经济数学--微积分期末测试第一学期期末考试试题 ( B )一.选择题（每小题只有一个正确答案，请把正确答案前的字母填入括号，每题2分，共30分）1. 函数⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤-=43939)(22x x x x x f 的定义域是（A ）；(A) )4,3[- (B) )4,3(- (C) ]4,3(- (D) )4,4(-2. 函数214y x =-的渐近线有（Ａ）； 3（A ）条（B ）2条（C ）1条（D ）0条3. 设函数)1,0()1(log 2≠>++=a a x x y a ,则该函数是(A )(A) 奇函数 (B) 偶函数 (C) 非奇非偶函数 (D) 既奇又偶函数4. 下列函数中，与3y x =关于直线y x =对称的函数是（A ）；33()()()()A y B x C y x D x y ===-=-5.若()f x =，则点2x =是函数()f x 的（Ｂ）；()A 左连续点 ()B 右连续点 ()C 驻点 ()D 极值点6. 已知点（1，3）是曲线23bx ax y +=的驻点，则b a ,的值是（B ）（A ） 9,3=-=b a （B ） 9,6=-=b a （C ） 3,3=-=b a （D ） 3,6=-=b a7. 当0x →时，下列函数极限不存在的是（C ）；1sin 11()()sin()()tan 1xxA B x C D x xxe +8. 极限 =-→x x x 1ln lim 0（C ）；()1()0()1()A B C D -不存在9.下列函数中在［－３，３］上满足罗尔定理条件的是（C ）；2221()()()2()(3)A xB C x D x x -+10．若函数()f x 在点0x 处可导，则极限x x x f x x f xx ∆∆--∆+→2)2()2(lim000＝（C ）；00001()4()()3()()2()()()2A f xB f xC f xD f x '''' 11. 0x →时，下列函数中，与x 不是等价无穷小量的函数是（C ）(A) x tan (B) )1ln(x + (c) x x sin - (D) x sin12.下列极限中，极限值为e的是（Ｄ）；11001()lim (1)()lim (1)()lim(1)()lim (1)xxxxx x x x A x B x C D x x+→∞→∞→→++++13. 若ln xy x =，则dy ＝（D ）； 222ln 11ln ln 11ln ()()()()x x x xA B C dx D dx x x xx---- 14.函数2()f x x =，在区间[０，１]内，满足拉格朗日中值定理的条件，其中ξ＝（Ｄ）；1121()()()()4332A B C D 15.若函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，则2()x f x dx '⎡⎤=⎣⎦⎰（Ｄ）． 2222()[2()()]()2()()()()()()A xf x x f x dxB xf x x f xC x f x dxD x f x ''++二.计算题（每小题7分，共56分） 1.xex x y -+-=1121，求y '解：)11()1(1)()1(1122112'-+'-+-='+'-='--xex x x ex x y xx2112211222)1(1)1(1221x e x x e x xx xx--+-=--+--+-=-- ２分 7分2. 求极限 xx x 12)1(lim +∞>- 解：1lim )1(lim 012lim)1ln(lim)1ln(12222=====++++∞→∞→∞→∞→e ee ex x xx x xx x xx x x 3. 求曲线1204=+-y x x y 在1=x 对应的点处的切线方程．解：0x =时，代入方程得 1y =；方程两边对x 求导得 020*******3='++-'y y x yx y ，将01x y ==与代入，得011x y y =='=， 故所求的切线方程为1y x -=，即1y x =+4. 设函数221()1ax x f x x bx -≥⎧=⎨-<⎩ 在1x =处可导，求常数a 和b 解：由已知()f x 在1x =连续，且21111lim ()lim()1lim ()lim(2)2x x x x f x x b b f x ax a --++→→→→=-=-=-=- 可得3b a =- ①又因()f x 在1x =处可导，且221111232(1)lim lim lim 1211(2)2()lim 1x x x x x b a x a a f x x x ax a f x a x -+++-→→→+→--+-+-+'===+=----+'==-又得2a = 代入① 得1b =故21a b ==5. 求函数2ln(14)y x =+的上凸区间、下凸区间与拐点．解：222288(14)1,,0,14(14)2xx y y y x x x -'''''====±++令得２分５分７分３分６分 ７分2分２分5分7分6. 求⎰dx xx tan解：⎰⎰⎰+-=-==c x x d x x d xx dx xx cos ln 2cos cos 12cos sin 2tan 7. 求 ⎰xdx e xsin解：⎰⎰⎰⎰-=-==x x x x x x xde x e xdx e x e xde xdx e cos sin cos sin sin sin⎰--=xdx e x e x e x x x sin cos sin 移项可得c e x x xdx e x x +-=⎰)cos (sin 21sin 8. 已知2xxe 是(2)f x 的一个原函数，求()2x x f e dx -⎰22222222222222(2)()2(12)()(1)()(1)22()(1)(1)2(1)22222[(1)()]2[(1)]2222(2)(4)2x x x x xux x xx xx x x xx xf x xe e xe e x x xf u e u f e x x x x f e dx e e dx e dx de x x xe e d e e c x e c x e c ----------'==+=+∴=+∴=+∴=+=+=-+=-++-=-+++=-++=-++⎰⎰⎰⎰⎰解：三.证明题（本题6分）设函数()f x 在区间[0,]c 上连续，其导数()f x '在(0,)c 内存在且单调减少，又(0)0f =，证明不等式：()()()f a b f a f b +≤+（其中,a b 是常数且满足：0a b a b c ≤≤≤+≤）２分７分6分7分６分7分2分4分7分5分7分2分证明：0a =时，(0)0f = ()()()()f a b f b f a f b ∴+==+0a > 时，在区间[0,]a 和[,]b a b +上，()f x 满足拉格朗日定理条件，1122()(0)()()((0,)()()()()()((,)f a f f a f a a af b a f b f b a f b f b a b b a b aξξξξ-'∴==∈+-+-'==∈++-有有又()f x 在[0,]c 上单调减少，而12ξξ<21()()f f ξξ''∴<即()()()f b a f b f a a a+-<故有 ()()()f a b f a f b +≤+（其中,a b 是常数且满足：0a b a b c ≤≤≤+≤）四．应用题（本题8分）设生产t 个产品的边际成本为t t C 2100)(+='，其固定成本（即0=t 时的成本）为100元，产品单价规定为500=P 元，假定生产出的产品都能完全销售，求生产量为多少时利润最大？最大利润是多少？解：由已知，边际成本c t t dt t dt t C t C ++=+='=⎰⎰100)2100()()(2 由固定成本为100，可得100100)(02=--==t t t t C c于是有：成本函数：100100)(2++=t t t C 收入函数：t t R 500)(=利润函数：100400)100100(500)()()(22-+-=++-=-=t t t t t t C t R t L 由04002)(=+-='t t L ，得唯一驻点2000=t ，又由02)(<-=''t L ，可知，驻点0t 是极大值点，同时也是最大值点。

因此，当生产量为200时，总利润最大。

最大利润为39900100200400200)200(2=-⨯+-=L 。

2008—2009学年第一学期《高等数学I 》(上)期末考试试卷A注意：1、本试卷共 3 页； 2、考试时间120分钟2分4分 7分 8分3分6分三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名3、姓名、学号必须写在指定地方 阅卷负责人签名：一、填空题（共5个小题，每小题2分，共10分）.1、函数()ln 2xf x x e=-+∞在(0,+)内零点的个数为 . 2、设函数()y y x =由方程1yy xe =-所确定，则dy dx= .3、22(1)xdx x +∞=+⎰. 4、物体在力21()4F x x=+的作用下从0x =沿直线移动到2x =，且力F 的方向 指向x 轴正向，则力F 在物体移动过程中所做的功为 .5、微分方程680y y y '''-+=的通解为 .二、单项选择题（共10个小题，每小题2分，共20分）将每题的正确答案的代号A 、B 、C 或D 填入下表中.1、下列各项中函数()()f x g x 和相同的是（ ）A . 2(ln ,()2ln f x x g x x ==）； B . ()()f x g x x ==C . (),()f x x g x ==D . 22()1,(sec tan f x g x x x ==-）.2、下列极限中不正确的是（ ） A . sin lim0x x x →∞=；B . 0sin lim 1x x x →=；C . 2sin lim 1x xx π→=；D. sin lim0x x x π→=.3、nnn n n 1)4321(lim +++∞→=（ ）A . 1；B . 2；C . 3；D . 4.4、设322,1(3,1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩），则()f x 在1x =处的（ ） A . 左、右导数都存在； B . 左导数存在、右导数不存在； C . 左导数不存在、右导数存在； D . 左、右导数都不存在.5、设111()1xxe f x e -=+，则0x =是()f x 的（ ）A . 可去间断点；B . 第二类间断点；C . 跳跃间断点；D . 连续点. 6、设在[0,1]上()0f x ''>，则下面正确的为（ ）.A ．(1)(0)(1)(0)f f f f ''>>-；B ．(1)(1)(0)(0)f f f f ''>->；C ．(1)(0)(1)(0)f f f f ''->>；D ．(1)(0)(1)(0)f f f f ''>->. 7、下列等式中不正确的是（ ） A .()()(f x dx f x '=⎰）； B . ()()()xf t dt f x '=⎰；C . ()()d f x dx f x dx =⎰；D . ()()dF x F x =⎰. 8、下列计算正确的是（ ）A . 111121121()11[arctan ]1121()d x dx x x xπ---=-=-=-++⎰⎰； B . 1122111,11dx dt x t x x t t --==-++++⎰⎰令，12101dxx x -∴=++⎰；C . 22lim 011A A A x xdx dx x x +∞-∞-→+∞==++⎰⎰； D .211sin 30x e xdx --=⎰9、⎰-2cos sin πdx x x （）A . 0； B. C . 1； D . 21）.10、已知21,,y y x y x ===是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为（ ）A . 212C C x x ++；B . 212(1)(1)C x C x -+-； C . 2212(1)(1)C x C x x -+-+； D . 2212(1)(1)C x C x x -+--.三、计算下列各题（每小题6分，共18分）.1、已知2ln(1)arctan x t y t t⎧=+⎨=-⎩，求22,dy d ydx dx .2、计算极限2sin limln(12)x x arc xx x →--.三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名3、计算极限2cos limxax ax t dtx a→⋅-⎰.四、计算下列各题（每小题6分，共18分）1、(1)dxx x +⎰；2、已知1,01()1,01xx xf x x e ⎧≥⎪⎪+=⎨⎪<⎪+⎩，求11()f x dx -⎰；3、求微分方程(12)y x y x-'=的通解.五、解下列各题（每小题6分，共18分）1、求函数xx ex f ln )(=的极值.2、证明：当0x >时，arctan ln(1)1xx x+>+.三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名3、已知sin xx是()f x的一个原函数，求()xf x dx'⎰.六、（8分）设由曲线y=4x=及x轴所围图形为T.（1）求T的面积；（2）求T绕y轴旋转而成的旋转体的体积.七、（8分）设光滑曲线()y x ϕ=过原点，且当0x >时，()0x ϕ>，对应于[0,]x 一段 曲线的弧长为1xe -，求()x ϕ.习题4-21. 在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数, 使等式成立(例如: )74(41+=x d dx :(1) dx = d (ax );解dx = a 1d (ax ). (2) dx = d (7x -3);解dx = 71d (7x -3). (3) xdx = d (x 2);解xdx = 21d (x 2). (4) x d x = d (5x 2);解x d x = 101d (5x 2).(5))1( 2x d xdx -=; 解 )1( 212x d xdx --=.(6)x 3dx = d (3x 4-2);解x 3dx = 121d (3x 4-2). (7)e 2x dx = d (e 2x );解e 2x dx = 21d (e 2x ).(8))1( 22x x ed dxe --+=;解 )1( 2 22x x e d dx e --+-=.(9))23(cos 23sin x d xdx =; 解)23(cos 32 23sin x d xdx -=. (10)|)|ln 5( x d x dx=;解 |)|ln 5( 51x d x dx =.(11)|)|ln 53( x d x dx-=;解 |)|ln 53( 51x d x dx --=. (12))3(arctan 912x d x dx=+;解 )3(arctan 31912x d x dx =+.(13))arctan 1( 12x d x dx-=-;解)arctan 1( )1( 12x d xdx --=-.(14))1( 122x d xxdx-=-.解 )1( )1( 122x d x xdx--=-.2. 求下列不定积分(其中a , b , ω, ϕ均为常数):(1)⎰dtet5;解C e x d e dt ex x t+==⎰⎰55551551.(2)⎰-dxx 3)23(;解C x x d x dx x +--=---=-⎰⎰433)23(81)23()23(21)23(.(3)⎰-dx x 211;解 C x x d x dx x +--=---=-⎰⎰|21|ln 21)21(21121211. (4)⎰-332xdx;解C x C x x d x x dx+--=+-⋅-=---=-⎰⎰-3232313)32(21)32(2331)32()32(3132.(5)⎰-dxe ax bx)(sin ;解 Cbe ax a b x d e b ax d ax a dx e ax b xb xbx+--=-=-⎰⎰⎰cos 1)()(sin 1)(sin .(6)⎰dtt t sin ;解⎰⎰+-==Ct t d t dt ttcos 2sin 2sin .(7)⎰⋅xdxx 210sec tan;解 ⎰⋅xdx x 210sec tan C x x xd +==⎰1110tan 111tan tan .(8)⎰x x x dx ln ln ln ;解 C x x d x x d x x x x x dx +===⎰⎰⎰|ln ln |ln ln ln ln ln 1ln ln ln ln 1ln ln ln . (9)⎰+⋅+dx x x x 2211tan ;解 ⎰+⋅+dx x x x 2211tan2222211cos 1sin 11tan x d x x x d x +++=++=⎰⎰Cx x d x ++-=++-=⎰|1cos |ln 1cos 1cos 1222.(10)⎰x x dxcos sin ;解 C x x d x dx x x x x dx +===⎰⎰⎰|tan |ln tan tan 1tan sec cos sin 2. (11)⎰-+dxe e x x 1;解 ⎰-+dx e e x x 1C e de e dx e e xx xx x +=+=+=⎰⎰arctan 11122.(12)⎰-dxxe x2;解.21)(212222C e x d e dx xe x x x+-=--=---⎰⎰(13)⎰⋅dxxx )cos(2;解 C x x d x dx x x +==⋅⎰⎰)sin(21)()cos(21)cos(2222.(14)⎰-dx x x232;解 Cx C x x d x dx x x+--=+--=---=-⎰⎰-2212221223231)32(31)32()32(6132.(15)⎰-dxx x 4313; 解⎰⎰+--=---=-Cx xd x dx x x |1|ln 43)1(11431344443.(16)⎰++dtt t ))sin((cos2ϕωϕω;解C t t d t dt t t ++-=++-=++⎰⎰)(cos 31)cos()(cos 1)sin()(cos 322ϕωωϕωϕωωϕωϕω.(17)⎰dxx x3cos sin ;解 Cx C x x xd dx x x +=+=-=--⎰⎰2233sec 21cos 21cos cos cos sin .(18)⎰-+dxx x x x 3cos sin cos sin ;解 )sin cos (cos sin 1cos sin cos sin 33x x d x x dx x x x x +--=-+⎰⎰Cx x x x d x x +-=--=⎰-3231)cos (sin 23)cos (sin )cos (sin .(19)⎰--dxxx 2491;解dx xx dx xdx x x ⎰⎰⎰---=--22249491491)49(49181)32()32(1121222x d x x d x --+-=⎰⎰Cx x +-+=2494132arcsin 21.(20)⎰+dxx x 239;解 C x x x d x x d x x dx x x ++-=+-=+=+⎰⎰⎰)]9ln(9[21)()991(21)(9219222222223.(21)⎰-dxx 1212;解⎰⎰⎰+--=+-=-dx x x dx x x dx x )121121(21)12)(12(11212⎰⎰++---=)12(121221)12(121221x d x x d xCx x C x x ++-=++--=|1212|ln 221|12|ln 221|12|ln 221.(22)⎰-+dxx x )2)(1(1;解 C x x C x x dx x x dx x x ++-=++--=+--=-+⎰⎰|12|ln 31|1|ln |2|(ln 31)1121(31)2)(1(1. (23)⎰xdx3cos;解Cx x x d x x d x xdx +-=-==⎰⎰⎰3223sin 31sin sin )sin 1(sin cos cos.(24)⎰+dtt )(cos2ϕω; 解 C t t dt t dt t +++=++=+⎰⎰)(2sin 4121)](2cos 1[21)(cos 2ϕωωϕωϕω. (25)⎰xdxx 3cos 2sin ;解 ⎰xdx x 3cos 2sin C x x dx x x ++-=-=⎰cos 215cos 101)sin 5(sin 21. (26)⎰dx xx 2cos cos ; 解 C x x dx x x dx x x ++=+=⎰⎰21sin 23sin 31)21cos 23(cos 212cos cos .(27)⎰xdxx 7sin 5sin ; 解C x x dx x x xdx x ++-=--=⎰⎰2sin 4112sin 241)2cos 12(cos 217sin 5sin .(28)⎰xdxx sec tan3;解xd x xdx x x xdx x sec tan tan sec tan sec tan223⎰⎰⎰=⋅=Cx x x d x +-=-=⎰sec sec 31sec )1(sec 32.(29)⎰-dx x x2arccos 2110; 解 C x d x d dx x x xx x +-=-=-=-⎰⎰⎰10ln 210)arccos 2(1021arccos 10110arccos 2arccos 2arccos 22arccos 2.(30)⎰+dxx x x )1(arctan ; 解Cx x d x x d x xdx x x x +==+=+⎰⎰⎰2)(arctan arctan arctan 2)1(arctan 2)1(arctan .(31)⎰-221)(arcsin x x dx;解Cxxdxxxdx+-==-⎰⎰arcsin1arcsin)(arcsin11)(arcsin222.(32)⎰+dxxxx2)ln(ln1;解Cxxxxdxxdxxxx+-==+⎰⎰ln1)ln()ln(1)ln(ln122.(33)⎰dxxxxsincostanln;解⎰⎰⎰=⋅=xdxxxdxxxdxxxxtantantanlnsectantanlnsincostanln2Cxxd x+==⎰2)tan(ln21tanlntanln.(34)⎰-dxxax222(a>0);解⎰⎰⎰⎰-===-dttadttatdtatatataxdxxax22cos1sincoscossinsin22222222令,CxaxaxaCtata+--=+-=222222arcsin22sin421.(35)⎰-12xxdx;解CxCtdttdtttttxxxdx+=+==⋅⋅=-⎰⎰⎰1arccostansectansec1sec12令.或Cxxdxdxxxxxdx+=--=-=-⎰⎰⎰1arccos111111112222.(36)⎰+32)1(xdx;解Cttdttdttxxdx+==+=+⎰⎰⎰sincostan)1(tan1tan)1(3232令Cxx++=12.(37)⎰-dxxx92;解⎰⎰⎰=-=-tdttdtttxdxxx222tan3)sec3(sec39sec9sec39令CxxCttdtt+--=+-=-=⎰3arccos393tan3)1cos1(322.(38)⎰+xdx2 1;解CxxCttdtttdtttxxdx++-=++-=+-=+=+⎰⎰⎰)21ln(2)1ln()111(11221令.(39)⎰-+211xdx;解⎰⎰⎰⎰-=+-=+=-+dttdtttdtttxxdx)2sec211()cos111(coscos11sin112 2令CxxxCtttCtt+-+-=++-=+-=211arcsincos1sin2tan.(40)⎰-+21xxdx.解⎰⎰⎰+-++=⋅+=-+dttttttttdttttxxxdxcossinsincossincos21coscossin1sin12令Ctttttdttdt+++=+++=⎰⎰|cossin|ln2121)cos(sincossin12121Cx x x ++-+=|1|ln 21arcsin 212.习题5-11. 利用定积分定义计算由抛物线y =x 2+1, 两直线x =a 、x =b (b >a )及横轴所围成的图形的面积.解 第一步: 在区间[a , b ]内插入n -1个分点in a b a x i -+=(i =1, 2, × × ×, n -1), 把区间[a , b ]分成n 个长度相等的小区间, 各个小区间的长度为:n ab x i -=∆(i =1, 2, × × ×, n ).第二步: 在第i 个小区间[x i -1, x i ] (i =1, 2, × × ×, n )上取右端点in ab a x i i -+==ξ, 作和n ab i n a b a x f S ni i i n i n -⋅+-+=∆=∑∑==]1)[()(211ξ ∑=+-+-+-=n i i n a b i n a b a a n a b 12222]1)()(2[]6)12)(1()(2)1()(2[)(222n n n n n a b n n n a b a na n a b +++⋅-++⋅-+-=]16)12)(1()()1)(()[(222+++-++-+-=n n n a b n n a b a a a b . 第三步: 令λ=max{∆x 1, ∆x 2, × × × , ∆x n }n ab -=, 取极限得所求面积∑⎰=→∆==ni ii ba x f dx x f S 10)(lim )(ξλ]16)12)(1()()1)(()[(lim 222+++-++-+-=∞→n n n a b n n a b a a a b nab a b a b a b a a a b -+-=+-+-+-=)(31]1)(31)()[(3322.2. 利用定积分定义计算下列积分:(1)xdxba ⎰(a <b ); (2)dx e x ⎰10.解 (1)取分点为i n a b a x i -+=(i =1, 2, × × ×, n -1), 则n ab x i -=∆(i =1, 2, × × ×, n ). 在第i 个小区间上取右端点in ab a x i i -+==ξ(i =1, 2, × × ×, n ). 于是∑∑⎰=∞→=∞→-⋅-+=∆=ni n n i i i n ba n ab i n a b a x xdx 11)(lim lim ξ )(21]2)1()()([lim )(22222a b n n n a b a b a a b n -=+-+--=∞→.(2)取分点为n i x i =(i =1, 2, × × ×, n -1), 则n x i 1=∆(i =1, 2, × × ×, n ). 在第i 个小区间上取右端点n ix i i ==ξ(i =1, 2, × × ×, n ). 于是)(1lim 1lim 21110nn n n n n i n i n x e e e nn e dx e +⋅⋅⋅++==∞→=∞→∑⎰1)1(]1[lim1])(1[1lim 11111-=--=--⋅=∞→∞→e e n e e e e e nnn n nn n n n .3. 利用定积分的几何意义, 说明下列等式:(1)1210=⎰xdx ;(2)4112π=-⎰dx x ;(3)⎰-=ππ0sin xdx ;(4)⎰⎰=-2022cos 2cos πππxdxxdx .解 (1)⎰102xdx表示由直线y =2x 、x 轴及直线x =1所围成的面积, 显然面积为1.(2)⎰-121dxx 表示由曲线21x y -=、x 轴及y 轴所围成的四分之一圆的面积, 即圆x 2+y 2=1的面积的41:414112102ππ=⋅⋅=-⎰dx x . (3)由于y =sin x 为奇函数, 在关于原点的对称区间[-π, π]上与x 轴所夹的面积的代数和为零, 即⎰-=ππ0sin xdx .(4)⎰-22cos ππxdx表示由曲线y =cos x 与x 轴上]2 ,2[ππ-一段所围成的图形的面积. 因为cosx 为偶函数, 所以此图形关于y 轴对称. 因此图形面积的一半为⎰20cos πxdx, 即⎰⎰=-2022cos 2cos πππxdxxdx .4. 水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力, 已知闸门上水的压强p (单位面积上的压力大小)是水深h 的函数, 且有p =9⋅8h (kN/m 2). 若闸门高H =3m, 宽L =2m, 求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P .解 建立坐标系如图. 用分点in H x i =(i =1, 2, × × ×, n -1)将区间[0, H ]分为n 分个小区间, 各小区间的长为n H x i =∆(i =1, 2, × × ×, n ). 在第i 个小区间[x i -1, x i ]上, 闸门相应部分所受的水压力近似为 ∆P i =9.8x i l ⋅∆x i . 闸门所受的水压力为22118.42)1(lim 8.9lim 8.98.9lim H L n n n H L n Hi n H L x L x P n ni n ni i i n ⋅=+⋅=⋅=∆⋅⋅=∞→=∞→=∞→∑∑.将L =2, H =3代入上式得P =88.2(千牛). 5. 证明定积分性质:(1)⎰⎰=ba b a dxx f k dx x kf )()(; (2)ab dx dx ba b a -==⋅⎰⎰1.证明 (1)⎰∑∑⎰=∆=∆==→=→ba ni i i ni i i ba dxx f k x f k x kf dx x kf )()(lim )(lim )(1010ξξλλ.(2)ab a b x x dx ni i ni i ba -=-=∆=∆⋅=⋅→=→=→∑∑⎰)(lim lim 1lim 101010λλλ.6. 估计下列各积分的值:(1)⎰+412)1(dxx;(2)⎰+ππ4542)sin 1(dxx ;(3)⎰331arctan xdx x ;(4)⎰-022dx e x x .解 (1)因为当1≤x ≤4时, 2≤x 2+1≤17, 所以 )14(17)1()14(2412-⋅≤+≤-⋅⎰dx x ,即51)1(6412≤+≤⎰dx x .(2)因为当ππ454≤≤x 时, 1≤1+sin 2x ≤2, 所以 )445(2)sin 1()445(14542ππππππ-⋅≤+≤-⋅⎰dx x ,即ππππ2)sin1(4542≤+≤⎰dx x .(3)先求函数f (x )=x arctan x 在区间]3 ,31[上的最大值M 与最小值m .21arctan )(x xx x f ++='. 因为当331≤≤x 时, f '(x )>0, 所以函数f (x )=x arctan x 在区间]3 ,31[上单调增加. 于是3631arctan 31)31(π===f m , 33arctan 3)3(π===f M .因此 )313(3arctan )313(36331-≤≤-⎰ππxdx x ,即32arctan 9331ππ≤≤⎰xdx x .(4)先求函数xxe xf -=2)(在区间[0, 2]上的最大值M 与最小值m .)12()(2-='-x ex f xx , 驻点为21=x . 比较f (0)=1, f (2)=e 2, 41)21(-=e f ,得41-=e m , M =e 2. 于是)02()02(220412-⋅≤≤-⎰--e dx e e xx,即 41022222---≤≤-⎰e dx dx e e xx .7. 设f (x )及g (x )在[a , b ]上连续, 证明:(1)若在[a , b ]上, f (x )≥0, 且0)(=⎰badx x f , 则在[a , b ]上f (x )º0;(2)若在[a , b ]上, f (x )≥0, 且f (x )≢0, 则0)(>⎰ba dx x f ; (3)若在[a ,b ]上, f (x )≤g (x ), 且⎰⎰=ba b a dxx g dx x f )()(, 则在[a , b ]上f (x )ºg (x ).证明 (1)假如f (x )≢0, 则必有f (x )>0. 根据f (x )在[a , b ]上的连续性, 在[a , b ]上存在一点x 0, 使f (x 0)>0, 且f (x 0)为f (x )在[a , b ]上的最大值.再由连续性, 存在[c , d ]⊂[a , b ], 且x 0∈[c , d ], 使当x ∈[c , d ]时, 2)()(0x f x f >. 于是0)(2)()()()()()(0>-≥≥++=⎰⎰⎰⎰⎰c d x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dc bd d c c a b a .这与条件0)(=⎰ba dx x f 相矛盾. 因此在[a ,b ]上f (x )º0.(2)证法一 因为f (x )在[a , b ]上连续, 所以在[a , b ]上存在一点x 0, 使f (x 0)>0, 且f (x 0)为f (x )在[a , b ]上的最大值.再由连续性, 存在[c , d ]⊂[a , b ], 且x 0∈[c , d ], 使当x ∈[c , d ]时,2)()(0x f x f >. 于是⎰⎰>-≥≥badcc d x f dx x f dx x f 0)(2)()()(0.证法二 因为f (x )≥0, 所以0)(≥⎰b a dx x f . 假如0)(>⎰ba dx x f 不成立. 则只有0)(=⎰ba dx x f ,根据结论(1), f (x )º0, 矛盾. 因此0)(>⎰ba dx x f . (3)令F (x )=g (x )-f (x ), 则在[a ,b ]上F (x )≥0且)()()]()([)(=-=-=⎰⎰⎰⎰ba b a b a b a dx x f dx x g dx x f x g dx x F , 由结论(1), 在[a , b ]上F (x )º0, 即f (x )ºg (x ).4. 根据定积分的性质及第7题的结论, 说明下列积分哪一个的值较大: (1)⎰102dx x 还是⎰103dx x ？(2)⎰212dx x 还是⎰213dx x ？(3)⎰21ln xdx 还是⎰212)(ln dxx ？(4)⎰10xdx还是⎰+1)1ln(dxx ？(5)⎰10dxex 还是⎰+10)1(dx x ？解 (1)因为当0≤x ≤1时, x 2≥x 3,所以⎰⎰≥103102dxx dx x.又当0<x <1时, x 2>x 3, 所以.(2)因为当1≤x ≤2时, x 2≤x 3, 所以. 又因为当1<x ≤2时, x 2<x 3, 所以.(3)因为当1≤x ≤2时, 0≤ln x <1, ln x ≥(ln x )2, 所以.又因为当1<x ≤2时, 0<ln x <1, ln x >(ln x )2, 所以.(4)因为当0≤x ≤1时, x ≥ln(1+x ), 所以.又因为当0<x ≤1时, x >ln(1+x ), 所以.(5)设f (x )=e x -1-x , 则当0≤x ≤1时f '(x ) =e x -1>0, f (x )=e x -1-x 是单调增加的. 因此当0≤x ≤1时, f (x )≥f (0)=0, 即e x ≥1+x , 所以.又因为当0<x ≤1时, e x >1+x , 所以.习题4-21. 在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数, 使等式成立(例如: )74(41+=x d dx :(1) dx = d (ax );解dx = a 1d (ax ). (2) dx = d (7x -3);解dx = 71d (7x -3). (3) xdx = d (x 2);解xdx = 21d (x 2). (4) x d x = d (5x 2);解x d x = 101d (5x 2).(5))1( 2x d xdx -=;解 )1( 212x d xdx --=.(6)x 3dx = d (3x 4-2);解x 3dx = 121d (3x 4-2). (7)e 2x dx = d (e 2x );解e 2x dx = 21d (e 2x ).(8))1( 22x x ed dxe --+=;解 )1( 2 22x x e d dx e --+-=.(9))23(cos 23sin x d xdx =; 解 )23(cos 32 23sin x d xdx -=. (10)|)|ln 5( x d x dx=;解 |)|ln 5( 51x d x dx =. (11)|)|ln 53( x d x dx-=;解 |)|ln 53( 51x d x dx --=.(12))3(arctan 912x d x dx=+;解 )3(arctan 31 912x d x dx=+. (13))arctan 1( 12x d x dx-=-;解 )arctan 1( )1( 12x d x dx--=-.(14))1( 122x d x xdx-=-.解 )1( )1( 122x d x xdx--=-.2. 求下列不定积分(其中a , b , ω, ϕ均为常数):(1)⎰dtet5;解C e x d e dt e xx t+==⎰⎰55551551.(2)⎰-dxx 3)23(;解C x x d x dx x +--=---=-⎰⎰433)23(81)23()23(21)23(.(3)⎰-dx x 211;解 C x x d x dx x +--=---=-⎰⎰|21|ln 21)21(21121211. (4)⎰-332xdx;解C x C x x d x x dx+--=+-⋅-=---=-⎰⎰-3232313)32(21)32(2331)32()32(3132.(5)⎰-dxe ax bx)(sin ;解 Cbe ax a b x d e b ax d ax a dx e ax b xb xbx+--=-=-⎰⎰⎰cos 1)()(sin 1)(sin .(6)⎰dtt t sin ;解⎰⎰+-==Ct t d t dt ttcos 2sin 2sin .(7)⎰⋅xdxx 210sec tan;解 ⎰⋅xdx x 210sec tan C x x xd +==⎰1110tan 111tan tan .(8)⎰x x x dx ln ln ln ;解 C x x d x x d xx x x x dx +===⎰⎰⎰|ln ln |ln ln ln ln ln 1ln ln ln ln 1ln ln ln .(9)⎰+⋅+dx x x x 2211tan ;解 ⎰+⋅+dx x x x 2211tan2222211cos 1sin 11tan x d x x x d x +++=++=⎰⎰Cx x d x ++-=++-=⎰|1cos |ln 1cos 1cos 1222.(10)⎰x x dxcos sin ;解 C x x d x dx x x xx dx +===⎰⎰⎰|tan |ln tan tan 1tan sec cos sin 2.(11)⎰-+dxe e x x 1;解 ⎰-+dx e e x x 1C e de e dx e e x x xx x +=+=+=⎰⎰arctan 11122.(12)⎰-dxxe x2;解.21)(212222C e x d e dx xe x x x+-=--=---⎰⎰(13)⎰⋅dxxx )cos(2;解 C x x d x dx x x +==⋅⎰⎰)sin(21)()cos(21)cos(2222.(14)⎰-dx x x232;解CxCxxdxdxxx+--=+--=---=-⎰⎰-2212221223231)32(31)32()32(6132.(15)⎰-dxxx4313;解⎰⎰+--=---=-Cxxdxdxxx|1|ln43)1(11431344443.(16)⎰++dttt))sin((cos2ϕωϕω;解Cttdtdttt++-=++-=++⎰⎰)(cos31)cos()(cos1)sin()(cos322ϕωωϕωϕωωϕωϕω.(17)⎰dxxx3cossin;解CxCxxxddxxx+=+=-=--⎰⎰2233sec21cos21coscoscossin.(18)⎰-+dxxxxx3cossincossin;解)sincos(cossin1cossincossin33xxdxxdxxxxx+--=-+⎰⎰Cxxxxdxx+-=--=⎰-3231)cos(sin23)cos(sin)cos(sin.(19)⎰--dxxx2491;解dxxxdxxdxxx⎰⎰⎰---=--22249491491)49(49181)32()32(1121222xdxxdx--+-=⎰⎰Cxx+-+=2494132arcsin21.(20)⎰+dxxx239;解Cxxxdxxdxxdxxx++-=+-=+=+⎰⎰⎰)]9ln(9[21)()991(21)(9219222222223.(21)⎰-dxx1212;解⎰⎰⎰+--=+-=-dxxxdxxxdxx)121121(21)12)(12(11212⎰⎰++---=)12(121221)12(121221xdxxdxCxxCxx++-=++--=|1212|ln221|12|ln221|12|ln221.(22)⎰-+dxxx)2)(1(1;。