2017-2018学年福建省泉州市晋江市季延中学高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．sin=（）A．B．C． D．2．某学校有男生520人、女生480名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（）A．抽签法B．随机数法 C．系统抽样法D．分层抽样法3．如图是a，b年在某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A．83，1.5 B．84，1.5 C．85，1.6 D．86，1.64．在△ABC中，若A：B：C=1：2：3，则a：b：c等于（）A．1：2：3 B．3：2：1 C．2：：1 D．1：：25．从1，2，3，4，5中随机取出二个不同的数，其和为奇数的概率为（）A．B．C．D．6．执行如图的程序框图，如果输入的N=4，那么输出的S=（）A．1+++B．1+++C．1++++D．1++++7．从装有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个黒球与都是红球B．至少有一个黒球与都是黒球C．至少有一个黒球与至少有1个红球D．恰有1个黒球与恰有2个黒球8．下列函数中，周期为π且在[0，]上是减函数的是（）A．y=cosx B．y=cos2x C．y=sin2x D．y=﹣tan2x9．已知tan（α+β）=，tan（β﹣）=，那么tan（α+）等于（）A．B．C．D．10．（重点中学做）在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，那么△ABC是（）A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等边三角形11．在△ABC中，A=，BC=3，则AB+AC的长可表示为（）A．4sin（B+）B．6sin（B+）C．4sin（B+）D．6sin（B+）12．在△ABC中，已知•=4，||=3，M、N分别是BC边上的三等分点，则•的值是（）A．5 B．C．6 D．8二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知扇形的周长为8cm，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为cm2．14．如表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据：根据表格提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35的值为．15．已知△ABC的面积为1，在△ABC内任取一点P，则△PBC的面积小于的概率为．16．函数f（x）=3sin（2x﹣）的图象为C，如下结论中正确的是①图象C关于直线x=π对称；②图象C关于点（，0）对称；③函数即f（x）在区间（﹣，）内是增函数；④由y=3sin2x的图角向右平移个单位长度可以得到图象C．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程）17．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．若a，b是方程x2﹣2x+2=0的两根，且2cos（A+B）=1．（1）求角C的度数；（2）求c；（3）求△ABC的面积．18．某班50位学生期中考试数学成绩的频率直方分布图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中x的值；（2）估计这次考试的平均分；（3）估计这次考试的中位数（精确到0.1）．19．已知、、是同一平面内的三个向量，其中=（1，﹣2）．（Ⅰ）若||=2，且∥，求的坐标；（Ⅱ）若||=1，且+与﹣2垂直，求与的夹角θ的余弦值．20．已知A、B、C的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C（3cosα，3sinα）．（1）若α∈（﹣π，0），且||=||，求角α的大小；（2）若⊥，求的值．21．已知函数f（x）=cos2x﹣sinxcosx+1．（1）求函数f（x）的周期，并求f（x）的单调递增区间；（2）若f（θ）=，且＜θ＜，求sin2θ的值．22．设函数f（x）=﹣cos2x﹣2tsinx+2t2﹣6t+2（x∈R），其中t∈R，将f（x）的最小值记为g（t）．（1）求g（t）的表达式；（2）当﹣1≤t≤1时，要使关于t的方程g（t）=kt有且仅有一个实根，求实数k的取值范围．（3）问a取何值时，方程g（sinx）=a﹣5sinx在[0，2π）上有两解？2017-2018学年福建省泉州市晋江市季延中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．sin=（）A．B．C． D．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】由条件利用诱导公式化简所给式子的值，可得结果．【解答】解：sin=sin（3•2π﹣）=sin（﹣）=﹣sin=﹣，故选：D．2．某学校有男生520人、女生480名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（）A．抽签法B．随机数法 C．系统抽样法D．分层抽样法【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义进行判断即可．【解答】解：由于男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面可能存在显著差异，故宜采用的抽样方法是分层抽样，故选：D3．如图是a，b年在某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A．83，1.5 B．84，1.5 C．85，1.6 D．86，1.6【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．【分析】由题意确定所剩数据：84、84、86、84、87，由平均数公式、方差公式分别求出即可．【解答】解：由茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后得所剩数据：84、84、86、84、87，所以所剩数据的平均数==85，方差S2==1.6，故选：C．4．在△ABC中，若A：B：C=1：2：3，则a：b：c等于（）A．1：2：3 B．3：2：1 C．2：：1 D．1：：2【考点】正弦定理．【分析】根据三角形内角和定理，结合A：B：C=1：2：3，算出A=，B=且C=，从而得出△ABC是直角三角形．由三角函数在直角三角形中的定义算出c=2a且b=，即可得到a：b：c的值．【解答】解：∵在△ABC中，A：B：C=1：2：3，∴设A=x，则B=2x，C=3x，由A+B+C=π，可得x+2x+3x=π，解之得x=∴A=，B=且C=，可得△ABC是直角三角形∵sinA==，∴c=2a，得b==因此，a：b：c=1：：2故选：D5．从1，2，3，4，5中随机取出二个不同的数，其和为奇数的概率为（）A．B．C．D．【考点】等可能事件的概率．【分析】首先计算出所以基本事件总数为：C52=10，再计算出这两个数字之和为奇数的取法，进而计算出事件发生的概率．【解答】解：由题意可得：从数字1，2，3，4，5中，随机抽取2个数字共有不同的取法有：C52=10．其中这两个数字之和为奇数的取法有：（1，2），（1，4）．（2，3），（2，5），（3，4），4，5），共有6种取法．所以这两个数字之和为奇数的概率为：=故选C．6．执行如图的程序框图，如果输入的N=4，那么输出的S=（）A．1+++B．1+++C．1++++D．1++++【考点】程序框图．【分析】由程序中的变量、各语句的作用，结合流程图所给的顺序可知当条件满足时，用S+的值代替S得到新的S，并用k+1代替k，直到条件不能满足时输出最后算出的S值，由此即可得到本题答案．【解答】解：根据题意，可知该按以下步骤运行第一次：S=1，第二次：S=1+，第三次：S=1++，第四次：S=1+++．此时k=5时，符合k＞N=4，输出S的值．∴S=1+++故选B．7．从装有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个黒球与都是红球B．至少有一个黒球与都是黒球C．至少有一个黒球与至少有1个红球D．恰有1个黒球与恰有2个黒球【考点】互斥事件与对立事件．【分析】互斥事件是两个事件不包括共同的事件，对立事件首先是互斥事件，再就是两个事件的和事件是全集，由此规律对四个选项逐一验证即可得到答案．【解答】解：A中的两个事件是对立事件，故不符合要求；B中的两个事件是包含关系，不是互斥事件，故不符合要求；C中的两个事件都包含一个黑球一个红球的事件，不是互斥关系；D中的两个事件是互互斥且不对立的关系，故正确．故选D8．下列函数中，周期为π且在[0，]上是减函数的是（）A．y=cosx B．y=cos2x C．y=sin2x D．y=﹣tan2x【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】根据三角函数周期的计算公式，正余弦函数的单调性及单调性的定义即可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．【解答】解：A．y=cosx的周期为2π，∴该选项错误；B．y=cos2x的周期为π；∵；∴2x∈[0，π]，且y=cosx在[0，π]上为减函数；∴y=cos2x在上是减函数；∴该选项正确；C.2x∈[0，π]，且y=sinx在[0，π]上没有单调性；∴y=sin2x在上没有单调性，∴该选项错误；D.2x∈[0，π]，且y=﹣tanx在[0，π]上没有单调性，∴该选项错误．故选B．9．已知tan（α+β）=，tan（β﹣）=，那么tan（α+）等于（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】把已知的条件代入=tan[（α+β）﹣（β﹣）]=，运算求得结果．【解答】解：∵已知，∴=tan[（α+β）﹣（β﹣）]===，故选C．10．（重点中学做）在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，那么△ABC是（）A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等边三角形【考点】三角形的形状判断．【分析】由已知利用正弦定理可得：sinC=2sinAcosB，由三角形内角和定理及三角函数恒等变换的应用化简可得sin（A﹣B）=0，利用正弦函数的图象和性质可得A=B，从而得解为等腰三角形．【解答】解：∵cosB=，∴利用正弦定理可得：sinC=2sinAcosB，∴sin（A+B）=2sinAcosB，∴sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB，∴sin（A﹣B）=0，∴A=B，∴△ABC为等腰三角形．故选：B．11．在△ABC 中，A=，BC=3，则AB +AC 的长可表示为（ ）A ．4sin （B +） B ．6sin （B +）C ．4sin （B +） D ．6sin （B +）【考点】正弦定理．【分析】由正弦定理可得：AB=2sinC=2sin （﹣B ），AC=2sinB ，利用三角函数恒等变换的应用化简即可得解．【解答】解：在△ABC 中，∵A=，BC=3，∴C=﹣B ，∴由正弦定理得： ==2，整理得：AB=2sinC=2sin（﹣B ），AC=2sinB ，∴AB +AC=2sin （﹣B ）+2sinB=2×[sin （﹣B ）+sinB ]=2×（cosB +sinB ）=6sin （B +）．故选：D ．12．在△ABC 中，已知•=4，||=3，M 、N 分别是BC 边上的三等分点，则•的值是（ ）A ．5B ．C ．6D ．8【考点】平面向量数量积的运算．【分析】取BC 边的中点O ，由向量加法的三角形法则，把•=4转化为，再由||=3求得，则可求，把•转化为|AO |2﹣|OM |2，再由已知求得，则答案可求．【解答】解：如图，设BC 的中点为O ，由，得==，∵，∴，由此可得：，而===|AO|2﹣|OM|2，由已知，∴|AO|2﹣|OM|2=，∴=6．故选：C．二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知扇形的周长为8cm，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为4cm2．【考点】扇形面积公式．【分析】设出扇形的半径，求出扇形的弧长，利用周长公式，求出半径，然后求出扇形的面积．【解答】解：设扇形的半径为R，弧长为l，面积为S，圆心角为α，由于α=2弧度，可得：l=Rα=2R，由于扇形的周长为8=l+2R，所以：2R+2R=8，所以解得：R=2，扇形的弧长l=2×2=4，扇形的面积为：S=lR=×4×2=4（cm2）．故答案为：4．14．如表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据：根据表格提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35的值为．【考点】线性回归方程．【分析】求得，利用样本中心点（，）在回归直线上，求得，代入平均数公式可得t 的值．【解答】解：==4.5，又样本中心点（，）在回归直线上，∴=0.7×4.5+0.35=3.5，即=3.5⇒t=3．故答案为：3．15．已知△ABC的面积为1，在△ABC内任取一点P，则△PBC的面积小于的概率为．【考点】几何概型．【分析】在三角形ABC内部取一点P，要满足得到的三角形PBC的面积是原三角形面积的，根据几何关系求解出它们的比例即可．【解答】解：记事件A={△PBC的面积大于}，基本事件是三角形ABC的面积，（如图）事件A的几何度量为图中阴影部分的面积（D、E分别是三角形的边上的三等分点），∵△ADE∽△ABC，且相似比为，∴阴影部分的面积是整个三角形面积的，∴P（A）=，∴△PBC的面积小于的概率是1﹣P（A）=1﹣=．故答案为：．16．函数f（x）=3sin（2x﹣）的图象为C，如下结论中正确的是①②③①图象C关于直线x=π对称；②图象C关于点（，0）对称；③函数即f（x）在区间（﹣，）内是增函数；④由y=3sin2x的图角向右平移个单位长度可以得到图象C．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的单调性；正弦函数的对称性．【分析】把代入求值，只要是的奇数倍，则①正确，把横坐标代入求值，只要是π的倍数，则②对；同理由x的范围求出的范围，根据正弦函数的单调区间判断③是否对，因为向右平移故把x=x﹣代入进行化简，再比较判断④是否正确．【解答】解：①、把代入得，，故①正确；②、把x=代入得，，故②正确；③、当时，求得，故③正确；④、有条件得，，故④不正确．故答案为：①②③．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程）17．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．若a，b是方程x2﹣2x+2=0的两根，且2cos（A+B）=1．（1）求角C的度数；（2）求c；（3）求△ABC的面积．【考点】正弦定理；两角和与差的余弦函数．【分析】（1）由A+B=180﹣C及诱导公式可求C；（2）韦达定理及余弦公式可求c；（3）利用面积公式S=可求；【解答】解：（1）由2cos（A+B）=1，得2cos=1，∴cosC=﹣，又0°＜C＜180°，∴C=120°；（2）∵a，b是方程x2﹣2x+2=0的两根，由韦达定理，得a+b=2，ab=2，由余弦定理，得c2=a2+b2﹣2abcos120°=（a+b）2﹣ab=12﹣2=10，∴c=；（3）△ABC的面积S===．18．某班50位学生期中考试数学成绩的频率直方分布图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中x的值；（2）估计这次考试的平均分；（3）估计这次考试的中位数（精确到0.1）．【考点】频率分布直方图．【分析】（1）由频率之和为1，即可求出x的值．（2）根据平均分的定义即求出，（3）根据中位数的定义即可求出【解答】解：（1）由30×0.006+10×0.01+10×0.054+10x=1，得x=0.018，（2）平均分的估计值为0.06×45+0.06×55+0.1×65+0.54×75+0.18×85+0.06×95=74，（3）由于0.06+0.06+0.1=0.22，0.5﹣0.22=0.28，得中位数的估计值为70+（0.28÷0.54）×10≈75.219．已知、、是同一平面内的三个向量，其中=（1，﹣2）．（Ⅰ）若||=2，且∥，求的坐标；（Ⅱ）若||=1，且+与﹣2垂直，求与的夹角θ的余弦值．【考点】数量积表示两个向量的夹角；平面向量的坐标运算．【分析】（Ⅰ）设=（k，﹣2k），k为实数，再根据||==2，求得k的值，从而求得的坐标．（Ⅱ）由（+）•（﹣2）=0，以及||=，||=1，可得=3，从而求得cos＜，＞=的值．【解答】解：（Ⅰ）∵=（1，﹣2），且∥，∴可设=（k，﹣2k），k为实数．再根据||==2，可得k=±2，∴=（﹣2，4）或=（2，﹣4）．（Ⅱ）∵+与﹣2垂直，∴（+）•（﹣2）=﹣﹣2=0．再根据||=，||=1，可得=3，∴cos＜，＞===，故要求的与的夹角θ的余弦值为．20．已知A、B、C的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C（3cosα，3sinα）．（1）若α∈（﹣π，0），且||=||，求角α的大小；（2）若⊥，求的值．【考点】平面向量数量积的运算；向量的模；弦切互化；二倍角的正弦；二倍角的余弦．【分析】（1）利用点的坐标求出向量的坐标，根据向量模的平方等于向量的平方得到三角函数的关系，据角的范围求出角．（2）利用向量垂直的充要条件列出方程利用三角函数的二倍角公式、切化弦公式化简三角函数，利用三角函数的平方关系求出值．【解答】解：（1），，∵∴25﹣24cosα=25﹣24sinα∴sinα=cosα又α∈（﹣π，0），∴α=．（2）∵∴即（3cosα﹣4）×3cosα+3sinα×（3sinα﹣4）=0解得所以1+2∴故==2sinαcosα=21．已知函数f（x）=cos2x﹣sinxcosx+1．（1）求函数f（x）的周期，并求f（x）的单调递增区间；（2）若f（θ）=，且＜θ＜，求sin2θ的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）运用二倍角的正弦和余弦公式，及两角和的余弦公式，化简函数f（x），再由正弦函数的周期和单调增区间，解不等式即可得到；（2）f（θ）=，求出cos（2θ+）=﹣，结合θ的范围及同角三角函数的基本关系，求出sin（2θ+）=﹣，通过sin2θ=sin（2θ+﹣），利用两角差的正弦函数求解即可．【解答】解：（1）f（x）=cos2x﹣sinxcosx+1，=cos2x+﹣sin2x+1，=cos（2x+）+．…f（x）的最小正周期T==π﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣…由2kπ+π≤2x+≤2kπ+2π，解得：kπ+≤x≤kπ+，（k∈Z）．∴函数f（x）的单调递增区间：[kπ+，kπ+]（k∈Z）．…（Ⅱ）由f（θ）=，得cos（2θ+）+=，cos（2θ+）=﹣．…又θ∈（，），∴2θ+∈（π，），sin（2θ+）==﹣．…故sin2θ=sin（2θ+﹣）=sin（2θ+）﹣cos（2θ+），=，∴sin2θ=．…22．设函数f（x）=﹣cos2x﹣2tsinx+2t2﹣6t+2（x∈R），其中t∈R，将f（x）的最小值记为g（t）．（1）求g（t）的表达式；（2）当﹣1≤t≤1时，要使关于t的方程g（t）=kt有且仅有一个实根，求实数k的取值范围．（3）问a取何值时，方程g（sinx）=a﹣5sinx在[0，2π）上有两解？【考点】三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系，求得g（t）的表达式．（2）令t=sinx∈[﹣1，1]，再利用二次函数的性质，求得g（t）=kt有且仅有一个实根时实数k的取值范围．（3）令u=sinθ，u∈[﹣1，1]，则由题意可得g（u）=u2﹣6u+1=a﹣5u 有2个解，再利用二次函数的性质求得a的范围．【解答】解：（1）由已知有：f（x）=﹣cos2x﹣2t•sinx+2t2﹣6t+2=sin2x﹣2tsinx+2t2﹣6t+1=（sinx﹣t）2+t2﹣6t+1，由于x∈R，∴﹣1≤sinx≤1，∴当t＜﹣1时，则当sinx=﹣1时，；当﹣1≤t≤1时，则当sinx=t时，；当t＞1时，则当sinx=1时，；综上，．（2）当﹣1≤t≤1时，g（t）=t2﹣6t+1，方程g（t）=kt，即：t2﹣6t+1=kt，即方程t2﹣（k+6）t+1=0在区间[﹣1，1]有且仅有一个实根，令q（t）=t2﹣（k+6）t+1，则有：q（﹣1）q（1）≤0，得（k+8）（k+4）≥0，求得k∈（﹣∞，﹣8]∪[﹣4，+∞）．（3）令u=sinθ，u∈[﹣1，1]，则由题意可得g（u）=u2﹣6u+1=a﹣5u，即关于u的方程u2﹣u+1=a 有2个根．根据函数y=u2﹣u+1的图象的对称轴为x=时，y=，且当x=1时，y=1；当x=﹣1时，y=3，∴，或1＜a＜3．2018年9月5日。