uv v v A e zez
同理可得，在球坐标系下得位置矢量表达式为
uv v A rer
可见，位置矢量在不同坐标系下得表达式是不同的.
1 – 1 三种常用的坐标系
第一章 矢量分析
uv
例3试判断uv 下列矢量v场
E
是否是均匀矢量场： vv
1.柱坐标系中 E = E1 sin e E1 cos e E2 ez ,其中
球坐标系中的三个坐标
变量是 r , , 过空间任意点 M r,, 的
vv v 坐标的单位矢量为 er,e ,e
它们相互正交，而且遵 循右手螺旋法则
vv v er e e
第一章 矢量分析
1 – 1 三种常用的坐标系
第一章 矢量分析
在点
M
r,
,
处沿
v er
,
v e
,
v e
z
方向的长度元分别是： dlr dr dl rd dl r sin d 面积元:
相互正交，而且遵循右手螺旋
法则 v v v ex ey ez
在直角坐标系内的任一 矢量可表示为
uv v v v A Ax ex Ay ey Az ez
第一章 矢量分析
v v
v
1 – 1 三种常用的坐标系
各个面的面积元
dsx dydz dsy dxdz dsz dxdy
体积元
dV dxdydz
dsr dl dl r2 sin d d
r sinv er
x1
v
o
e
d
v e
rd
r sin d
y
ds dlrdl r sin drd x
ds dlrdl rdrd
体积元： dV dlrdl dl r2 sindrdd
1 – 1 三种常用的坐标系
第一章 矢量分析
二 三种坐标系的坐标变量之间的关系
uv E
E12 E22 常数
uv
tg 1 E2
E1
常数
E 是均匀矢量场
第一章 矢量分析
3 柱坐标系与球坐标系的关系
z
r sin
z r cos
r 2 z2
sin1
cos1
2 z2
o
x
x
z
2 z2
(x, y, z)
M (,, z)
r z (r, ,)
y
y
1 – 1 三种常用的坐标系
第一章 矢量分析
三 三种坐标系的坐标单位矢量之间的关系
（一）直角坐标系与柱坐标系的关系
v
evev
cos sin
ez 0
sin cos
0
v
0 0
evevxy
1 ez
vv v v
v
vex
evy
cos
sin
ez 0
sin cos
0
v
0 0
ve
ev
1 ez
1 – 1 三种常用的坐标系
第一章 矢量分析
（二）柱坐标系与球坐标系的关系
v
v
veevr
E1, E2 都是常数。
2.在球坐标系中
uv v E = er E0
,其中 E0
是常数。
v 解1.v
vv
v
vv v
e cos ex
代入已知
uv E
sin ey , e sin ex cosuv 的柱坐标表示式，可得到 E
ey, ez 的直角
e
z
坐标系表示式为 uv v
v
E E1 ey E2 ez
ve
0 e
1 – 1 三种常用的坐标系
第一章 矢量分析
uv 例v1如果v有一矢v量在柱坐标系下的表达式为 A Ae Ae Az ez ,试求出它在直角坐标系下 的各分量大小。
解 uv v v v v v v v Ax A ex A e ex A e ex Az ez ex A cos A sin uv v v v v v v v Ay A ey A e ey A e e y Az ez e y A sin A cos uv v v v v v v v Az A ez A e ez A e ez Az ez ez Az
sin cos
0 0
cos sin
ve ev
e 0 1 0 ez
v
ve
ev
sin 0
ez cos
cos 0
sin
v
0 1
ver
ve
0 e
v v
v v
1 – 1 三种常用的坐标系
第一章 矢量分析
（三）直角坐标系与球坐标系的关系
v
evr
eve
将上式综合起来，写成简明矩阵形式为
Ax cos
Ay
sin
Az 0
sin cos
0
0 A
0
A
1 Az
1 – 1 三种常用的坐标系
第一章 矢量分析
例2写出空间任一点在直角坐标系下的位置 矢量表达式，然后将此位置矢量转换成在柱坐标 系和球坐标系下的矢量。
解在空间任一点 P(x, y, z) 的位置矢量为
1 – 1 三种常用的坐标系
第一章 矢量分析
1 – 1 三种常用的坐标系
第一章 矢量分析
标量场（）和矢量场（A）
y
y
x
x
以浓度表示的标量场
以箭头表示的矢量场A
1 – 1 三种常用的坐标系
一 常用坐标系
1 直角坐标系
空间任意点 Mv x1, yv1, z1v
其坐标的单位矢量 e x , e y , e z
uv v v v A xex yey zez
利用例1-1中的结论，得
A x cos y sin A x sin y cos
Az z
1 – 1 三种常用的坐标系
第一章 矢量分析
代入 x cos , y sin ,得
A
A 0
Az z
于是，位置矢量在柱坐标系下得表达式为
x r sin cos
cos
y
o
x
r x2 y2 z2
x
cos1
z
sin1
x2 y2 z2
x2 y2 x2 y2 z2
tg 1
y
sin 1
y
cos1
x
x
x2 y2
x2 y2
(x, y, z)
M (,, z)
z (r, ,)
y
1 – 1 三种常用的坐标系
第一章 矢量分析
1 – 1 三种常用的坐标系
2 柱坐标系
柱坐标系中的三个坐标变量是
,,z
过空间任意点 M ,, z 的坐标
vv v 单位矢量为e e, e, z ,它们相
互正交，而且遵循右手螺旋法则
vv v e e ez
第一章 矢量分析
1 – 1 三种常用的坐标系
第一章 矢量分析
在点 M ,, z处沿
1 直角坐标系与柱坐标系的关系 z
x cos
y
sin
z z
o
x
(x, y, z)
M (,, z)
r z (r, ,)
y
y
x2 y2
tg 1
y x
sin 1
z
z
x
y cos1 x2 y2
x x2 y2
1 – 1 三种常用的坐标系
第一章 矢量分析
2 直角坐标系与球坐标系的关系 z
sin cos cos cos sin
sin sin cos sin
cos
v
cos sin
0
vex eevyz
v
vex
evy
sin sin
cos sin
ez cos
cos cos cos sin
sin
v
sin
cos
ver
v e
v
, e
,
v ez
方向的长度元分别是：
dl d dl d dlz dz
面积元分 ds dldlz ddz
别是: ds dldlz d dz
x
dsz dldl d d
z
v
ez
x1
v e
M
v
e
z
o
x1 d
y
x1
d
体积元： dV dl dl dlz d ddz
1 – 1 三种常用的坐标系 3 球坐标系