Байду номын сангаас
dS dt dz S
几何布朗运动的离散形式
S t t S
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
几何布朗运动的基本特征： 在短时间 t 后，证券价格比率的变化值
S t t S
S 因此： S
S S
为：
也具有正态分布特征，其均值为 t ， 方差为 2 t ，标准差为 t
二、布朗运动
对普通布朗运动的理解：

d xa d t b d z
x at b t 遵循普通布朗运动的变量x是关于时间和dz的动态过 程
第一项adt为确定项，它意味着x的期望漂移率是每单位时
间为a 第二项bdz是随机项，它表明对x的动态过程添加的噪音。 这种噪音是由维纳过程的b倍。


普遍以随机过程来描述证券价格的变化过程。 期权的价值是来源于签订合约时，未来标的资产价格与合 约执行价格之间的预期差异变化 在现实中，资产价格总是随机变化的。
第一节 证券价格的变化过程
标 准 布 朗
二、布朗运动(Brownian Motion) ——维纳过程 运 动 设 t 代表一个小的时间间隔长度， z 代表变量z在 t 时间内的变化，遵循标准布朗运动的 z 具有两种特 征： z t 特征1： z 和 t 的关系满足：
S S

思考：
一 个 投 资 者 以 100 元 的 价 格 买 入 股 票 ，
首先获得 10% 的收益然后再损失 10% ，看上 去不赔不赚
但是，具体情况如何呢？
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
dS dt dz S
S t t S
章布莱克-舒尔斯期权定价模型
节证券价格的变化过程 节布莱克-舒尔斯期权定价模型
节期权定价中的希腊字母

Black-Scholes期权定价模型的基本思路：
相对定价法：期权是衍生工具，其价格波动的来源就是
标的资产价格的变化，期权价格受到标的资产价格的影 响。
标的资产价格的变化过程是一个随机过程。因此，期权
( ) z ( 0 ) 表示变量z在T中的变化量，可以看作N个 以 zT 长度为 t 的小时间间隔中z的变化总量，其中 NT / t，
因此：
zT ( )z ( 0 ) t i
i 1
N
z也具有正态分布特征，均值为0，方差为T，标准差为
T
。
第一节 证券价格的变化过程
二、布朗运动 普
(m, s) 表示均值为m ，标准差为s的正态分布
S 即： ~ ( t, t) S
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
对几何布朗运动的理解：

但是，在一个较长的时间T后， 不再具有正态分 布的性质：这是百分比多期收益率的乘积问题。 因此，尽管 t 是短期内股票价格百分比收益率 的标准差，但是在任意时间长度T后，这个收益率 的标准差却不再是 T 。
价格变化也是一个相应的随机过程。
在股票价格遵循的随机过程和衍生证券价格遵循的随机
过程中，Black-Scholes发现，由于它们都只受到同一种 不确定性的影响，如果通过买入和卖空一定数量的衍生 证券和标的证券，建立一定的组合，可以消除这个不确 定性，从而使整个组合只获得无风险利率。从而得到一 个重要的方程：Black-Scholes微分方程。

通
布
朗
运
动
变量X遵循普通布朗运动：
d x a d tb d za d tb d t
a和b均为常数，dz遵循标准布朗运动。 漂移率a：单位时间内变量z均值的变化值。 方差率b2：单位时间的方差


普通布朗运动的离差形式
x at b t
第一节 证券价格的变化过程
求解这一方程，就得到了期权价格的解析解。
第一节 证券价格的变化过程
一、随机过程

随机过程（Stochastic Process）：
用来描述一个随机变量随时间变化的过程。 根据时间是否连续和变量取值范围是否连续，随机过程可
以做如下的划分：
时间的连续性 离散时间随机过程 连续时间随机过程 变量取值范围的连续性 离散变量随机过程 连续变量随机过程

其中，

代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1.0 的正态分布）中取的一个随机值。
特征2：对于任何两个不同时间间隔 t ， z 的值 相互独立。
当 t 0时，得到极限的标准布朗运动： dz
dt
第一节 证券价格的变化过程
二、布朗运动
对标准布朗运动的理解： z 本身具有正态分布特征，均值为0，方差为 t ， 标准差为 t 。 标准布朗运动是马尔可夫过程的特殊形式。 遵循布朗运动的变量z在时间T中的变化：

基本假设：证券价格的变化过程可以用漂移率为 S 、 方差率为 2 S 2 的伊藤过程来表示：
d S S d t S d z
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程 几 何 布 朗 运 动
：证券在单位时间内的连续复利的期望收益率 2 ：证券收益率单位时间的方差 ：证券价格的波动率（Volatility） d z ：遵循标准布朗运动
d x a ( x , t ) d tb ( x , t ) d z
dz是一个标准布朗运动 a、b是变量x和t的函数 变量x的漂移率为a，方差率为b2。

第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程

目的：在研究证券价格变化过程的时候，找到一个 合适的随机过程表达式，来尽量准确地描述证券价 格的变动过程，同时尽量实现数学处理上的简单性。
在任意时间长度T后，x值的变化也具有正态分布特 征，其均值为aT，方差为 b 2 T ，标准差 b T 。 标准布朗运动的漂移率a为0，方差率为1。

第一节 证券价格的变化过程
三、伊藤过程
伊藤过程 ( Ito Process )

假设变量x的漂移率和方差率是变量x和时间t的函数
d xa d t b d z