欧阳光中《数学分析》笔记和考研真题详解
第21章重积分
21.1复习笔记
一、矩形上的二重积分
1．矩形的分划P
（1）矩形的分划P的定义
设是内的一个闭矩形，即
用平行于轴和平行于轴的两组直线
将矩形A分划为个子矩形，记
称P为矩形A的一个分划．
（2）分划P的长度的定义
矩形A分划为个子矩形后，
记称为分划P的长度．直线及称为分线．
2．矩形A上的积分定义
（1）矩形A上的和
设定义于矩形A．在每个子矩形内任取一点作和
式中是子矩形的面积．
（2）可积
①可积定义
对于矩形A上的和，若满足当如果极限存在，并且此极限与A的分
划无关，又与点在内的选取无关，则称二元函数在闭矩形A上可积（简称（R）可积或可积）．记为
或者简单记为称它是函数在A上的二重积分，即
其中是被积函数，A是积分区域．
②语言定义
若存在一个数对对一切分划P，只要不等式
对一切都成立，则称为在A上的二重积分，并记
注意：当在A上可积时，在A上必有界．
（3）大（小）和
记
作下列和式，它们显然与分划P有关：
分别称和是函数在A上相应于分划P的大和与小和．
（4）大（小）和的相关性质
①加入新分线后，大和不增，小和不减；
②每增加一分线，大和与小和的变动值不大于这里
③任何一个大和不小于任一个小和，即对任两个分划，必成立
3．二重积分的几何意义
设是定义在闭矩形A上的一个非负连续函数，那么二重积分
表示以曲面为顶、以矩形A为底面的柱体（即曲顶柱体）的体积．如图21-1．
图21-1
4．可积充要条件
（1）定理
设定义于矩形则于A上可积，等价于当分划
时，振幅体积
也等价于一个振幅体积
这里是在子矩形上的振幅．
（2）推论
①可积函数必有界；
②连续函数于必可积；
③不连续点有限的有界函数于也可积．
5．零（测度）集
（1）平面内的零测度集定义：
设S是内的一个点集，如果对任意的存在可列个开矩形使
得：
①开矩形集覆盖了S，即；
②若，其中是的面积，
则称S是内的一个零测度集（二维），简称（二维）零集．
（2）零测度集的性质
①性质1
设S是零测度集，则S的任意一个子集也是零测度集．
②性质2
平面上的任何可列集必是零测度集．
③性质3
设是平面上的一列零测度集，则并集也是平面上的零测度集．即
可列无穷多个零测度集的并集也是零测度集．
6．Lebesgue定理
（1）Lebesgue定理
定义于闭矩形A上，于A上（R）可积的充分必要条件是在A上有界且几乎处处
连续．
（2）Lebesgue定理的推论
①推论1
闭矩形A上的连续函数必在A上可积．
②推论2
闭矩形A上只有有限个不连续点的有界函数必在A上可积．甚至，有界函数f的所有不连续点组成A内有限条可求长度的曲线，则f在A上可积．
7．可积函数的性质
（1）线性性
设函数和都在闭矩形A上可积，则是两个实数也在A上可积，并且有
（2）可加性
设函数在闭矩形A上可积，又设A可以分解为个子矩形的并，并且
任何两个子矩形之间除了边界可能相交外，其内部不相交，则在每一个
上可积．反之亦然，即如果在每一个上可积，则在A上可积，
并且有
（3）单调性
设函数f和g都在闭矩形A上可积，并且在A上有则
（4）绝对可积性
设函数f在闭矩形A上可积，则也在A上可积，并且有
注意：若在A上可积，不能断言f也在A上可积．
（5）乘积的可积性
设函数f，g都在闭矩形A上可积，则也在A上可积．
（6）积分中值定理
设函数f，g都在闭矩形A上可积，并且g在A上不变号，那么存在常数使
其中和M分别是函数f在A上的下确界和上确界．
特别地，当f在A上连续时，则存在点使
又若再加上g在A上恒等于1，那么
是矩形A的面积．
8．矩形上二重积分的计算
（1）定理（化二重积分为二次积分）
设：
①函数f在闭矩形上可积；
②对每一个固定的积分
存在，则在可积，并且
（2）推论。