第五章 定积分(A 层次 )1． 2 sin x cos 3 xdx ； 2 ． x 2a 2 x 2 dx ； 3 ．3 dx；a1x 21 x 21 4．1xdx；45．5 4x 1dx ；1dx ；x 16． 31 x 14e27．1dx；dx； 9．1 cos2xdx ；8 ．x 22x 2x 1 ln x210． x 4 sin xdx ；11 ． 2 4 cos 4 xdx ；12． 3sin 2 x dx ；5x25x 42x 2113． 3 x dx ； 14． 4ln x dx ；15．1 xarctgxdx ；214 sin xx16． 2 e2xcosxdx ； 17x sin x2dx ； 18 e．0 ． 1 sin ln x dx ； 019． 2cos x cos 3 xdx ； 20 ． 4 sin x dx ； 21 ． x sin x dx ；4 0 1 sin x 01 cos 2x 11 x1 x22x ln dx ；23．24 ． 2ln sin xdx；22． 0 1 x1 x 4 dx ； 025．dxdx0 。

1x 2 1 x(B 层次 )y tx所决定的隐函数对的导数dy。

1．求由cos0 y xe dttdtdx2．当 x 为何值时，函数 I xxte t 2 dt 有极值？3．dcos x2 dt 。

cos t dxsin x4．设 f xx 1, x 12，求 f x dx 。

12, x 1 02 xxarctgt 25． lim 0dt。

x 2x16．设f x 1sin x, 0 x，求 x x2 f t dt 。

0, 其它01当 x 0时,27．设f x 1 x ，求 f x 1 dx 。

1, 当 x 0时01 e x8．lim1n 2n2n 2n 。

nkn e n9．求lim 。

2 kn k 1ne nn10．设 f x 是连续函数，且 f x x 1 f t dt ，求 f x 。

211．若2ln 2 dt ，求 x 。

e tx 1 61 112．证明：2e 2 12 e x2 dx 2 。

2x a x13．已知 lima 4x2 e 2x dx ，求常数a。

x x a14．设f x 1 x 2 , x 0 ，求3f x 2 dx 。

x1e , x 015．设f x 有一个原函数为 1 sin 2 x ，求2 xf 2x dx 。

16．设f x ax b ln x ，在1,3 上 f x 0 ，求出常数 a ，b使 3 f x dx 最小。

1 17．已知 f x e x2 ，求 1 f x f x dx。

18．设 f x x 2 2 1x f x dx 2 f x dx ，求f x。

0 019． f cosx cosx f cosx sin 2 x dx 。

20．设 x 0 时， F x x x2 t 2 f t dt 的导数与x2是等价无穷小，试求 f 0。

(C 层次 )1 ．设 f x是任意的二次多项式，g x是某个二次多项式，已知f x dx1 f 0 4 f1f 1 ，求g x dx 。

1b62a2．设函数 f x 在闭区间 a,b 上具有连续的二阶导数，则在a, b 内存在，使得f x dxb a fa b1b a f。

b3a2243 ． f x 在 a, b 上 二 次 可 微 ， 且 f x0 ， f x。

试 证b a f a f x dx b a f b f a 。

ba24．设函数 f x 在 a, b 上连续， f x 在 a,b 上存在且可积， f af b0 ，试证1 bf xf x dx ( a x b ) 。

2 a5．设 f x 在 0,1 上连续，10 ， 1，求证存在一点 x ，， 0 f x dxxf x dx1 0 x 1使 f x4 。

6．设 f x 可微， f 00 ， f 01 ， Fx xx2t 2dt ，求 lim F x。

tfx 0x 47．设 f x 在 a, b 上连续可微， 若 f af b0 ，则4b f x dxmax f x 。

b a 2aa x b8．设 f x 在 A, B 上连续， A a bB ，求证 limbfx kf x dxf bf a 。

akk 09．设 f x 为奇函数，在,内连续且单调增加， F xx xt f t dt ，证明：3(1) F x 为奇函数； (2) Fx 在 0,上单调减少。

10．设 fx 可微且积分1 f xxf xt dt 的结果与 x 无关，试求 f x 。

011．若 f x 在 0,连续， f 0 2 ， f1 ，证明：f x f x sin xdx 3 。

12．求曲线 y x 1 t 2 dt 在点 (0,0) 处的切线方程。

t13．设 f x 为连续函数，对任意实数 a 有a x dx 0 ，求证 f2x f xsin xf 。

ax y22y。

14．设方程 2x tg xysec 2tdt ，求ddx15．设 f x 在 a, b 上连续，求证：lim 1 x f thf t dtf xf a ( ax b )hah 016．当 x0 时， f x 连续，且满足 x 21 xt dtx ，求 f 2 。

f17．设 f x 在 0,1 连续且递减，证明1 f x dxf x dx ，其中0,1 。

18 ． 设 fx 连 续 ，x， f 00 ， f a1 ， 试 证 ：F xf t fa t dt2F 2a 2F a1 。

19．设 g x 是 a, b 上的连续函数， f xxf bg t dt ，试证在 a, b 内方程 g x 0aba至少有一个根。

20．设 f x 在 a, b 连续，且 f x0 ，又 F xx f t dtx1dt ，证明：abf t(1) F x2 (2) F x 0 在 a, b 内有且仅有一个根。

21．设 f x0,2a 上连续，则2a f x dxa xf 2ax dx 。

在 0f22．设 f x 是以为周期的连续函数，证明：2x f x dx2xf x dx 。

sin x23．设 f x 在 a, b 上正值，连续，则在 a,b 内至少存在一点，使f x dxbf1 bx dxf x dx 。

a2a24．证明 1ln f x t dtxf u1du 1 f u du 。

0 ln lnf u 025．设 fx 在 a, b 上连续且严格单调增加，则b2 bx dx 。

a b f x dxxfaa26．设 f x 在 a, b 上可导，且 fx M ， fa0，则bM b a 2。

f x dxa227 ． 设 f x 处 处 二 阶 可 导 ， 且 f x 0 ， 又 u t 为 任 一 连 续 函 数 ， 则1 a f1 a ， a 0 。

af u t dtau t dtb 28．设f x在a, b上二阶可导，且 f x0 ，则a 29．设f x在a,b上连续，且f x b0 ， f x dxa f x dxb a fa b。

20 ，证明在 a, b 上必有 f x 0 。

30 ． f x 在a, b 上连续，且对任何区间, a,b 有不等式f x dx M 1为正常数 ) ，试证在a,b上f x 0 。

( M ，第五章定积分(A)1． 2 sin x cos3xdx2 cos3 xdx 1cos4 2 1解：原式x0 44ax2 a2 x 2 dx2．解：令 x a sin t ，则 dx a costdt当 x 0 时 t 0 ，当x a 时t2 原式2 a 2 sin 2 t a cost a costdt3． 3 dxx2 x 21 1解：令 x tg ，则 dx sec2 d当 x 1， 3 时分别为，34原式 3 sec2d4 tg 2 sec4． 1 xdx1 5 4x解：令 5 4x u ，则x 5 1u 2， dx1udu4 4 2 当 x 1，1 时，u 3,1原式1 1 5 u2 du138 64dx5．1x 1解：令 x t ， dx2tdt当 x 1时， t 1；当 x4 时， t 2原式 22tdt2dt 2dt1 t211t111dx6． 31 x 14解：令 1 x u ，则 x1 u2 ， dx2udu当 x3,1 时 u1,042原式1 2u du21u 11du1 2 ln 22u 1u 17．e 2dx1x 1 ln x解：原式e 2 1 1 d ln x1 ln xdx8．22x22xe 211 d 1 ln x1 ln xdxarctg0 解：原式x 2x 1 22119．1 cos2xdx解：原式2 cos 2 xdx2 cos x dx10． x 4 sin xdx解：∵ x 4 sin x 为奇函数∴x 4 sin xdx 011．2 4cos 4 xdx2解：原式 4 2 2 cos4 xdx 2 2 2 cos2 2x dx0 05 x3 sin 2 xdx12．2x25 x4 1解：∵x 3 sin 2 x 为奇函数4 2x 2x 15 x 3 sin 2 x∴dx 05 x 4 2 x2 1 13． 3 x dx4 sin 2 x解：原式3 xdctgx414． 4 ln xdx1x4解：原式 2 ln xd x1115．xarctgxdx11解：原式arctgxdx216． 2 e2x cosxdx解：原式2 e2x d sin x故2 e2 x cosxdx 1 e 20 517．xsin x 2 dx解：原式x sin x 2 dx x 2 1 cos2x dx0 0 2 18． e sin ln x dx1解：原式 e e x cos ln x 1dxx sin ln x 1 1xesin ln x dxe sin1 cos1 1故 1219． 2cos x cos 3 xdx4解：原式2cos x 12x dxcos420． 4sin x dx1 sin x解：原式4 sin x 1sin xdx1 sin2 x21．x sin x dx 01cos 2 x解：令 xt ，则22 t sin2 t 原式2dt22 1tcos21x ln1 xdx22．2 01 x1 1 x x 2解：原式2 lnd1 x223． 1 x 2 dx1x 41 x 21 1 解：原式x 21x 4dx21dxx 2x 224． 2 ln sin xdx解：原式2ln 2sinxcosxdx令x 2t2 4 ln 2 ln sin t ln cost dt22故 2 ln sin xdxln 2 0225．dx21 x 1x解：令 x1，则 dx12 dttt1 dt t 2原式21 t 1 t t2tdx∴21 x2 1 x故dx1 x2 1 x4t dt0 1 t 2 1 tdxx dx221 x 1 x1 x1 x(B)1．求由y txcos0 所决定的隐函数y对 x 的导数dy。