L
1 np
L
的敛散性.
【解】
当 p 1时,
1
1
,
由于调和级数
1
发散.由比较判别法,
当
p 1 时,
该
np n
n1 n
级数是发散的.
当 p 1时, 按顺序把该级数的 1 项、2 项、4 项、8 项……括在一起.
1
1 2p
1 3p
1 4p
1 5p
1 6p
1 7p
1 8p
L
1 15 p
L
(4)
2、教学难点：泰勒公式与泰勒级数；幂级数的展开.
三、教学内容与课时划分
5.1 常数项级数的概念与性质
2 课时
5.2 正项级数及其审敛法
3 课时
5.3 任意项级数敛散性的判别
1 课时
5.4 幂级数
3 课时
5.5 函数的幂级数展开
3 课时
习题课
2 课时
共计 14 课时
243
第 6 章 无穷级数
§6.1 常数项级数的概念和性质
【定义 1】
若常数项级数(1)的部分和数列
Sn
收敛于
S
（即
lim
n
Sn
S ）,
则称常数项
级数(1)收敛, 称 S 为常数项级数(1)的和, 即 S u1 u2 un 或 un ; 若部分和数列
Sn 是发散的, 则称常数项级数(1)发散.
如果级数 un 收敛于 s ，其部分和 sn 是 s 的近似值，它们之间的差 n1
【定理 2】(比较审敛法)设 un 和 vn 都是正项级数, 且有 un vn (n 1, 2,) ，若
n1
n1
vn 收敛, 则 un 收敛；若 un 发散, 则 vn 发散.
n1
n1
n1
n1
【例 1】 判断以下正项级数的敛散性.
1
(1)
n1 2n 1
1
(2)
n1 n n
【解】 (1) 由于 1 1 , 而几何级数
§6.2 正项级数及其审敛法
教学目的:了解正项级数收敛的充要条件;掌握正项级数的比较和比值审敛法;了解正项级数 的根值判别法; 掌握 p-级数的敛散性结果.
教学重难点： 1、教学重点：正项级数的比较和比值判别法. 2、教学难点：正项级数的比较判别法. 教学课时：3 教学过程：
一、正项级数敛散性判别法
n1
收敛，则有 lim n
sn
s
，根据存在极限的数列是有界的，可知数列
sn
是有界的.另一方面，如果数列
sn
有界，根据单调有界数列必存在极限，可知 lim n
sn
s
，所
以级数 un 收敛.因此，有定理：
n1
【定理 1】 正项级数 un 收敛的充分必要条件是它的部分和数列sn 有界.
n1
性质 如果正项级数 un 任意加括号后级数收敛，那么级数 un 收敛.
2n 1 2n
1
1
是收敛的, 则由比较审敛法，
2n
n1 2n 1
收敛.
(2)由于 1 1 ,
1 1
1
, 而调和级数
1
是发散的, 则
1
也发散. 则
n n 2n 2n 2 n
n
2n
1
由比较判别法知
也发散.
n1 n n
248
第 6 章 无穷级数
【例 2】
讨论
p
-级数 1
1 2p
1 3p
sin 1 sin1 sin 1 L
sin 1 L
sin 由于 lim n 1. 而
1
发散, 故
1 sin 也
n1 n
2
n
n 1
n1 n
n1 n
n
发散.
【定理 4】(比值审敛法)若 un 为正项级数,
n1
且
lim un1 q ，则: u n
n
(1) 当 q 1 时, 级数 un 收敛;(2) 当 q 1 或 q 时, 级数 un 发散;
un u1 u2 L un L , 其中 un 0 称为正项级数.
n1
设正项级数
247
第 6 章 无穷级数
un u1 u2 L un L
n1
其中 un 0 ，其部分和为 sn , 显然部分和数列sn 是单调增加的, 即
s1 s2 L sn L
一方面，如果级数
un
n1
n1
【证】设正项级数 un 的部分和为 s(n) ，加括号后的部分和为 (k) ，其中 un 包含在
n1
(k) 中，显然有
s(n) (k)
由于加括号后的级数收敛，由定理 6.1 可得部分和数列 (k) 有界，从而部分和数列s(n)
有界，正项级数 un 收敛. n1 结合本章 6.1.2 级数性质 4 可得，正项级数如果收敛，那么加括号或去括号后都收敛.
u n n
n 1 4n 4
(2)
由于 lim un1 lim
u n n
n
n 1 xn nxn1
lim x n 1
n
n
rn s sn un1 un2 L
称为级数 un n1
的余项.
显然有
lim
n
rn
0 ，而
rn
就是用 sn 近似代替 s 所产生的误差.
【例 1】 判断以下级数是否收敛, 若收敛求出其和.
(1) 2 4 6 L 2n L
(2) 1 2 3 n
2 22 23
2n
【解】
(1) 这个级数的部分和为
1 1 1 L 1 L
2 22 23
2n
这就是一个“无限个数相加”的例子. 从直观上可以看到, 它的和是 1.
再如下面由“无限个数相加”的表达式:
1 (1) 1 (1) L
中, 如果将它写作 (11) (11) (11) L 0 0 0 L ,
其结果无疑是 0, 如写作
1 1 1 1 1 L 1 0 0 L
n1
n1
性质 2 如果级数 un 与 vn 分别收敛于 s 和 , 那么级数 un vn 也收敛, 且
n1
n1
n1
其和为 s .
性质 3 在级数中去掉、增加或改变有限项，不会改变级数的敛散性.
性质 4 如果级数 un 收敛，那么对级数的项任意加括号后所成的新级数仍收敛于原来的 n1
和.
性质 5
（收敛级数的必要条件）:
若级数 un
n1
收敛,
则有
lim
n
un
0.
【证】 设级数 un 收敛, 其和为 u , 显然 un Sn Sn1 (n 2) n1
于是
lim
n
un
lim
n
Sn Sn1
uu 0.
性质 5 的逆命题是不成立的. 即有些级数虽然通项趋于零, 但仍然是发散的.
加括号不影响其敛散性, 故原 p -级数收敛.
综上所述, p -级数当 p 1时, 发散; 当 p 1时, 收敛.
【定理 3】(极限形式的比较判别法)
设级数
n1
un
和
n1
vn
都是正项级数，且
lim
n
un vn
l
（1） 当 0 l 时，若 vn 收敛，则 un 收敛；
n1
n1
（2） 当 0 l 时，若 vn 发散，则 un 发散.
n1
n1
(3) 当 q 1 时, 级数 un 可能收敛也可能发散. n1
【例 4】 判断下列级数的敛散性.
(1)
2 25 258 L 1 15 159
2 5 8L
159L
2 3n 1 1 4n 1
L
(2) nxn1 n1
x 0
5n n!
(3)
nn
n1
【解】 (1) 由于 lim un1 lim 2 3n 3 1, 由比值审敛法知, 原级数收敛.
它的各项显然小于下列级数的各项.
1
1 2p
1 2p
1 ( 4p
1 4p
1 4p
1 )( 1 4p 8p
L
1 )L 8p
即
1
1 2 p1
1 4 p1
1 8 p1
L
(5)
而后一个级数是等比级数,
其比
q
1 2p 1Fra bibliotek1,
所以级数(5)收敛.
于是根据级数收敛的比较判别法, 当 p 1时, 级数(4)收敛, 而级数(4)是正项级数, 所以
1 1
)
n 2n1
2
于是
sn
2(1
1 2n
n 2n1 )
由于
lim
n
sn
lim 2(1
n
1 2n
n 2n1 )
2
所以该级数收敛，且它的和为 2.
【例 2】 讨论几何级数（也称为等比级数）:
245
第 6 章 无穷级数
aqn a aq aq2 L aqn L (a 0) 的敛散性.
n0
n
qn ,
故
lim
n
Sn
不存在;
若q 1,
当 n 时,
Sn na ,
故
lim
n
S
n
不存在;
若 q 1 , 当 n 时,
Sn
0, a,
n为偶数 n为奇数
,
故
lim
n
Sn
不存在;
综上所述,
aq n
a, 1q
q 1
n1
不存在, q 1