y2
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7. (2) 计算积分 I
y x

1 2 1 4
dy 1 e dx 1 dy
2 2
y
y x
1
y y
e dx .
y x
解 e d x 不能用初等函数表示
先改变积分次序.
原式
y x
y x2
I

1
1 2
1
1 2
dx
x x
2
e dy
x
y x
dxdy ,
解 由对称性，可只考虑第一象限部分 ，
D 4 D1
D1

D
注意：被积函数也要有对称性. 2 2 4 sin( x y )
x2 y2

2
dxdy

D1
sin(
2
x2 y2 ) x y
2
dxdy
4 d
0
2
1
sin r rd r 4. r
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6.
(1)
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6(2)
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6(3) 改变积分

1 0
dx
2 x x2 0
f ( x , y )d y d x
1
2
2 x 0
f ( x , y )d y 的次序.
解 积分区域如图
y 2 x
y 2x x2
原式

1 0
dy
xy
t 解: 两个隐函数方程两边对 x 求导, 得
u
x y z
解得
因此
e x ( x z) z 1 sin( x z ) y du e x ( x z) f1 f 2 1 f3 x dx sin( x z )
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x x
§6.6 部分习题答案
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5.设某工厂生产甲产品数量 S(吨)与所用两种原料 A、 的数量 x,y(吨)间的关系式 S ( x , y ) 0 .005 x y ， B
2
现准备向银行贷款 150 万元购原料，已知 A,B 原料 每吨单价分别为 1 万元和 2 万元，问怎样购进两种 原料，才能使生产的数量最多? 解 按题意，即求函数 S ( x , y ) , y )dxdy
b b
[
a
b
b a
f ( x ) f ( y )dy ]dx
[ f ( y )dy ] f ( x )dx
a a
f ( y )dy
a
b
b a
[ f ( x )dx ]2 f ( x )dx
a
b
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§6.3 部分习题答案 (3).
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2(1)
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3.
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4.
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5(1)
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§6.4 部分习题答案
2.
(4).
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4.
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5.
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§6.5 部分习题答案 1.
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x3 y 6. 证明 lim 6 2不存在． x0 x y y 0
证
y kx 3 , 取
x3 y x 3 kx 3 k lim 6 , 2 lim 2 6 2 6 x0 x y x0 x k x 1 k 3 y 0
y kx
其值随k的不同而变化， 故极限不存在．
2L x1 x 2
8, C
2L x 2
2
20
B 2 AC 64 80 16 0, 且 A 4 0,
故点 ( 0.75 ,1.25 )为极大值点， 由问题的实际意义可知 ：它为最大点
即此时最优广告策略是用0.75万元作电台广告， 用1.25万元作报纸广告.
6 x 2 y 2 2 y r 2 sin
( x y )d x d y
2 2 D
x 3y 0 1

3



6
d
4 sin 2 sin
r rd r 15 ( 3 ). 2
2
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广东外语外贸大学

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4. 某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品 的广告.根据统计资料，销售收入 R(万元)与电台 广告费用 x 1 (万元)及报纸广告费用 x 2 (万元)之间 的关系有如下的经验公式：
R 15 14 x1 32 x 2 8 x1 x 2 2 x1 10 x 2
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4.
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6.
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8.
已知 ln
dy y . x y a r c t a n，求 x dx
2 2
y 解 令 F ( x , y ) ln x y arctan , x
2 2
x y y x , Fy ( x, y) 2 , 则 Fx ( x , y ) 2 2 2 x y x y
解得 x 100 , y 25
因 仅 有 一 个 驻 点 ， 且 最大 值 一 定 存 在 ， 故 驻 点(100, 25 ) 为 最 大 值 ， 最 大 值S (100, 25 ) 0 .005 100 2 25 125吨 ， 即 购 进 A 原 料100吨 ， B 原 料 25吨 ， 可 使 生 产 量 达 到 最大 值 1250吨 .
( 2 )做拉格朗日函数 F ( x 1 , x 2 , ) L( x 1 , x 2 ) ( x 1 x 2 1 .5 )
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15 13 x 1 31 x 2 8 x 1 x 2 2 x 1 10 x 2
2
2
( x 1 x 2 1 .5 )
0 y R2 x2 ( x, y ) D : 0 xR
R
y
则所求体积为
x2 z 2 R2 x
R2 x2 d x
R2 x2 0
8 8
R 0
R
0
dy
16 3 (R x ) d x R 3
2 2
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11.
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3 1 x ( e e )d x e e. 8 2
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8(1)
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9(1)
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10. 解: 设两个直圆柱方程为
x2 y2 R2 , x2 z 2 R2
z
R
O
利用对称性, 考虑第一卦限部分,
其曲顶柱体的顶为 z R 2 x 2
F 13 8 x 2 4 x 1 0 x 1 F 由 31 8 x 1 20 x 2 0 x 2 x 1 x 2 1 .5 解得 x1 0, x 2 1.5
即广告费1.5万元全部用于报纸广告，可使利润最大.
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12.
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§6.9 部分习题答案
（2）
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（1）
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（2）
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3.(1)
x y D {( x , y ) | 1 x 2 y 2 4 } . 其中积分区域为
2 2 D
计算二重积分

sin(
x y )
2 2
2 y
2
1 1 y
f ( x , y )d x .
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6. (4)
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7.(1) 计算

1 0
dx e dy.
y2 x
1
解 e dy 不能用初等函数计算
y2
只能用 Y - 型.
I


1 0
1 0
dy e dx
y2 0
y

1 ye dy ( e 1) 2
5.
计算 ( x y )d x d y ，其中 D 为由圆
2 2 D
x 2 y 2 2 y ， x 2 y 2 4 y 及直线 x 3 y 0 ， y 3 x 0 所围成的平面闭区域.
解
y 3x 0 2

3
x 2 y 2 4 y r 4 sin
在条件 x 2 y 150下的最大值
作拉格朗日函数
F ( x , y , ) 0 .005 x 2 y ( x 2 y 150 )
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F x 0.01 xy 0 F 由 0.005 x 2 2 0 y x 2 y 150 0
Fx dy x y . y x dx Fy
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