坐标的单位矢量为 er,e ,e
它们相互正交，而且遵 循右手螺旋法则
er e e
第一章 矢量分析
1 – 1 三种常用的坐标系
第一章 矢量分析
在点 M r,,处沿er , e , e
z
方向的长度元分别是： dlr dr dl rd dl r sin d 面积元:
dsr dl dl r2 sin d d
y
sin
z z
o
x
(x, y, z)
M (,, z)
r z (r, ,)
y
y
x2 y2
tg 1
y x
sin 1
z
z
x
y cos1 x2 y2
x x2 y2
1 – 1 三种常用的坐标系
第一章 矢量分析
2 直角坐标系与球坐标系的关系 z
x r sin cos
y
r
sin
sin
解
Ax A ex A e ex A e ex Az ez ex A cos A sin
Ay A ey A e ey A e e y Az ez e y A sin A cos
Az A ez A e ez A e ez Az ez ez Az
r
z r cos
y
o
x
r x2 y2 z2
x
cos1
z
sin1
x2 y2 z2
x2 y2 x2 y2 z2
tg 1
y
sin 1
y
cos1
x
x
x2 y2
x2 y2
(x, y, z)
M (,, z)
z (r, ,)
y
1 – 1 三种常用的坐标系
第一章 矢量分析
3 柱坐标系与球坐标系的关系
1 – 1 三种常用的坐标系
第一章 矢量分析
1 – 1 三种常用的坐标系
第一章 矢量分析
标量场（）和矢量场（A）
y
y
x
x
以浓度表示的标量场
以箭头表示的矢量场A
1 – 1 三种常用的坐标系
一 常用坐标系
1 直角坐标系
空间任意点 M x1, y1, z1
其坐标的单位矢量 e x , e y , e z
z
r sin
z r cos
r 2 z2
sin1
cos1
2 z2
o
x
x
z
2 z2
(x, y, z)
M (,, z)
r z (r, ,)
y
y
1 – 1 三种常用的坐标系
第一章 矢量分析
三 三种坐标系的坐标单位矢量之间的关系
（一）直角坐标系与柱坐标系的关系
e cos
e
同理可得，在球坐标系下得位置矢量表达式为
A rer
可见，位置矢量在不同坐标系下得表达式是不同的.
1 – 1 三种常用的坐标系
第一章 矢量分析
例3试判断下列矢量场 E 是否是均匀矢量场：
1.柱坐标系中 E = E1 sin e E1 cos e E2 ez ,其中
E1, E2 都是常数。
2.在球坐标系中 E = er E0 ,其中 E0 是常数。 解1.
sin
ez 0
sin cos
0
0 ex
0
e
y
1 ez
ex cos
e
y
sin
ez 0
sin cos
0
0 e
0
e
Байду номын сангаас
1 ez
1 – 1 三种常用的坐标系
第一章 矢量分析
（二）柱坐标系与球坐标系的关系
er sin 0 cos e
e
cos
0
sin
e
e 0 1 0 ez
2 柱坐标系
柱坐标系中的三个坐标变量是
,,z
过空间任意点 M ,, z 的坐标
单位矢量为e e, e, z ,它们相
互正交，而且遵循右手螺旋法则
e e ez
第一章 矢量分析
1 – 1 三种常用的坐标系
第一章 矢量分析
在点 M ,, z处沿 e , e , ez
方向的长度元分别是：
dl d dl d dlz dz
将上式综合起来，写成简明矩阵形式为
Ax cos
Ay
sin
Az 0
sin cos
0
0 A
0
A
1 Az
1 – 1 三种常用的坐标系
第一章 矢量分析
例2写出空间任一点在直角坐标系下的位置 矢量表达式，然后将此位置矢量转换成在柱坐标 系和球坐标系下的矢量。
解在空间任一点 P(x, y, z) 的位置矢量为
e sin
e
0
ez cos
cos 0
sin
0 er
1
e
0 e
1 – 1 三种常用的坐标系
第一章 矢量分析
（三）直角坐标系与球坐标系的关系
er sin cos
e
cos
cos
e sin
sin sin cos sin
cos
cos ex
sin
e
y
A xex yey zez
利用例1-1中的结论，得
A x cos y sin A x sin y cos
Az z
1 – 1 三种常用的坐标系
第一章 矢量分析
代入 x cos , y sin ,得
A
A 0
Az z
于是，位置矢量在柱坐标系下得表达式为
A e zez
面积元分 ds dldlz ddz
别是: ds dldlz d dz
x
dsz dldl d d
z
ez
x1
e
M
e
z
o
x1 d
y
x1
d
体积元： dV dl dl dlz d ddz
1 – 1 三种常用的坐标系 3 球坐标系
球坐标系中的三个坐标
变量是 r , , 过空间任意点 M r,, 的
r sin
er
x1
o
e
d
e
rd
r sin d
y
ds dlrdl r sin drd x
ds dlrdl rdrd
体积元： dV dlrdl dl r2 sindrdd
1 – 1 三种常用的坐标系
第一章 矢量分析
二 三种坐标系的坐标变量之间的关系
1 直角坐标系与柱坐标系的关系 z
x cos
相互正交，而且遵循右手螺旋
法则
ex ey ez
在直角坐标系内的任一 矢量可表示为
A Ax ex Ay ey Az ez
第一章 矢量分析
1 – 1 三种常用的坐标系
各个面的面积元
dsx dydz dsy dxdz dsz dxdy
体积元
dV dxdydz
第一章 矢量分析
1 – 1 三种常用的坐标系
0 ez
ex sin cos
e
y
sin
sin
ez cos
cos cos cos sin
sin
sin er
cos
e
0 e
1 – 1 三种常用的坐标系
第一章 矢量分析
例1如果有一矢量在柱坐标系下的表达式为 A Ae Ae Az ez ,试求出它在直角坐标系下 的各分量大小。