• 练一练
６、（2015·邗江区·初三适应性训练）已知：如图，
在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，将线段AB平
移至DE，连接AE、AD、EC．
（1）求证：AD=EC；
（2）当点D在什么位置时,四边形ADCE是矩形，请说
明理由.
A
E
B
D
C
练一练
７、（2015·无锡市宜兴市洑东中学·一模）
如图，在□ABCD中，E、F为BC上的两点， 且 BE=CF，AF=DE. 求证：（1）△ABF≌△DCE；
X
（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
（3）有一个角是直角的四边形是矩形；
X
（4）有三个角都相等的四边形是矩形;
X
（5）有三个角是直角的四边形是矩形； （6）四个角都相等的四边形是矩形；
（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；X （8）一组对角互补的平行四边形是矩形； （9）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；
•
∵AE=BF =CG=DH,
•
∴OE=OF=OG=OH
•
∴四边形EFGH是平行四边形(对角线互相平
分的四边形是平行四边形)
•
∵EO+OG=OF+OH,
•
即EG=FH,
•
∴四边形EFGH是矩形(对角线相等的平行四
边形是矩形).
A
C
E OH
B
F
G D
下列各句判定矩形的说法是否正确？
（1）对角线相等的四边形是矩形；
３、在平行四边形ABCD中,对角线AC BD 相交于Ｇ,EF过Ｇ,且AF⊥BC, 求证:四边 形AFCE是矩形
O
练一练
4、已知MN∥PQ，同旁内角的平分线AB、 BC和AD、CD分别相交于点B、D．
（1）猜想AC和BD间的关系是______； （ຫໍສະໝຸດ ）试用理由说明你的猜想．练一练
５、（2015•山东滕州张汪中学•质量检测二） 如图7，等腰梯形ABCD中，AB＝CD，AD∥BC， 点E、F在BC上，且BE＝CF． （1）求证：AE＝DF； （2）若AD＝EF，试证明四边形AEFD为矩形．
（2）四边形ABCD是矩形．
练一练
• ８、（2015•聊城，第21题8分）如图，在 △ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC．四边形ABED 是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．
• 求证：四边形BECD是矩形．
（10）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩 形；
练一练
1.已知：矩形ABCD的两条对角线相交于点O， ∠AOD= 120°，AB=4cm，求矩形对角线的长。
2.已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于 点O，△AOB是等边三角形，AB＝ 4 cm。求这 个平行四边形的面积。
练一练
A
D
O
边 矩形对边平行且相等； B
C
角 矩形的四个角都是直角；
对角线 矩形的对角线平分且相等；
直角三角形的性质定理：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
判定１
有一个角是直角的平行四边形 是矩形
A
D
B
C
∵平行四边形ＡＢＣＤ中， ∠Ｂ＝９０ °，
∴四边形ＡＢＣＤ是矩形。
特殊性质１ 矩形的四个角是直角
D C
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特殊性质２ 矩形的对角线相等
判定３ 对角线相等的平行四边形是矩形
已知：平行四边形ＡＢＣＤ中，ＡＣ和ＢＤ是对角线，且ＡＣ＝ＢＤ； 求证：四边形ＡＢＣＤ是矩形。
证明：∵AB = DC，BC = CB，AC = DB，
∴ △ABC≌△DCB ，
A
∴∠ABC = ∠DCB。
∵AB∥CD，
B
∴∠ABC + ∠DCB = 180°，
判定２ 三个角是直角是四边形是矩形
已知：在四边形ABCD中， ∠A= ∠B= ∠C=90°。
求证：四边形ABCD是矩形
证明：∵ ∠A= ∠B= ∠C=90°，A ∴ ∠A + ∠B = 180°， ∠B + ∠C = 180°， B ∴AD∥BC， AB∥DC， ∴四边形ABCD是平行四边形。 ∵ ∠A=90°， ∴四边形ABCD是矩形。
A
D
O
∴AC = 2OA，BD = 2OB。
∵OA = OB，
B
C
∴AC =BD，
∴ ABCD是矩形。
在Rt△ABC中，
∵AB = 4cm，AC=2AO=8cm，
∴BC= 8242 4 3(cm)
∴ S ABCD
=AB·BC = 4×4 3=16 3 cm 2
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例２： 如果平行四边形四个内角的平分线能够围成一个四边形，那 么这个四边形是矩形．
例３、如图,O是矩形ABCD的对角线AC与BD的 交点,E.F.G.H分别是AO.BO.CO.DO上的一点, 且AE=BF=CG=DH.求证:四边形EFGH是矩形.
A
E
O
F B
C
H
G D
• 证明: ∵四边形ABCD是平行四边形
•
∴AC=BD(矩形的对角线相等)
•
AO=BO=CO=DO(矩形的对角线互相平分)
∴ ∠ABC = 90°，
∴ ABCD是矩形。
D C
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矩形的判定
有一个角是直角的平行四边形是矩形。 对角线相等的平行四边形是矩形 。 有三个角是直角的四边形是矩形 。
例１、已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于O，△AOB是 等边三角形，AB = 4cm，求这个平行四边形的面积.
解：∵ABCD是平行四边形，
已知：如图， ABCD的四个内角的平分 线分别相交于E、F、G、H， 求证：四边形 EFGH为矩形． 证明：∵AB∥CD
∴∠ABC＋∠BCD=180° ∵BG平分∠ABC，CG平分∠BCD
∴∠BGC=90° 同理可证∠AFB=∠AED=90° ∴四边形EFGH是矩形．(有三个角是直角的四边形是矩形)