2013年北京市高级中等学校招生考试数学试卷一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。
1. 在《关于促进城市南部地区加快发展第二阶段行动计划（2013-2015）》中，北京市提出了总计约3 960亿元的投资计划。
将3 960用科学计数法表示应为 （ ）A. 39.6×102B. 3.96×103C. 3.96×104D. 3.96×104考点：科学记数法—表示较大的数分析:科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．解答：将3960用科学记数法表示为3.96×103．故选B ．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．2. 43-的倒数是 （ ） A. 34 B. 43 C. 43- D. 34-考点：倒数分析：据倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数解答：D点评：本题主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是：倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数3. 在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号大于2的概率为（） A. 51 B. 52 C. 53 D. 54考点：概率公式分析：根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小．解答：C点评：本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率n m A P =)(，难度适中。
4. 如图，直线a ，b 被直线c 所截，a ∥b ，∠1=∠2，若∠3=40°，则∠4等于（）A. 40°B. 50°C. 70°D. 80°考点：平行线的性质分析：根据平角的定义求出∠1，再根据两直线平行，内错角相等解答． 解答：点评：本题考查了平行线的性质，平角等于180°，熟记性质并求出∠1是解题的关键5. 如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB ⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上。
若测得BE=20m，EC=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于（）A. 60mB. 40mC. 30mD. 20m考点：相似三角形的应用分析：由两角对应相等可得△BAE∽△CDE，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB解答：点评：考查相似三角形的应用；用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）考点：中心对称图形；轴对称图形分析：根据轴对称图形的概念先求出图形中轴对称图形，再根据中心对称图形的概念得出其中不是中心对称的图形．解答：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项正确；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．故选：A．点评：本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．7. 某中学随机地调查515则这50A. 6.2小时B. 6.4小时C. 6.5小时D. 7小时考点：加权平均数分析：根据加权平均数的计算公式列出算式（5×10+6×15+7×20+8×5）÷50，再进行计算即可．解答：（5×10+6×15+7×20+8×5）÷50=（50+90+140+40）÷50=320÷50=6.4（小时）．故这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是6.4小时．故选B．点评：此题考查了加权平均数，用到的知识点是加权平均数的计算公式，根据加权平均数的计算公式列出算式是解题的关键8. 如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2，设弦AP的长为x，△APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）考点：动点问题的函数图象分析：根据解析式对四个图形进行判断．解答：很显然，并非二次函数，排除B；采用特殊位置法；当P点与A点重合时，此时0==xAP，0=∆PAOS；当P点与B点重合时，此时2==xAP，=∆PAOS；本题最重要的为当1==xAP时，此时APO∆为等边三角形，4143＞=∆PAOS；排除B、C、D.选择A.点评：本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围．方法2：点评：动点函数图象问题选取合适的特殊位置，然后去解答是最为直接有效的方法二、填空题（本题共16分，每小题4分）9.分解因式：aabab442+-=_________________考点：提公因式法与公式法的综合运用分析：先提取公因式a，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2-2ab+b2=（a-b）2．解答：ab2-4ab+4a=a（b2-4b+4）--（提取公因式）=a（b-2）2．--（完全平方公式）故答案为：a（b-2）2．点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．10.请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式__________考点：二次函数的性质分析：根据二次函数的性质，开口向上，要求a值大于0即可解答：解：抛物线y=x2+1开口向上，且与y轴的交点为（0，1）．故答案为：x2+1（答案不唯一）．点评：本题考查了二次函数的性质，开放型题目，答案不唯一，所写抛物线的a值必须大于0 11. 如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形HOPBAABOM 的周长为__________考点：矩形的性质；三角形中位线定理;勾股定理分析：根据题意可知OM 是△ADC 的中位线，所以OM 的长可求；根据勾股定理可求出AC 的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出BO 的长，进而求出四边形ABOM 的周长． 解答：点评：本题考查了矩形的性质、三角形的中位线的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半着一性质，勾股定理。
题目的综合性很好，难度不大．12. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：1y x =--，双曲线1y x =，在l 上取一点1A ，过1A 作x 轴的垂线交双曲线于点1B ，过1B 作y 轴的垂线交l 于点2A ，请继续操作并探究：过2A 作x 轴的垂线交双曲线于点2B ，过2B 作y 轴的垂线交l 于点3A ，…，这样依次得到l 上的点1A ，2A ，A ，…，n A ，….记点nA 的横坐标为n a ，若12a =，则2a = ，2013a =；若要将上述操作无限次地进行下云，则1a 不能取的值是 .考点：反比例函数综合题分析：求出a2，a3，a4，a5的值，可发现规律，继而得出a2013的值，根据题意可得A1不能在x 轴上，也不能在y 轴上，从而可得出a1不可能取的值．解答：根据()3,21-A 求出⎪⎭⎫ ⎝⎛21,21B ； 根据⎪⎭⎫ ⎝⎛21,21B 求出⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,232A ； 根据⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,232A 求出⎪⎭⎫ ⎝⎛--32,232B ； 根据⎪⎭⎫ ⎝⎛--32,232B 求出⎪⎭⎫ ⎝⎛--32,313A ； 根据⎪⎭⎫ ⎝⎛--32,313A 求出⎪⎭⎫ ⎝⎛--3,313B ；根据⎪⎭⎫ ⎝⎛--3,313B 求出()3,24-A ； 至此可以发现本题为循环规律，3次一循环，∵367032013+⨯=； ∴3132013-==a a ；重复上述过程，可求出()1,111--a a A 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111,a a B 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-11121,1a a a A 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-1,111112a a a a B 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-1,111113a a a A 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-1,11113a a B 、()1,114--a a A ；由上述结果可知，分母不能为0，故1a 不能取0和1-.【点评】找规律的题目，规律类型有两种类型，递进规律和循环规律，对于循环规律类型， 多求几种特殊情况发现循环规律是最重要的.点评:本题考查了反比例函数的综合，涉及了点的规律变化，解答此类题目一定要先计算出前面几个点的坐标，由特殊到一般进行规律的总结，难度较大．：三、解答题（本题共30分，每小题5分）13. 如图，已知D 是AC 上一点，AB=DA ，DE ∥AB ，∠B=∠DAE 。
求证：BC=AE 。
考点：全等三角形的判定与性质分析：根据两直线平行，内错角相等求出∠CAB=∠ADE ，然后利用“角边角”证明△ABC 和△DAE 全等，再根据全等三角形对应边相等证明即可 解答：点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，利用三角形全等证明边相等是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用14. 计算：10)41(45cos 22)31(-+︒--+-。
考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值分析：分别进行零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂等运算，然后按照实数的运算法则计算即可．解答：原式=12+=5点评：本题考查了实数的运算，涉及了零指数幂、绝对值、负整数指数幂及特殊角的三角函数值，属于基础题，注意各部分的运算法则．15.解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧>+->x x x x 23123考点：解一元一次不等式组分析：先求出两个不等式的解集，再求其公共解． 解答：点评：本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．16. 已知0142=--x x ，求代数式22))(()32(y y x y x x --+--的值。