2E J 1 E 2 t t
2
2H H J 2 t
2
2E J 1 E 2 t t
2
2H H J 2 t
2
由此可见，时变电磁场的场强与场源的关系比较复杂。为了简化求解过 程，引入标量位与矢量位作为求解时变电磁场的两个辅助函数将是行之 有效的。 已知 B 0 ，因此 B 可以表示为矢量场 A 的旋度，即可令
a x
b z
π H z H z 0 cos x sin( t k z z ) a
y
z
x
a
其坐标如图示。试求 波导中的位移电流分
g
x 电场线 b
布和波导内壁上的电
荷及电流分布。波导
磁场线
z
内部为真空。
y
解
①
由前式求得位移电流为
在理想导电体内部不可能存在时变电磁场及时变的传导电流，它
们只可能分布在理想导电体的表面。 E≠0 H≠0 E(t), B (t), J (t) = 0 J≠0 H≠0

J = E
E≠0
已知在任何边界上，电场强度的切向分量及磁感应强度的法向分
量是连续的，因此理想导体表面上不可能存在电场切向分量及磁场法

S
( J J d ) dS 0
引入位移电流以后，时变电流仍然是连续的。由于此时包括了传 导电流，运流电流及位移电流，因此，上式称为全电流连续性原理。 由定义可见，位移电流密度是电通密度的时间变化率，或者说是 电场的时间变化率。 在静电场中，由于 D 0 ，自然不存在位移电流。
t
E D H B 0 t t t t
那么，上述麦克斯韦方程变为前述的静电场方程和恒定磁场方程，电
场与磁场不再相关，彼此独立。
爱因斯坦（1879-1955）在他所著的“物理学演变”一书中关于麦
克斯韦方程的一段评述：“ 这个方程的提出是牛顿时代以来物理学上 的一个重要事件，它是关于场的定量数学描述，方程所包含的意义比 我们指出的要丰富得多。 在简单的形式下隐藏着深奥的内容，这些内容 只有仔细的研究才能显示出来，方程是表示场的结构的定律。它不像 牛顿定律那样，把此处发生的事件与彼处的条件联系起来，而是把此 处的现在的场只与最邻近的刚过去的场发生联系。 假使我们已知此处 的现在所发生的事件，藉助这些方程便可预测在空间稍为远一些，在 时间上稍为迟一些所发生的事件”。
3. 时变电磁场的边界条件 适合静态场的各种边界条件原则上可以直接推广到时变电磁场。 第一，在任何边界上电场强度的切向分量是连续的，即
E1t E2t
或写成矢量形式
en ( E2 E1 ) 0
②
①
en
因为只要磁感应强度的时间变化率是有限的，那么由电磁感应定 律的积分形式
E dl
向分量，即时变电场必须垂直于理想导电体的表面，而时变磁场必须 与其表面相切。
en
et
,
H
E H2t JS H1t
② ①
因 D1n 0 ，由前式得
D2n S
或
en D S
由于理想导电体表面存在表面电流 Js ，设表面电流密度的方向与 积分回路构成右旋关系，因 H1t 0，求得
对于各向同性的线性介质，上式又可写为
1E1n 2 E2n
第四，磁场强度的切向分量边界条件也与媒质特性有关。 在一般情况下，由于边界上不可能存在表面电流，根据全电流定 律，只要电通密度的时间变化率是有限的，可得
H1t H 2t
或写成矢量形式
en ( H 2 H1 ) 0
在理想导电体表面上可以形成表面电流，此时磁场强度的切向分 量是不连续的。
一个十年中发生的美国内战 （1861-1865）将会降低为一个地区性
琐事而黯然失色”。
处于信息时代的今天，从婴儿监控器到各种遥控设备、从雷达到 微波炉、从地面广播电视到太空卫星广播电视、从地面移动通信到 宇宙星际通信、从室外无线局域网到室内蓝牙技术、以及全球卫星 定位导航系统等，无不利用电磁波作为传播媒体。 无线信息高速公路更使人们能在任何地点、任何时间同任何人取 得联系，发送所需的文本、声音或图象信息。电磁波的传播还能制 造一种身在远方的感觉，形成无线虚拟现实。 电磁波获得如此广泛的应用，更使我们深刻地体会到19世纪的麦 克斯韦和赫兹对于人类文明和进步的伟大贡献。
J dS 0
S
J 0
对于时变电磁场，因电荷随时间变化，不可能根据电荷守恒原理推 出电流连续性原理。但是电流连续是客观存在的物理现象，为此必须扩 充前述的电流概念。 真空电容器中通过的时变电流是什么？

S
不是由电子运动形成的传导电流或运流 电流，而是人为定义的位移电流。
静电场的高斯定律 D dS q 同样适用于时变电场。代入上述电 荷守恒定律，得
电场线与磁场线相互交链，自行闭合，从而在空间形成电磁波。
时变电场的方向与时变磁场的方向处处相互垂直。
为了完整地描述时变电磁场的特性，麦克斯韦方程还应包括电荷
守恒方程以及说明场量与媒质特性关系的方程，即
J t
D E
BH
J E J
式中 J 代表产生时变电磁场的电流源或非电的外源。 麦克斯韦方程组中各个方程不是完全独立的。可以由第 1、2 方程 导出第 3、4 方程，或反之。 对于不随时间变化的静态场，则
Jd
②
D π e y E y 0 sin x sin( t k z z ) t a
在 y = 0 的内壁上
S e y ( E y ) E y
J S e y ( H x H z ) e z H x e x H z
在 y = b 的内壁上
在时变电场中，电场变化愈快，产生的位移电流密度也愈大。 在电导率较低的媒质中， J d J c
在良导体中， J d J c
在时变电场中，由于位移电流存在，麦克斯韦认为位移电流也可产 生磁场，因此前述的安培环路定律变为
H dl
l
S
( J J d ) dS
H J D t
麦克斯韦方程除了对于科学技术的发展具有重大意义外，对于 人类历史的进程也起了重要作用。
正如美国著名的物理学家弗曼在他所著的“ 弗曼物理学讲义 ”
中写道“ 从人类历史的漫长远景来看──即使过一万年之后回头来
看──毫无疑问，在十九世纪中发生的最有意义的事件将判定是麦 克斯韦对于电磁定律的发现， 与这一重大科学事件相比之下， 同
H 2t J S
或
en H J S
例
已知内截面为a b 的矩形金属波导中的时变电磁场的各分量为
y
π E y E y 0 sin x cos( t k z z ) a π H x H x 0 sin x cos( t k z z ) a
即
H dl ( J
l S
D ) dS t
上两式称为全电流定律。它表明，时变磁场是由传导电流，运流电流以
及位移电流共同产生的。 已知位移电流是由时变电场形成的，由此可见，时变电场可以产生
时变磁场。 电磁感应定律表明，时变磁场可以产生时变电场。因此，麦克斯韦
引入位移电流概念以后，预见时变电场与时变磁场相互转化的特性可能 会在空间形成电磁波。
S S
B dS t
D ) dS t
H J
D t B E t B 0
D
可见，时变电场是有旋有散的，时变磁场是有旋无散的。但是，
时变电磁场中的电场与磁场是不可分割的，因此，时变电磁场是有旋 有散场。
在电荷及电流均不存在的无源区中，时变电磁场是有旋无散的。
A E t
式中 称为标量位。由此得
A E t
注意，这里的矢量位 A 及标量位 均是时间及空间函数。 当它们与时间无关时，矢量位 A 及标量位 与场量的关系和静 态场完全相同。因此矢量位 A 又称为矢量磁位，标量位 又称为标
量电位。
为了导出位函数与源的关系，根据位函数定义式及麦克斯韦方程，
第七章 时变电磁场
主 要 内 容 位移电流，麦克斯韦方程，边界条件，位函数，
能流密度矢量，正弦电磁场，复能流密度矢量。
1. 位移电流 位移电流不是电荷的运动，而是一种人为定义的概念。 电荷守恒原理表明
q J dS S t
原理，即
J
t
对于静态场，由于电荷分布与时间无关，因此获得电流连续性
l
S
B dS t
D t B E t
磁通连续性原理
高斯定律
B dS 0
S
B 0
D

S
D dS q
积分形式
微分形式
S
H dl ( J
l
E dl
l
S
B dS 0 D dS q
B A
式中 A 称为矢量位。将上式代入式 E
B 中，得 t
E
( A) t
上式又可改写为
A E 0 t
A E 为无旋场。因此它可以用一个标量 由此可见，矢量场 t 场 的梯度来表示，即可令
S e y ( E y ) E y
J S e y ( H x H z ) e z H x e x H z
在 x = 0 的侧壁上，H x 0
J S e x e z H z 0 sin( t k z z) e y H z 0 sin( t k z z)