2016年北京海淀高三二模数学试题及答案（word 版）北京市海淀区2016年高三二模试卷数学（理科） 2016.5一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知全集=U R ，{|1},{|2},M x x P x x =≤=≥ 则()UM P =A.{|12}x x <<B.{|1}x x ≥C.{|2}x x ≤D.{|12}x x x ≤≥或 2.在数列{}n a 中，12a =，且1(1)n n n a na ++=，则3a 的值为 A.5 B.6 C.7 D.83. 若点(2,4)P 在直线1,:3x t l y at=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）上，则a 的值为A.3B.2C.1D.1-4.在ABC ∆中，34cos ,cos ,55A B == 则sin()A B -=A.725-B.725C.925-D.9255.在5()x a +(其中0a ≠)的展开式中，2x 的系数与3x 的系数相同，则a 的值为 A.2- B.1- C. 1 D.26.函数()ln 1f x x x =-+的零点个数是A.1个B.2个C.3个D.4个 7. 如图，在等腰梯形ABCD 中，8,4,4AB BC CD ===. 点P 在 线段AD 上运动，则||PA PB +的取值范围是A.[6,4+B.C. D.[6,12] 8.直线1:10l ax y a+-=与,x y 轴的交点分别为,A B , 直线l 与圆22:1O x y +=的交点为,C D . 给出下面三个结论：① 11,2AOB a S ∆∀≥=； ②1,||||a AB CD ∃≥<；③11,2COD a S ∆∃≥<DCABP则所有正确结论的序号是 A.①② B.②③ C.①③ D.①②③二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9. 已知21i, ia =-+其中i 为虚数单位，a ∈R ，则a =__. 10.某校为了解全校高中同学五一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名同学，统计他们假期参加实践活动的时间, 绘成频率分布直方图（如图）. 则这100名同学中参加实践活动时间在6~10小时内的人数为 ___ .11. 如图，,,A B C 是O 上的三点，点D 是劣弧 B C 的中点，过点B 的切线交弦CD的延长线交BE 于点E . 若∠80BAC =，则__.BED ∠=12. 若点(,)P a b 在不等式组20,20,1x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩所表示的平面区域内，则原点O 到直线10ax by +-=距离的取值范围是__.b13.已知点πππ((,1),(,0)642A B C ，若这三个点中有且仅有两个点在函数()sin f x x ω=的图象上，则正数．．ω的最小值为___.14.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P Q R ，，分别是棱11111A A A B A D ，，的中点，以PQR ∆为底面作正三棱柱，若此三棱柱另一底面三个顶点也都在该正方体的表面上，则这个正三棱柱的高__h =.R QPD 1C 1B 1BCDA 1A三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

15. （本小题满分13分） 已知函数()2sin cos2f x x x =--. （Ⅰ）比较π()4f ，π()6f 的大小； （Ⅱ）求函数()f x 的最大值.16.（本小题满分13分）某家电专卖店试销A 、B 、C 三种新型空调，销售情况如下表所示：(Ⅰ)求A 型空调前三周的平均周销售量；(Ⅱ)根据C 型空调连续3周销售情况，预估C 型空调连续5周的平均周销量为10台.请问：当C 型空调周销售量的方差最小时， 求4C ，5C 的值； (注：方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-，其中x 为1x ，2x ，…，n x 的平均数)（Ⅲ）为跟踪调查空调的使用情况，根据销售记录，从该家电专卖店第二周和第三周售出的空调中分别随机抽取一台，求抽取的两台空调中A 型空调台数X 的分布列和数学期望.17.（本小题满分14分）如图，等腰梯形ABCD 中，AB CD ，DE AB ⊥于E ，CF AB ⊥于F ，且2AE BF EF ===，2DE CF ==.将AED ∆和BFC ∆分别沿DE 、CF 折起，使A 、B 两点重合，记为点M ，得到一个四棱锥M CDEF -，点G ，N ，H 分别是,,MC MD EF 的中点. （Ⅰ）求证：GH ∥平面DEM ； （Ⅱ）求证：EM CN ⊥；（Ⅲ）求直线GH 与平面NFC 所成的角的大小.18.（本小题满分14分）已知函数2()e ()x f x x ax a =++.（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若关于x 的不等式()e a f x ≤在[,)a +∞上有解，求实数a 的取值范围；(Ⅲ)若曲线()y f x =存在两条互相垂直的切线，求实数a 的取值范围.(只需直接写出结果)19. （本小题满分13分）已知点1122(,),(,)(A x y D x y 其中12)x x <是曲线24(0)y x y =≥上的两点，,A D 两点在x 轴上的射影分别为点,B C ,且||2BC =.（Ⅰ）当点B 的坐标为(1,0)时，求直线AD 的斜率；BFACDECE（Ⅱ）记OAD ∆的面积为1S ，梯形ABCD 的面积为2S ，求证：1214S S <.20.（本小题满分13分）已知集合{|(,,,,...,),{0,1}n i n i X X x x x x x Ω==⋯∈12，1,2}i n =⋯，，,其中3n ≥. (,,,,...,)i n n X x x x x ∀=⋯∈Ω12, 称i x 为X 的第i 个坐标分量. 若n S ⊆Ω，且满足如下两条性质：① S 中元素个数不少于4个；② ,,X Y Z S ∀∈，存在{1,2,}m n ∈⋯，，使得,,X Y Z 的第m 个坐标分量都是1； 则称S 为n Ω的一个好子集.（Ⅰ）若{,,,}S X Y Z W =为3Ω的一个好子集，且(1,1,0),(1,0,1)X Y ==，写出,Z W ； （Ⅱ）若S 为n Ω的一个好子集，求证：S 中元素个数不超过12n -；（Ⅲ）若S 为n Ω的一个好子集且S 中恰好有12n -个元素时，求证：一定存在唯一一个{1,2,...,}k n ∈，使得S 中所有元素的第k 个坐标分量都是1.海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案数学（理）答案 2016.5阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分，共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．解：（Ⅰ）因为()2sin cos2f x x x =--所以 πππ()2sincos2444f =--⋅=2分 πππ3()2sin cos26662f =--⋅=-…………………4分 因为 32>-,所以 ππ()()46f f >…………………6分 （Ⅱ）因为 2()2sin (12sin )f x x x =---…………………9分22sin 2sin 1x x =--2132(sin )22x =--令 sin ,[1,1]t x t =∈-， 所以2132()22y t =--,…………………11分 3因为对称轴12t =, 根据二次函数性质知，当 1t =-时，函数取得最大值3 …………………13分16解: (I)A 型空调前三周的平均销售量111015125x ++==台…………………2分（Ⅱ）因为C 型空调平均周销售量为10台，所以451051581215c c +=⨯---=…………………4分 又222222451[(1510)(810)(1210)(10)(10)]5s c c =-+-+-+-+- 化简得到22411591[2()]522s c =-+…………………5分 因为4c ∈N ，所以当47c =或48c =时，2s 取得最小值 所以当4578c c =⎧⎨=⎩ 或4587c c =⎧⎨=⎩时，2s 取得最小值…………………7分（Ⅲ）依题意，随机变量X 的可能取值为0,1,2，…………………8分20255(0)304012P X ==⋅=, 1025201511(1)+=3040304024P X ==⋅⋅, 10151(2)30408P X ==⋅=, …………………11分 随机变量X 的分布列为随机变量X 的期望511117()0121224824E X =⨯+⨯+⨯=.…………………13分17解:（Ⅰ）证明：连结NG NE ，.在MCD ∆中，因为,N G 分别是所在边的中点，所以1CD 2NG ，…………………1分 又1CD 2EH, 所以 NG EH , …………………2分所以NEHG 是平行四边形，所以EN GH ,…………………3分又EN ⊂平面DEM ，GH ⊄平面DEM , …………………4分 所以GH平面DEM . …………………5分（Ⅱ）证明：方法一：在平面EFCD 内，过点H 作DE 的平行线HP ， 因为,,DE EM DE EF ⊥⊥,EMEF E =所以DE ⊥平面EFM ,所以HP ⊥平面EFM ，所以HP ⊥EF .又在EMF ∆中，因为EM MF EF ==，所以MH EF ⊥.以H 为原点，,,HM HF HP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系…………………6分所以1(0,1,0),(0,1,2),,1)2E M C N --…………………7分 所以33(3,1,0),(,,1)2EM CN ==--， …………………8分 所以0EM CN ⋅=，所以EM CN ⊥. …………………9分 方法二：取EM 中点K ，连接,NK FK . 又NK 为EMD ∆的中位线，所以NK DE又DECF ，所以NK CF ，所以NKFC 在一个平面中. …………………6分因为EMF ∆是等边三角形，所以EM FK ⊥,又DE EM ⊥，所以NK EM ⊥, …………………7分 且NKFK K =，所以EM ⊥平面NKFC ， …………………8分而CN ⊂平面NKFC ,所以EM CN ⊥. …………………9分 （Ⅲ）因为(0,0,2)CF =-,所以0EM CF ⋅=, 即EM CF ⊥, 又CFCN C =, 所以EM ⊥平面NFC ，所以EM 就是平面NFC 的法向量. …………………11分又31(,1)2HG =，设GH 与平面NFC 所成的角为θ，则有312sin |cos ,|2||||HG EM HG EM HG EM θ+⋅=<>===13分 所以GH 与平面NFC 所成的角为π4.…………………14分18解: （Ⅰ）函数()f x 的定义域为R . 当1a =时，'()e (2)(1)x f x x x =++…………………2分当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：…………………4分函数()f x 的单调递增区间为(,2)-∞-，(1)-+∞，， 函数()f x 的单调递减区间为(2,1)--. …………………5分（Ⅱ）解：因为()e af x ≤在区间[,)a +∞上有解，所以()f x 在区间[,)a +∞上的最小值小于等于e a .因为'()e (2)()x f x x x a =++, 令'()0f x =,得122,x x a =-=-. …………………6分 当2a -≤-时，即2a ≥时，因为'()0f x >对[,)x a ∈+∞成立，所以()f x 在[,)a +∞上单调递增， 此时()f x 在[,)a +∞上的最小值为(),f a所以22()e ()e a a f a a a a =++≤， 解得112a -≤≤，所以此种情形不成立，…………………8分 当2a ->-，即2a <时，若0a ≥, 则'()0f x >对[,)x a ∈+∞成立，所以()f x 在[,)a +∞上单调递增， 此时()f x 在[,)a +∞上的最小值为(),f a 所以22()e ()e a a f a a a a =++≤， 解得112a -≤≤，所以102a ≤≤ . …………………9分 若0a <，若2a ≥-，则'()0f x <对(,)x a a ∈-成立，'()0f x >对[,)x a ∈-+∞成立. 则()f x 在(,)a a -上单调递减，在[,)a -+∞上单调递增，此时()f x 在[,)a +∞上的最小值为(),f a -所以有22()e ()e e a a a f a a a a a ---=-+=⋅≤，解得20a -≤<，………………10分 当2a <-时，注意到[,)a a -∈+∞,而22()e ()e e a a a f a a a a a ---=-+=⋅≤，此时结论成立. …………………11分 综上，a 的取值范围是1(,]2-∞. …………………12分法二：因为()e a f x ≤在区间[,)a +∞上有解， 所以()f x 在区间[,)a +∞上的最小值小于等于e a ，当0a ≤时，显然0[,)a ∈+∞，而(0)0e a f a =≤≤成立，…………………8分 当0a >时,'()0f x >对[,)x a ∈+∞成立，所以()f x 在[,)a +∞上单调递增， 此时()f x 在[,)a +∞上的最小值为()f a ，所以有22()e ()e a a f a a a a =++≤， 解得112a -≤≤，所以102a ≤≤.…………………11分 综上，1(,]2a ∈-∞.…………………12分 （Ⅲ）a 的取值范围是2a ≠.…………………14分19解：（Ⅰ）因为(1,0)B ，所以1(1,),A y代入24y x =，得到12y =，…………………1分又||2BC =，所以212x x -=，所以23x =，…………………2分代入24y x =，得到1y =3分所以21211AD y y k x x -===-. …………………5分 （Ⅱ）法一：设直线AD 的方程为y kx m =+. 则1211|()|||.2OMD OMA S S S m x x m ∆∆=-=-=…………………7分 由24y kx m y x=+⎧⎨=⎩, 得222(24)0k x km x m +-+=, 所以2221222122(24)41616042km k m km km x x k m x x k ⎧⎪∆=--=->⎪-⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩…………………9分 又21221121214()()2S y y x x y y kx m kx m k=+-=+=+++=,…………………11分 又注意到1204km y y =>，所以0,0k m >>， 所以12124S m km S y y ==+，…………………12分 因为16160km ∆=->，所以01km <<,所以12144S km S =<.…………………13分 法二：设直线AD 的方程为y kx m =+.由24y kx my x =+⎧⎨=⎩, 得222(24)0k x km x m +-+=, 所以2221222122(24)41616042km k m km km x x k m x x k ⎧⎪∆=--=->⎪-⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩…………………7分1212|||||AD x x x x =-=-= …………………8分点O 到直线AD的距离为d =, 所以11||||||2S AD d m m =⋅==………………9分 又21221121214()()2S y y x x y y kx m kx m k=+-=+=+++=, …………………11分 又注意到1204km y y =>，所以0,0k m >>， 所以1212=4S m km S y y ==+，…………………12分 因为16160km ∆=->，所以01km <<,所以12144S km S =<. …………………13分 法三：直线OD 的方程为22y y x x = , …………………6分 所以点A 到直线OD的距离为d =…………………7分又||OD …………………8分 所以1122111||||22S OD d x y x y ==- 又21221121()()2S y y x x y y =+-=+，…………………9分 所以122111*********||||2()2()x y x y S x y x y S y y y y --==++22122112121212||||442()8()y y y y y y y y y y y y --==++…………………10分 因为21122244y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩, 所以2221214()8y y x x -=-=…………………11分 代入得到，22112121212221212||||8()8()S y y y y y y y y S y y y y --==++12212()y y y y =+…………………12分因为12y y +≥, 当且仅当12y y =时取等号， 所以112212144S y y S y y <=. …………………13分20解：（Ⅰ）(1,0,0),(1,1,1)Z W ==…………………2分（Ⅱ）对于X n ⊆Ω，考虑元素'X =)1,,1,,1,1(21n i x x x x ---- ，显然，'n X ∈Ω，',,X Y X ∀，对于任意的{}n i ,,2,1 ∈，i i i x y x -1,,不可能都为1， 可得,'X X 不可能都在好子集S 中…………………4分又因为取定X ，则'X 一定存在且唯一，而且'X X ≠，且由X 的定义知道，,n X Y ∀∈Ω，''X Y X Y =⇔=，…………………6分 这样，集合S 中元素的个数一定小于或等于集合n Ω中元素个数的一半， 而集合n Ω中元素个数为2n ，所以S 中元素个数不超过12n -；…………………8分 （Ⅲ）121(,,,,)n n X x x x x -∀=，121(,,,,)n n n Y y y y y -=∈Ω定义元素,X Y 的乘积为：112211(,,,,)n n n n XY x y x y x y x y --=，显然n XY ∈Ω. 我们证明:“对任意的121(,,,,)n n X x x x x S -=∈，121(,,,,)n n Y y y y y S -=∈，都有XY S ∈.” 假设存在,X Y S ∈, 使得XY S ∉，则由（Ⅱ）知，112211()'(1,1,,1,1)n n n n XY x y x y x y x y S --=----∈ 此时，对于任意的{1,2,...,}k n ∈，,,1k k k k x y x y -不可能同时为1, 矛盾， 所以XY S ∈.因为S 中只有12n -个元素，我们记121(,,,,)n n Z z z z z -=为S 中所有元素的乘积， 根据上面的结论，我们知道121(,,,,)n n Z z z z z S -=∈，显然这个元素的坐标分量不能都为0，不妨设1k z =,根据Z 的定义，可以知道S 中所有元素的k 坐标分量都为1…………………11分 下面再证明k 的唯一性：若还有1t z =,即S 中所有元素的t 坐标分量都为1,2n 个，矛盾. 所以此时集合S中元素个数至多为2所以结论成立…………………13分。