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沈阳师范大学
杨老师
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高等数学下
知识网络图
空 间 曲 线 ：
x (t )， y (t )， z (t )， ( t )
切向量
T ( (t 0 ) , (t 0 ) , (t 0 ))
切“线”方程：
x x0 y y 0 z z 0 (t 0 ) (t 0 ) (t 0 )
点法式 点向式
x x0 y y 0 z z 0 m n p
x x 0 mt y y 0 nt z z pt 0
三点式
x x1 x2 x1 x3 x1
y y1 z z1 y2 y1 z2 z1 0 y3 y1 z3 z1
prjb a a cos(a b)
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平面
法向量 n { A, B, C } 方程名称 点 M 0 ( x0 , y 0 , z 0 )
直线
方向向量 T {m , n, p} 方程名称 点 M 0 ( x0 , y 0 , z 0 )
交角余弦
两向量夹角余弦 cos
a x bx a y by a z bz a x 2 a y 2 a z 2 bx 2 b y 2 bz 2 prjb a a x bx a y by a z bz bx 2 by 2 bz 2
向量 a 在非零向量 b 上的投影 投影
方程形式及特征
方程形式及特征
A1 x B 1 y C 1 z D 1 0 A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
Ax By Cz D 0
一般式 一般式
A( x x0 ) B( y y0 ) C( z z0 ) 0
法平“面”方程：
( x x0 ) ( x0 ) ( y y 0 ) ( x0 )( z z 0 ) 0
面面垂直
线线垂直
面面平行
线线平行
线面垂直
线面平行 面面距离
M 0 ( x0 , y 0 , z 0 ) d
Ax By Cz D 0 A2 B 2 C 2
Ax By Cz D1 0 d
线线夹角
Ax By Cz D2 0 D1 D2
Ax0 By 0 Cz 0 D
A2 B 2 C 2
线面夹角
n1 { A1 , B1 , C1} n2 { A2 , B2 , C2 }
cos | AA 1 2 BB 1 2 CC 1 2|
面面夹角
s1 {m1 , n1 , p1 } s 2 {m2 , n2 , p 2 }
s {m, n, p}
sin
n { A, B, C}
cos
2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2
A B C A B C

m1m2 n1n2 p1 p2
2 2 2 m12 n12 p12 m2 n2 p2

Am Bn Cp A B 2 C 2 m2 n 2 p 2
模
和差
c ab
c a－b
单位向量
a 0 ，则 ea
a a
ea
(ax , a y , az )
ax 2 a y 2 az 2
设 a 与 x, y, z 轴的夹角分别为 ，， ，则 方向余弦分别为 cos ，cos，cos 方向余弦
a a a cos x ，cos y ，cos z a a a ea ( cos ，cos，cos )
法平“面”方程：
(t 0 ) ( x x0 ) (t 0 ) ( y y 0 ) (t 0 )( z z 0 ) 0
y ( x) z ( x)
切向量
T (1 , ( x) , ( x))
切“线”方程：
x x0 y y0 z z0 1 ( x 0 ) ( x 0 )
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第八章 总结
向量代数 定义 向量 向量 a 的模记作 a
有大小、有方向. 记作 a 或 AB
定义与运算的几何表达
在直角坐标系下的表示
a a x i a y j az k ( ax , a y , az ) ax prjx a, a y prj y a, az prjz a a ax 2 a y 2 az 2 c a b ax bx , a y by , az bz
参数式
截距式
x y z 1 a b c A1 A2 B1 B2 C1C 2 0 A1 B1 C1 A2 B2 C 2 A B C m n p
点面距离
两点式
x x0 y y0 z z 0 x1 x0 y 1 y0 z1 z0 m1 m2 n1 n2 p1 p 2 0 m1 n1 p 1 m2 n 2 p 2 Am Bn Cp 0
定理与公式
i a b ax bx
j ay by
k az bz
垂直 平行
a b ab 0 a // b a b 0 a b ab ab b
a b a x bx a y b y a z bz 0 a // b
cos
a x a y az bx by bz
cos 2 +cos2 cos2 1
a a b cos ， 为向量 a 与 b 的夹角
点乘（数量积） 叉乘（向量积） c a b sin
a b a x bx a y b y a z bz
c ab
为向量 a 与 b 的夹角 向量 c 与 a ， b 都垂直