行列式形式为：
ar 1 A 2 r sin r Ar
ra rA
r sin a r sin A例点电荷 q 位于球坐标原，此电荷的电场强度在空间中分布如下
E ar q 4 0 r 2 1
（1）计算在 r r0 的球面上，电场强度 E 穿出的通量。 （2）计算空间各点（ r 0 ）电场强度 E 的散度。 解：位于坐标原点的电荷的电场，电场强度的方向总在 ar 方向上，呈发散状分布。 在 r r0 球面上任取一面元 ，则 E dS Er dSr 1 q r 2 sin dd
体积元：
d dxdydz
图 1.2.2 直角坐标系中的体积元
8.2 柱坐标系
坐标变量:
r
z
0r
0 2
变量取值范围:
z
单位矢量：
ar , a , a z ） （
任一矢量可表示为：A ar Ar a A a z Az 位置矢量： R ar r a z z
图 1.2.3 柱坐标系
微分元：
dR ar dr a rd a z dz
度量系数： h 1 r
面积元：
h r
hz 1
dSr dl dlz rddz dS dlr dlz drdz dS z dlr dl rdrd
体积元：
cos1
直角坐标系中哈密顿算符表示为
ax ay az x y z
直角坐标系中梯度计算公式为
grad a x ay az x y z
柱坐标系中的哈密顿算符和梯度计算公式为
1 a r a az r r z 1 grad ar a az r r z
d rdrddz
图 1.2.4 柱坐标系的体积元
8.3 球坐标系
坐标变量: r , ,
变量取值范围:
0r 0 0 2
ar , a , a ）
单位矢量： （
任一矢量可表示为： ar Ar a A a A A
E
4 0 r 2
在 r r 球面上的通量为
0
E dS
s 0
2
4
0
1
0
q 2 r sin dd r2

q
0
对于r 0 的空间各点，电场强度 的散度为
1 1 q E 2 (r 2 E r ) 2 ( )0 r r r r 4 0
x r sin cos y r sin sin z r cos
x2 y2 z2 z x2 y2 z2
cos1 ty 1
y x
（3）柱坐标系与球坐标系的关系
r ' r sin z r cos
r r '2 z 2 z r '2 z 2
行列式形式为：
r a rA
az z Az
球坐标系中：
A ar (sinA ) r sin a 1 Ar a Ar ( rA ) ( rA ) sin r r r r
体积元：
d dlr dl dl r 2 sindrdd
图 1.2.6 球标系的体积元
8.4 三种坐标系的坐标变量之间的关系
（1）直角坐标与柱坐标系的关系
x r cos y r sin zz
r x2 y2 y x
tg 1
z z
r
（2）直角坐标与球坐标系的关系
位置矢量： R ar r
图 1.2.5 球坐标系

微分元：dR ar dr a rd a r sin d
度量系数： hr 1
面积元：
h r
h r sin
dSr dl dl r 2 sin dd dS dlr dl r sin drd dS dlr dl rdrd
位置矢量： R a x x a y y a z z
微分元： dR a x dx a y dy a z dz
度量系数：hx
面积元：
dx 1 dx
hy
dy 1 dy
hz
dz 1 dz
dSx dydz
dSy dxdz
dSz dxdy
球坐标系中的哈密顿算符和梯度计算公式为
1 1 ar a a r r r sin 1 1 grad ar a a r r r sin
矢量场A的散度可表示为哈密顿微分算子▽与矢量A的标量 积， 即
divA A
直角坐标系中的散度计算公式为
A Ay Az divA x x y z
柱坐标系中的散度计算公式：
1 1 A Az divA (rAr ) r r r z
球坐标系中的散度计算公式：
1 A 1 1 A divA 2 (r 2 Ar ) (sin ) r sin r sin r r
图 点电荷的电场与 divA
柱坐标系中：
1 Az A Ar Az a z A ar ( ) a ( ) r z z r r
ar 1 A r r Ar
A
A (rA ) r r
8 三种常用的坐标系
8.1 直角坐标系
坐标变量:
x, y , z
变量取值范围:
x, y , z
y
x
z
ax , a y , az） 单位矢量： （
A 任一矢量可表示为： a x Ax a y Ay a z Az