专题七：函数与方程思想【思想方法诠释】函数与方程都是中学数学中最为重要的内容．而函数与方程思想更是中学数学的一种基本思想，几乎渗透到中学数学的各个领域，在解题中有着广泛的应用，是历年来高考考查的重点．1．函数的思想函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题．经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等．2．方程的思想方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题，方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系．3．函数思想与方程思想的联系函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来龙去脉解决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f (x)=0，就是求函数y= f (x)的零点，解不等式f (x)>0(或f (x)<0)，就是求函数y= f (x)的正负区间，再如方程f (x)=g(x)的交点问题，也可以转化为函数y= f (x)-g(x)与x轴交点问题，方程f (x)= a有解，当且仅当a属于函数f (x)的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要．4．函数与方程思想解决的相关问题（1）函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：①借助有关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；②在问题研究中通过建立函数关系式或构造中间函数；把研究的问题化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的．（2）方程思想在解题中的应用主要表现在四个方面：①解方程或解不等式；②带参变数的方程或不等式的讨论，常涉及一元二次方程的判别式、根与系数的关系、区间根、区间上恒成立等知识应用；③需要转化为方程的讨论，如曲线的位置关系；④构造方程或不等式求解问题．【核心要点突破】要点考向1：运用函数与方程的思想解决字母或式子的求值或取值范围问题例1若a、b是正数，且满足ab=a+b+3，求ab的取值范围．思路精析：用a表示b→根据b＞0，求a的范围→把ab看作a的函数→求此函数的值域．解析：方法一：（看成函数的值域）即a＞1或a＜-3，又a＞0，∴a＞1，故a-1＞0．当且仅当a-1=41a-，即a=3时取等号．又a＞3时，a-1+41a-+5是关于a的单调增函数，∴ab的取值范围是[9，+∞)．方法二：(看成不等式的解集)∵a、b为正数，∴a+b ab= a+b+3，∴ab．即解得注：（1）求字母(或式子)的值问题往往要根据题设条件构建以待求字母(式子)为元的方程(组)，然后由方程(组)求得．（2）求参数的取值范围是函数、方程、不等式、数列、解析几何等知识中的重要问题．解决这类问题一般有两条途径，其一，充分挖掘题设条件中的不等关系，构建以待求字母为元的不等式（组）求解；其二，充分应用题设的等量关系，将待求参数表示成其他变量的函数，然后，应用函数知识求值域．（3）当问题中出现两数积与这两数和时，是构建一元二次方程的明显信号，构造方程后再利用方程知识可使问题巧妙解决．（4）当问题中出现多个变量时，往往要利用等量关系去减少变量的个数，如最后能把其中一个变量表示成关于另一个变量的表达式，那么就可用研究函数的方法将问题解决．例 2 已知函数211()2cos coscos 2,222x f x x x =+-2()cos (1cos )cos 3.g x x a x =++--且()y f x =与()y g x =的图象在(0,)π内至少有一个公共点，试求a 的取值范围．思路精析：化简()f x 的解析式→令()f x =()g x →分离a →求函数的值域→确定a 的范围． 解析：2221111()2cos cos cos 2cos (cos 1)(2cos 1)222222cos cos 1.x f x x x x x x x x =+-=++--=+- ()y f x =与()y g x =的图象在(0,)π内至少有一个公共点，即()()y f x y g x =⎧⎨=⎩有解，即令()f x =()g x ，当且仅当，即cos x =0时“=”成立．∴当a ≥2时，()y f x =与()y g x =所组成的方程组在(0,)π内有解， 即()y f x =与()y g x =的图象至少有一个公共点．注：（1）本例中把两函数图象至少有一个公共点问题转化为方程有解问题．即把函数问题用方程的思想去解决．（2）与本例相反的一类问题是已知方程的解的情问题，求参数的取值范围．研究此类含参数的三角、指数、对数等复杂方程解的问题的，通常有两种处理思路：一是分离参数构建函数，将方程有解转化为求函数的值域；二是换元，将复杂方程问题转化为熟悉的二次方程；进而利用二次方程解的分布情况构建不等式（组）或构造函数加以解决．例3（1）已知且那么（）（2）设不等式对满足m∈[-2，2]的一切实数m都成立，求x的取值范围．思路精析：（1）先把它变成等价形式再构造辅助函数利用函数单调性比较．（2）此问题常因为思维定势，易把它看成关于x的不等式讨论，若变换一个角度，以m为变量，使f (m)=，则问题转化为求一次函数（或常函数）f (m)的值在[-2，2]内恒负时，参数x应满足的条件．解析：（1）选B．设因为均为R上的增函数，所以是R上的增函数．又由，即，即x+y＞0．（2）设f (m)=，则不等式2x-1＞m恒成立恒成立．∴在时，即解得，∴故x的取值范围是．注：1．在解决值的大小比较问题时，通过构造适当的函数，利用函数的单调性或图象解决是一种重要思想方法；2．在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数利用函数的图象和性质解决问题．同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化，一般地，已知存在范围的量为变量而待求范围的量为参数．例4 图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形ABCD 是矩形，弧CmD 是半圆，凹槽的横截面的周长为4．已知凹槽的强度与横截面的面积成正比，比例AB =2x ，BC =y ．（Ⅰ）写出y 关于x 函数表达式，并指出x 的取值范围； （Ⅱ）求当x 取何值时，凹槽的强度最大． 解析：（Ⅰ）易知半圆CmD 的半径为x ，故半圆CmD 的弧长为x π． 所以 422x y x π=++，得4(2)2xy π-+=． 依题意知：0x y <<，得404x π<<+ 所以，4(2)2x y π-+=（404x π<<+）． （Ⅱ）依题意，设凹槽的强度为T ，横截面的面积为S ，则有2)2x T xy π=-24(2))22x x x ππ-+=⋅-23(2)]2x x π=-+24)43x π=-++ 因为440434ππ<<++， 所以，当443x π=+时，凹槽的强度最大． 答: 当443x π=+时，凹槽的强度最大．注：解析几何、立体几何及实际应用问题中的最优化问题，一般是利用函数的思想解决，思路是先选择恰当的变量建立目标函数，然后再利用有关知识，求函数的最值．一、选择题（每小题5分，共30分）1．已知正数x，y满足xy=x+9y+7，则xy的最小值为（）(A)32 (B)43 (C)49 (D)602．方程有解，则m的最大值为（）(A)1 (B)0 (C)-1 (D)-23．一个高为h O，满缸水量为Vo的鱼缸的轴截面如图所示，其底部有一个小洞，满缸水从洞中流出，当鱼缸口高出水面的高度为h时，鱼缸内剩余水的体积为V，则函数V=f (h)的大致图象可能是（）(A) (B)(C) (D)4．对任意a∈[-1，1]，函数f (x)=x2+(a-4)x+4-2a的值总大于零，则x的取值范围是（）(A)1<x<3 (B)x<1或x>3 (C)1<x<2 (D)x<1或x>25．若正实数a，b满足a b=b a，且a<1，则有（）(A)a>b(B)a<b (C)a=b(D)不能确定a，b的大小6．已知圆上任意一点P(x，y)都使不等式恒成立，则m的取值范围是（）二、填空题（每小题5分，共15分）7．的定义域和值域都是[1，k]，则k= ．8．已知数列中，，若数列的前30项中最大项是，最小项是，则m= ，n= ．9．设f (x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f ′(x)·g(x)+f(x)g′(x)>0，且g(-3)=0，则不等式f (x)g(x)<0的解集是．10．（2006年福建文）已知()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是(0,5),且()f x 在区间[]1,4-上的最大值是12．（I ）求()f x 的解析式；（II ）是否存在自然数,m 使得方程37()0f x x+=在区间(,1)m m +内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．11．某地区要在如图所示的一块不规则用地规划建成一个矩形商业楼区，余下的作为休闲区，已知AB ⊥BC ，OA ∥BC ，且AB=BC=2OA=4 km ，曲线OC 段是以O 为顶点且开口向上的抛物线的一段，如果矩形的两边分别落在AB 、BC 上，且一个顶点在曲线OC 段上，应当如何规划才能使矩形商业楼区的用地面积最大？并求出最大的用地面积．（1）若对定义域的任意x ，都有f (x )≥f (1)成立，求实数b 的值； （2）若函数f (x )在定义域上是单调函数，求实数b 的取值范围； （3）若b = - 1，证明对任意的正整数n ，不等式33311 (312)11)1(n＜k f nk ++++∑= 都成立 ．（1）求函数)(x f 的单调区间；（2）若0)(≤x f 恒成立，试确定实数k 的取值范围；（3）证明：① ),2(2)1ln(+∞-<-在x x 上恒成立； ② ∑=+>∈-<+ni n N n n n i i2)1,(,4)1())1(ln (． 14．【参考答案】1．C 2．A3．【解析】选A．设鱼缸底面积为S，则V=f (h)=Sh o-Sh，故V=f (h)是一次函数且是减函数．4．【解析】选B．由f(x)=x2+(a-4)x+4-2a>0得a(x-2)+x2-4x+4>0，令g(a)=a(x-2)+x2-4x+4，由不等式f(x)>0恒成立，即g(a)>0在［-1，1］上恒成立．5．6．7．8．10．解：（I ）因为()f x 是二次函数，且()0f x <的解集是(0,5),所以可设()(5)(0).f x ax x a =->由()()[]225255,1,424f x a x x a x a x ⎛⎫=-=--∈- ⎪⎝⎭, 因为在区间51,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上,函数()f x 是减函数,在区间5,42⎛⎤ ⎥⎝⎦上, 函数()f x 是增函数. 所以,()f x 在区间[]1,4-上的最大值是(1)6.f a -=由已知，得612, 2.a a ==所以, ()f x 的解析式为2()2(5)210().f x x x x x x =-=-∈R（II ）方程37()0f x x+=等价于方程32210370.x x -+= 设32()21037,h x x x =-+则2'()6202(310).h x x x x x =-=- 当100,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'()0,()h x h x <是减函数； 当10,3x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，'()0,()h x h x >是增函数． 因为101(3)10,0,(4)50,327h h h ⎛⎫=>=-<=> ⎪⎝⎭所以方程()0h x =在区间10103,,,433⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭内分别有唯一的实数根，而在区间(0,3),(4,)+∞内没有实数根，所以存在唯一的自然数3,m =使得方程37()0f x x+=在区间(,1)m m +内有且只有两个不同的实数根． 11．【解析】以点O 为原点，OA 所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，设抛物线的方程为x 2=2py ，由C(2，4)代入得:p=，所以曲线段OC 的方程为:y=x 2(x ∈［0，2］)．A(-2，0)，B(-2，4)，设P(x ，x 2)(x ∈［0，2］)，过P 作PQ ⊥AB 于Q ，PN ⊥BC 于N ，故PQ=2+x ，PN=4-x 2，则矩形商业楼区的面积S=(2+x)(4-x 2)(x ∈［0，2］)．S=-x 3-2x 2+4x+8，12．解：（1）由x + 1＞0得x ＞ – 1∴f(x)的定义域为( - 1，+ ∞)对x ∈( - 1，+ ∞),都有f(x)≥f(1)，∴f(1)是函数f(x)的最小值，故有f / (1) = 0，,022,12)(/=+∴++=b x b x x f 解得b= - 4． （2）∵,12212)(2/+++=++=x b x x x b x x f 又函数f(x)在定义域上是单调函数，∴f / (x) ≥0或f /(x)≤0在( - 1，+ ∞)上恒成立．若f / (x) ≥0，∵x + 1＞0，∴2x 2 +2x+b ≥0在( - 1，+ ∞)上恒成立,即b ≥-2x 2 -2x = 21)21(22++-x 恒成立,由此得b ≥21; 若f / (x ) ≤0, ∵x + 1＞0, ∴2x 2 +2x+b ≤0,即b ≤-(2x 2+2x)恒成立，因-(2x 2+2x) 在( - 1，+ ∞)上没有最小值，∴不存在实数b 使f(x) ≤0恒成立．综上所述，实数b 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21．（3）当b= - 1时，函数f(x) = x 2 - ln(x+1)，令函数h(x)=f(x) – x 3 = x 2 – ln(x+1) – x 3， 则h /(x) = - 3x 2 +2x -1)1(31123+-+-=+x x x x ，∴当[)+∞∈,0x 时，h /(x)＜0所以函数h(x)在[)+∞∈,0x 上是单调递减．又h(0)=0，∴当()+∞∈,0x 时，恒有h(x) ＜h(0)=0，即x 2 – ln(x+1) ＜x 3恒成立．故当()+∞∈,0x 时,有f(x) ＜x 3． ∵(),,01,+∞∈∴∈+k N k 取,1kx =则有,1)1(3k k f < ∴33311......31211)1(n ＜k f n k ++++∑=，故结论成立． 13．解：（I ）函数k x x f x f --=+∞11)('),,1()(的定义域为 当0≤k 时011)('>--=k x x f ，则),1()(+∞在x f 上是增函数； 当0>k 时，若)11,1(k x +∈时有011)('>--=k x x f ． 若),11(+∞+∈k x 时有011)('<--=k x x f 则)11,1()(k x f +在上是增函数，在),11(+∞+k上是减函数． （Ⅱ）由（I ）知0≤k ，时),1()(+∞在x f 递增，而0)(,01)2(≤>-=x f k f 不成立，故0>k 又由（I ）知k k f y ln )11(max -=+=，要使0)(≤x f 恒成立， 则0ln )11(max ≤-=+=k kf y 即可．由10ln ≥≤-k k 得． （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当1=k 时有),1(0)(+∞≤在x f 恒成立，且),2[)(+∞在x f 上是减函数，0)2(=f ，0)(),,2(≤+∞∈∴x f x 恒成立，即),2(2)1ln(+∞-<-在x x 上恒成立．令21n x =-，则1ln 22-<n n ，即)1)(1(ln 2+-<n n n ，从而211ln -<+n n n ， 所以，4)1(212322211ln 54ln 43ln 32ln -=-++++<+++++n n n n n 成立． 14．。