高考微点四 数学素养与数学文化牢记“大师经典”，避免卡壳1.数列、算法中的数学文化(1)抽象数列模型；(2)算法中数学文化，关键在于读懂程序框图. 2.几何与三角中的数学文化(1)熟悉传统文化经典；(2)感恩数学文化先贤. 3.概率统计与推理证明中融合的数学文化.提升“数学核心素养”，快速抢分1.直观想象、数学运算2.数学抽象、逻辑推理3.数学建模、数据分析高效微点训练，完美升级1.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中把三角形的田称为“圭田”，把直角梯形的田称为“邪田”，称底是“广”，称高是“正从”，“步”是丈量土地的单位.现有一邪田，广分别为十步和二十步，正从为十步，其内有一块广为八步，正从为五步的圭田.若在邪田内随机种植一株茶树，该株茶树恰好种在圭田内的概率为( ) A.215 B.25 C.415D.15解析 由题意可得邪田的面积S ＝12×(10＋20)×10＝150，圭田的面积S 1＝12×8×5＝20，则所求的概率p ＝S 1S ＝20150＝215. 答案 A2.我国古代数学名著《九章算术》在“勾股”一章中有如下数学问题：“今有勾八步，股十五步，勾中容圆，问径几何？”.意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是8步和15步，则其内切圆的直径是多少步？则此问题的答案是( ) A.3步 B.6步 C.4步D.8步解析 由于该直角三角形的两直角边长分别是8和15，则得其斜边长为17， 设其内切圆半径为r ，则有12×(8＋15＋17)r ＝12×8×15(等积法). 解得r ＝3，故其直径为6步. 答案 B3.(2019·郑州模拟)数列{F n }：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入的，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和.记数列{F n }的前n 项和为S n ，则下列结论正确的是( ) A.S 2 019＝F 2 021－1 B.S 2 019＝F 2 021＋2 C.S 2 019＝F 2 020－1D.S 2 019＝F 2 020＋2解析 根据题意有F n ＝F n －1＋F n －2(n ≥3)，所以S 3＝F 1＋F 2＋F 3＝1＋F 1＋F 2＋F 3－1＝F 3＋F 2＋F 3－1＝F 4＋F 3－1＝F 5－1， S 4＝F 4＋S 3＝F 4＋F 5－1＝F 6－1， S 5＝F 5＋S 4＝F 5＋F 6－1＝F 7－1，…， 所以S 2 019＝F 2 021－1. 答案 A4.古希腊数学家阿波罗尼斯在他的著作《圆锥曲线论》中记载了用平面切割圆锥得到圆锥曲线的方法.如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的轴重合)，已知两个圆锥的底面半径均为1，母线长均为2，记过圆锥轴的平面ABCD 为平面α(α与两个圆锥侧面的交线为AC ，BD )，用平行于α的平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的交线即双曲线Γ的一部分，且双曲线Γ的两条渐近线分别平行于AC ，BD ，则双曲线Γ的离心率为( )A.233B. 2C. 3D.2解析 设与平面α平行的平面为β，以AC ，BD 的交点在平面β内的射影为坐标原点，两圆锥的轴在平面β内的射影为x 轴，在平面β内与x 轴垂直的直线为y 轴，建立平面直角坐标系.根据题意可设双曲线Γ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0).由题意可得双曲线Γ的渐近线方程为y ＝±33x ，即b a ＝33，所以离心率e ＝c a ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝233. 答案 A5.《庄子·天下篇》中记述了一个著名命题：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”反映这个命题本质的式子是( )A.1＋12＋122＋…＋12n ＝2－12nB.1＋12＋122＋…＋12n ＋…<2 C.12＋122＋…＋12n ＝1 D.12＋122＋…＋12n ＋…<1解析 抽象出等比数列求和，且无穷项之和小于1，则12＋122＋123＋…＋12n ＋…<1. 答案 D6.(2019·石家庄调研)宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为5，2，则输出的n 等于( )A.2B.3C.4D.5解析 当n ＝1时，a ＝152，b ＝4，满足进行循环的条件， 当n ＝2时，a ＝454，b ＝8，满足进行循环的条件， 当n ＝3时，a ＝1358，b ＝16，满足进行循环的条件，当n ＝4时，a ＝40516，b ＝32，不满足进行循环的条件，退出循环. 故输出的n 值为4. 答案 C7.《张邱建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾(注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布)，第一天织5尺布，现一月(按30天计)共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织布的尺数为( ) A.12 B.1629 C.1631D.815解析 依题意设每天多织d 尺，依题意得S 30＝30×5＋30×292d ＝390，解得d ＝1629.答案 B8.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( ) A.134石 B.169石 C.338石D.1 365石解析 由系统抽样的含义，该批米内夹谷约为28254×1 534≈169(石). 答案 B9.(2019·百校联盟TOP20联考)中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他活动的民间艺术，在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分.在如图所示的古代正八边形窗花矢量图片中，AB BC ＝22，则向正八边形窗花矢量图片中任投一点，落在正方形DEFG 中的概率为( )A.22－12B.22－14C.2－12D.2－14解析 设AB ＝1，则BC ＝2，根据对称性可知，落在正方形DEFG 中的概率为12＋1）2－12×2×2＝2－12.答案 C10.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为( ) A.128π平方尺 B.138π平方尺 C.140π平方尺D.142π平方尺解析 由题意构造一个长方体，其长、宽、高分别为7尺、5尺、8尺， 则这个四棱锥的外接球就是这个长方体的外接球， 所以这个四棱锥的外接球的半径R ＝72＋52＋822＝1382(尺)，所以这个四棱锥的外接球的表面积为4πr 2＝138π(平方尺). 答案 B11.(2019·西安模拟)数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读.数学中有回文数，如343，12 521等，两位数的回文数有11，22，33，…，99共9个，则三位数的回文数中，偶数的概率是( ) A.19B.49C.110 D.910解析三位数的回文数为ABA，A共有1到9共9种可能，即1B1，2B2，3B3，…，B共有0到9共10种可能，即A0A，A1A，A2A，A3A，…，共有9×10＝90(个).其中偶数为A是偶数，共4种可能，即2B2，4B4，6B6，8B8，B共有0到9共10种可能，即A0A，A1A，A2A，A3A，…，共有4×10＝40(个)，∴三位数的回文数中，偶数的概率p＝4090＝49.答案 B12.(2019·成都诊断)图(1)为陕西历史博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细工的典范之作.该杯型几何体的主体部分可近似看作是双曲线C：x2 3－y29＝1的右支与直线x＝0，y＝4，y＝－2围成的曲边四边形MABQ绕y轴旋转一周得到的几何体，如图(2).N，P分别为C的渐近线与y＝4，y＝－2的交点，曲边五边形MNOPQ绕y轴旋转一周得到的几何体的体积可由祖暅原理(祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是，如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等)求得.据此，可求得该金杯的容积是________(杯壁厚度忽略不计).解析由题意得双曲线C的渐近线方程为y＝±3x.令y＝m(－2≤m≤4)，如图，记直线y＝m与y轴、渐近线、双曲线C的右支的交点分别为D，E，F，线段EF绕y轴旋转一周得一圆环.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝m y ＝3x ，得x ＝3m 3， ∴|DE |2＝m 23.由⎩⎨⎧x 23－y 29＝1，y ＝m得x 2＝3＋m 23，∴|DF |2＝3＋m 23，∴|DF |2－|DE |2＝3， ∴所得圆环的面积为3π.由祖暅原理知曲边五边形MNOPQ 旋转一周所得几何体的体积等于底面积为3π，高为6的圆柱的体积，即18π.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4y ＝3x ，得x ＝433，∴|AN |＝433. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2y ＝－3x ，得x ＝233，∴|BP |＝233. ∴Rt △OAN 绕y 轴旋转一周所得圆锥的体积为13π×⎝⎛⎭⎪⎫4332×4＝64π9， Rt △OBP 绕y 轴旋转一周所得圆锥的体积为13π×⎝⎛⎭⎪⎫2332×2＝8π9. 故金杯的容积为64π9＋8π9＋18π＝26π. 答案 26π13.(2019·重庆调研)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也.又以高乘之，三十六成一.”该术相当于给出了由圆锥的底面周长l 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136l 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈7264l 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为________.解析 设圆锥的底面半径为r ，则 V ＝13πr 2h ≈7264l 2h ＝7264(2πr )2h ，得π≈227. 答案 22714.黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1p ，当x ＝q p （p ，q 为整数，q p 为既约真分数），0，当x ＝0，1或[0，1]上的无理数.若f (x )是定义在R 上且最小正周期为1的函数，当x ∈[0，1]时，f (x )＝R (x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫173＋f (lg 20)＝________.解析 由函数的最小正周期为1可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫173＋f (lg 20)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋23＋f (lg 2＋1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋f (lg 2)＝13＋0＝13.答案 1315.刘徽是我国魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”.所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法.如图所示，圆内接正十二边形的中心为圆心O ，圆O 的半径为2，现随机向圆O 内投放a 粒豆子，其中有b 粒豆子落在正十二边形内(a ，b ∈N *，b <a )，则圆周率的近似值为________.解析 依题意可得360°12＝30°，则正十二边形的面积为12×12×2×2×sin 30°＝12.又圆的半径为2，所以圆的面积为4π，现向圆内随机投放a 粒豆子，有b 粒豆子落在正十二边形内，根据几何概型可得124π＝b a ，则π＝3a b . 答案 3ab16.(2019·广州调研)中国诗词大会第三季总决赛如期举行，依据规则，本场比赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手中的一位有机会夺冠，某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现，结合自己的判断，对本场比赛的冠军进行了如下猜测，爸爸：冠军是甲或丙；妈妈：冠军一定不是乙和丙；孩子：冠军是丁或戊.比赛结束后发现：三人中只有一个人的猜测是对的，那么冠军是________.解析若甲是冠军，则爸爸，妈妈的猜想都正确，不合题意.若乙是冠军，则三人猜想都是错误的，与已知矛盾.若丙是冠军，则只有爸爸猜想正确，符合题意.若丁(或戊)是冠军，则妈妈与孩子的猜想均正确，不合题意.因此，冠军只能是丙.答案丙。