第三章 期权敏感性（希腊字母）顾名思义，期权敏感性是指期权价格受某些定价参数的变动而变动的敏感 程度，本章主要介绍期权价格对其四个参数（标的资产市场价格、到期时间、波动率和无风险利率）的敏感性指标，这些敏感性指标也称作希腊值（Greeks ）。

每一个希腊值刻画了某个特定风险，如果期权价格对某一参数的敏感性为 零，可以想见，该参数变化时给期权带来的价格风险就为零。

实际上，当我们 运用期权给其标的资产或其它期权进行套期保值时，一种较常用的方法就是分 别算出保值工具与保值对象两者的价值对一些共同的变量（如标的资产价格、 时间、标的资产价格的波动率、无风险利率等）的敏感性，然后建立适当数量 的证券头寸，组成套期保值组合，使组合中的保值工具与保值对象的价格变动 能相互抵消，也就是说让套期保值组合对该参数变化的敏感性变为零，这样就 能起到消除相应风险的套期保值的目的。

本章将主要介绍 Delta 、Gamma 、Vega 、Theta 、Rho 五个常用希腊字母。

符号风险因素 量化公式Gamma Γ标的证券价格变化 Delta 变化/标的证券价格变化 Vega ν波动率变化 权利金变化/波动率变化Theta Θ到期时间变化 权利金变化/到期时间变化 本章符号释义：T 为期权到期时间S 为标的证券价格， S 0 为标的证券现价， S T 为标的证券行权时价格K 为期权行权价格σ 为标的证券波动率r 为无风险利率π t 为资产组合在 t 时刻的价值N () 为标准正态分布的累积密度函数，可以查表或用计算机(如 Excel)求得N()为标准正态分布的密度函数，N()=-x2''2第一节Delta（德尔塔，∆）1.1定义Delta衡量的是标的证券价格变化对权利金的影响，即标的证券价格变化一个单位，权利金相应产生的变化。

新权利金=原权利金+Delta×标的证券价格变化1.2公式从理论上，Delta准确的定义为期权价值对于标的证券价格的一阶偏导。

∆=∂期权价值∂S根据Black-Scholes期权定价公式，欧式看涨期权的Delta公式为：∆=N(d1)（3.1）看跌期权的Delta公式为：∆=N(d1)-1（3.2）其中d1=（3.3）N()为标准正态分布的累积密度函数，可以查表或用计算机(如Excel)求得。

显然，看涨期权与看跌期权的Delta只差为1，这也正好与平价关系互相呼d 1 == = -0.1879 Delta 应。

案例3.2 有两个行权价为1.900的上证50ETF 期权，一个看涨一个看跌，离期权到期还有6个月。

此时上证50ETF 价格为1.800元，无风险利率为3.5%， 波动率为20%。

则：ln(S K ) + (r + σ 2 2)T ln(1.8 1.9) + (0.035 + 0.2022) ⨯ 0.5 σ T 0.20 0.5Delta 看涨期权 =N (d 1)=N (-0.1879)=0.42551.3 性质 看跌期权 =N (d 1) -1=N (-0.1879) -1=-0.57451) 期权的Delta 取值介于-1到1之间。

也就是说标的证券价格变化的速度快于期权价值变化的速度。

2) 看涨期权的Delta 是正的；看跌期权的Delta 是负的。

对于看涨期权，标的证券价格上升使得期权价值上升。

对于看跌期权，标的证券价格上升使得期权价值下降。

图 3-13) 随标的价格的变化：对于看涨期权，标的价格越高，标的价格变化对期权价值的影响越大。

对于看跌期权，标的价格越低，标的价格变化对期权价值的影响越大。

也就是说越是价内的期权，标的价格变化对期权价值的影响越大；越是价外的期权，标的价格变化对期权价值的影响越小。

图3-24)Delta随到期时间的变化：看涨期权：价内看涨期权（标的价格>行权价）Delta收敛于1平价看涨期权（标的价格=行权价）Delta收敛于0.5价外看涨期权（标的价格<行权价）Delta收敛于0看跌期权：价内看跌期权（标的价格<行权价）Delta收敛于-1平价看跌期权（标的价格=行权价）Delta收敛于-0.5价外看跌期权（标的价格>行权价）Delta收敛于0图 3-3第二节 Gamma(伽马， Γ )2.1 定义在第一节里我们用Delta 度量了标的证券价格变化对权利金的影响，当标的 证券价格变化不大时，这种估计是有效的。

然而当标的证券价格变化较大时，仅仅使用Delta 会产生较大的估计误差，此时需要引入另一个希腊字母Gamma 。

Gamma 衡量的是标的证券价格变化对 Delta 的影响，即标的证券价格变化 一个单位，期权 Delta 相应产生的变化。

新 Delta=原 Delta+Gamma ×标的证券价格变化Gamma 同时也间接度量了标的证券价格变化对权利金的二阶影响。

新权利金=原权利金+Delta ×标的价格变化+1/2×Gamma ×标的价格变化 22.2 公式从理论上，Gamma 的定义为期权价值对于标的证券价格的二阶偏导。

Gamma = ∂2期权价值∂2SGamma 衡量了 Delta 关于标的资产价格的敏感程度。

当 Gamma 比较小时，d 1 = = = -0.1879=跌期权e-d 1 2e -(-0.1879) 2Delta 变化缓慢，这时为了保证 Delta 中性所做的交易调整并不需要太频繁。

但 是当 Gamma 的绝对值很大时，Delta 对标的资产变动就很敏感，为了保证 Delta 中性，就需要频繁的调整。

根据 Black -Scholes 公式，对于无股息的欧式看涨与看跌期权的 Gamma 公式如下：Γ = N '(d 1)S σ T(3.4)其中， d 1 由式（3.3）给出， N ' (•) 为标准正态分布的密度函数。

在参数相同时，看涨期权、看跌期权的 Gamma 是相同的。

案例3.4 有两个行权价为1.900元的上证50ETF 期权，一个看涨一个看跌，离期权到期还有6个月。

此时上证50ETF 价格为1.800元，无风险利率为 3.5%，上证50ETF 波动率为20%。

则ln(S K ) + (r + σ 2 2)T ln(1.8 1.9) + (0.035 + 0.2022) ⨯ 0.5 σ T 0.20 0.5Gamma 看涨期权看 Gamma =N ' (d 1) S σ T= 2 2 = = 1.540 S 0σ 2πT 1.800 ⨯ 0.20 ⨯ 2π ⨯ 0.52.3 性质1） 期权的Gamma 是正的。

标的证券价格上涨，总是使期权的Delta 变大。

σ 2π T图 3.42） Gamma 随标的价格的变化：当 S = Ke -(r +3σ22)T时，Gamma 取得最大值 Ke-(r +σ 2)T 。

图 3.53）Gamma 随到期时间的变化：平价期权（标的价格等于行权价）的Gamma 是单调递增至无穷大的。

非平 价期权的Gamma 先变大后变小，随着接近到期收敛至0。

图 3.64)Gamma随波动率的变化：波动率和Gamma最大值呈反比，波动率增加将使行权价附近的Gamma减小，远离行权价的Gamma增加。

图 3.7第三节Vega(维嘉,υ)3.1定义Vega衡量的是标的证券波动率变化对权利金的影响，即波动率变化一个单位，权利金应该产生的变化。

新权利金=原权利金+Vega⨯波动率变化案例3.5有一个上证50ETF看涨期权，行权价为1.900元，期权价格为0.073元，还有6个月到期。

此时上证50ETF价格为1.800元，无风险利率为3.5%，上证50ETF波动率为20%。

Vega为0.4989。

在其他条件不变的情况下，如果上证50ETF的波动率变为21%，即增加了1%，则期权理论价格将变化为0.073+0.4989⨯(0.21-0.20)=0.073+0.4989⨯0.01=0.078元3.2公式从理论上，Vega 准确的定义为期权价值对于标的证券波动率的一阶偏导。

Vega = ∂期权价值∂σ根据Black -Scholes 理论进行定价，则Vega = S ' (d 1)(3.5)其中， d 1 由式（3.3）给出， N ' (•) 为正态分布的密度函数。

在参数相同时，看涨期权、看跌期权的 Vega 是相同的。

3.3 性质1） 期权的 Vega 是正的。

波动率增加将使得期权价值更高，波动率减少将降低期权的价值。

图 3.8 2）Vega随标的价格的变化：当S=Ke-(r-σ22)T时，Vega取得最大值Ke-rT T2π。

在行权价附近，波动率对期权价值的影响最大。

图 3.93）Vega随到期时间的变化：Vega随期权到期变小。

期权越接近到期，波动率对期权价值的影响越小。

图 3.10第四节Theta（西塔，Θ）4.1定义Theta衡量的是到期时间变化对权利金的影响，即到期时间过去一个单位，权利金应该产生的变化。

新权利金=原权利金+Theta⨯流逝的时间案例3.7有一个上证50ETF看涨期权，行权价为1.900元，期权价格为0.073元，还有6个月到期。

此时上证50ETF价格为1.800元，无风险利率为3.5%，上证50ETF波动率为20%。

Theta为-0.1240。

在其他条件不变的情况下，如果离行权日只有5个半月了，即流逝了半个月的时间（0.0833），则期权理论价格将变化为0.073-0.1240⨯(0.0833)=0.073-0.010=0.063元4.2公式从理论上，Theta的定义为期权价值对于到期时间变化的一阶偏导。

Theta=-∂期权价值∂T根据Black-Sholes理论进行定价，则SN'(d1)σSN'(d1)σTheta看涨期权=rKe-rT N(d2)（3.6）Theta看跌期权=rKe-rT N(-d2)（3.7）其中，d1=，d2=，N(•)为标准正态分布的累积密度函数，N'(•)为标准正态分布的密度函数。

4.3性质1）看涨期权的Theta是负的；看跌期权的Theta一般为负的，但在价外严重的情况下可能为正。

因此通常情况下，越接近到期的期权Theta值越小。

图 3.112）随标的价格的变化：在行权价附近，Theta的绝对值最大。

也就是说在行权价附近，到期时间变化对期权价值的影响最大。

图 3.123）Theta随到期时间的变化：平价期权（标的价格等于行权价）的Theta是单调递减至负无穷大。

非平价期权的Theta将先变小后变大，随着接近到期收敛至0。

因此随着期权接近到期，平价期权受到的影响越来越大，而非平价期权受到的影响越来越小。