导体外表面上。

2、导体内有空腔时电荷分布 （1）腔内无其它电荷情况如图所示，导体电量为Q ，在其内作一高斯面S ，高斯定理为：∑⎰=∙内S Sq s d E 01ε 静电平衡时，导体内0=E∴ 0=∑内S q ，即S 内净电荷为0，空腔内无其它电荷，静电平衡时，导体内又无净电荷∴空腔内表面上的净电荷为0。

但是，在空腔内表面上能否出现符号相反的电荷，等量的正负电荷？我们设想，假如有在这种可能，如图所示，在A 点附近出现+q ，B 点附近出现-q ，这样在腔内就分布始于正电荷上终于负电荷的电力线，由此可知，B A U U >,但静电平衡时，导体为等势体，即B A U U =，因此，假设不成立。

结论：静电平衡时，腔内表面无净电荷分布，净电荷都分布在外表面上，（腔内电势与导体电势相同）。

（2）空腔内有点电荷情况如图所示，导体电量为Q ，其内腔中有点 电荷+q ，在导体内作一高斯面S ，高斯定理为∑⎰=∙内S Sq s d E 01ε 静电平衡时0=E， ∴ 0=∑内S q 。

又因为此时导体内部无净电荷，而腔内有电荷+q ， ∴ 腔内表面必有感应电荷-q 。

结论：静电平衡时，腔内表面有感应电荷-q ，外表面有感应电荷+q 。

3、导体表面上电荷分布设在导体表面上某一面积元S ∆（很小）上，电荷分布如图所示 ，过S ∆边界作一闭合柱面，S 上下底1S 、2S 均与S ∆平行，S 侧面3S 与S ∆垂直，柱面的高很小，即1S 与2S 非常接近S ∆，此柱面并且是关于S ∆对称的。

S 作为高斯面，高斯定理为∑⎰=∙内S Sq s d E 01ε SE ES ds E sd E s d E s d E s d E s d E s S S S S S S∆==∙=∙=∙+∙+∙=∙⎰⎰⎰⎰⎰⎰111321很小S q S ∆=∑σεε0011内S S E ∆=∆⇒σε010εσ=E （注意与无限大带电平面02εσ=E 的区别）。

结论：导体表面附近，σ∝E 。

4、导体表面曲率对电荷分布影响根据实验，一个形状不规则的导体带电后， 在表面上曲率越大的地方场强越强。

由上面讲 到的结果知，E 大的地方，σ 必大，所以曲率 大的地方电荷面密度大。

5、尖端放电三、静电屏蔽由于空腔中的场强处处为零，放在空腔中的物体，就不会受到外电场的影响，所以空心金属球体对于放在它的空腔内的物体有保护作用，使物体不受外电场影响。

另一方面，一个接地的空心导体可以隔绝放在它的空腔内的带电体和外界的带电体之间的静电作用，这就是静电屏蔽原理。

应用：如电话线从高压线下经过，为了防止高压线对电话线的影响， 在高压线与电话线之间装一金属网等。

例8-1：在电荷+q 的电场中，放一不带电的金属球，从球心O 到点电荷所在距离处的矢径为r ，试问（1）金属球上净感应电荷='q ？（2）这些感应电荷在球心O 处产生的场强E？解：（1）='q 0（2）球心O 处场强0=E （静电平衡要求），即+q 在O 处产生的场强+E与感应电荷在O 处产生场强的矢量和=0。

0=++感E Er r q E E 304πε=-=+感 方向指向+q 。

（感应电荷在 O 处产生电势=？球电势=？选无穷远处电势=0。

）§8-2 电容 电容器一、孤立导体的电容在真空中设有一半径为R 的孤立的球形导体，它的电量为q ，那么它的电势为（取无限远处电势=0）Rq U 04πε=对于给定的导体球，即R 一定，到q 变大时，U 也变大，q 变小时，U 也变小，但是R Uq04πε=确不变，此结论虽然是对球形孤立导体而言的，但对一定形状的其它导体也是如此，Uq仅与导体大小和形状等有关，因而有下面定义。

定义：孤立导体的电量q 与其电势U 之比称为孤立导体电容，用C 表示，记作：U qC = （8-1）对于孤立导体球，其电容为R Rq qUq C 0044πεπε===。

C 的单位为：F （法），1F=1C/1V 。

在实用中F 太大，常用F μ或pF ，他们之间换算关系： pF F F 12610101==μ。

（电容与电量的存在与否无关） 二、电容器实际上，孤立的导体是不存在的，周围总会有别的导体，当有其它导体存在时，则必然因静电感应而改变原来的电场分布，当然影响导体电容。

下面我们具体讨论电容器的电容。

1、电容器：两个带有等值而异号电荷的导体所组成的带电系统称为电容器。

电容器可以储存电荷，以后将看到电容器也可以储存能量。

2、电容器电容：如图所示，两个导体A 、B 放在真空中，它们所带的电量分别为+q ，-q ，如果A 、B 电势分别为A U 、B U ，那么A 、B 电势差为B A U U -，电容器的电容定义为：BA U U qC -= （8-2）由上可知，如将B 移至无限远处，B U =0。

所以，上式就是孤立导体的电容。

所以，孤立导体的电势相当于孤立导体与无限远处导体之间的电势差。

所以，孤立导体电容是B 放在无限远处时B A U U qC -=的特例。

导体A 、B 常称电容器的两个电极。

三、电容器电容的计算 1、平行板电容器的电容设A 、B 二极板平行，面积均为S ，相距为d ， 电量为+q ，-q ，极板线度比d 大得多，且不计边 缘效应。

所以A 、B 间为均匀电场。

由高斯定理知，A 、B 间场强大小为)(0Sq E +==σεσ。

dS U U qC d S q Ed U U B A B A 00εε=-=⇒==-（8-3）2、球形电容器设二均匀带电同心球面A 、B ，半径A R 、B R ，电荷为+q ，-q 。

A 、B 间任一点场强大小为：204rqE πε=， BA AB B A R R R R R R B A R R )R R (q ]R R [q dr rq Edr d U U BABABA00241144πεπεπε-=-===∙=-⎰⎰⎰A B B A BA AB B A R R R R R R R R q qU U q C -=-=-=0044)(πεπε。

讨论：（1）当A A B R R R 〈〈-时，有A B R R ≈， 令d R R A B =-，则dS d R U U qC A A B A 0204επε==-=即——平行板电容器结果。

（2）A 为导体球或A 、B 均为导体球壳结果如何？ 3、圆柱形电容器圆柱形电容器是两个同轴柱面极板构成的，如图所示，设A 、B 半径为A R 、B R ，电荷为+q ，-q ，除边缘外，电荷均匀分布在内外两圆柱面上，单位长柱面带电量lq=λ，l 是柱高。

由高斯定理知，A 、B 内任一点P 处E的大小为rE 02πελ=AB R R R R R R B A R R dr r Edr d U U BABABAln 2200πελπελ===∙=-⎰⎰⎰ ABA B BA R R lR R qU U qC ln 2ln 200πεπελ==-=（可知：在计算电容器时主要是计算两极间的电势差）。

四、电介质对电容器电容的影响以上所得电容是极间为真空情况，若极间充满电介质（不导电的物质），实际表明，此时电容C 要比真空情况电容0C 大，可表示10>=r C Cε，或0C C r ε=。

r ε 与介质有关，称为相对介电系数 。

以上各情况若充满电介质（极间），有：球形： A B B A A B B A r B A R R R R R R R R U U qC -=-=-=πεεπε440；平板：d Sd S C r εεε==0；柱形：AB A B r R R ln lR R ln l C πεεπε220==。

r εεε0=称为介质的介电常数。

000C C C r εεε=−−−−→−→充介质后（1>r ε）五、电容器的串联与并联在实际应用中，现成的电容器不一定能适合实际的要求，如电容大小不合适，或者电容器的耐压程度不合要求有可能被击穿等原因。

因此有必要根据需要把若干电容器适当地连接起来。

若干个电容器连接成电容器的组合，各种组合所容的电量和两端电压之比，称为该电容器组合的等值电容。

1、串联：几个电容器的极板首尾相接（特点：各电容的电量相同）。

设A 、B 间的电压为B A U U -，两端极板电荷分别为+q ，-q ，由于静电感应，其它极板电量情况如图，nB AC qC q C q C q U U ++++=- 321 。

由电容定义有nBA C C C C U U q C 111113++++=-=（8-4） 2、并联：每个电容器的一端接在一起，另一端也接 在一起。

（特点：每个电容器两端的电压相同， 匀为B A U U -，但每个电容器上电量不一定相等） 等效电量为：n q q q q q ++++= 321，由电容定义有：n n C C C C U U q q q q U U qC ++++=-++++=-= 321321（8-5）例8-2：平行板电容器，极板宽、长分别为a 和b ，间距为d ，今将厚度t ，宽为a 的金属板平行电容器极板插入电容器中，不计边缘效应，求电容与金属板插入深度x 的关系（板宽方向垂直底面）。

解：由题意知，等效电容如左下图所示，电容为：32321'1C C C C C C C C ++=+=0001100110011000()()()()()()[]axaxa b x d d t d ax axdd d t d a b x axdd t d d a b x ax atxb d d t d d tεεεεεεεεεε∙---=++---=+--+-=+=+--说明：C 大小与金属板插入位置（距极板距离）无关；注意：（1）掌握串并联公式；（2）掌握平行板电容器电容公式。

例8-3：半径为a 的二平行长直导线相距为d （d>>a ），二者电荷线密度为λ+，λ-，试求（1）二导线间电势差；（2）此导线组单位长度的电容。