课程设计报告课程名称课题名称专业班级学号姓名指导教师年月日湖南工程学院课程设计任务书课程名称数值分析课题专业班级学生姓名学号指导老师审批任务书下达日期2009 年 5 月 4 日任务完成日期2009 年 5 月18日一、设计内容与设计要求1．设计内容：对课程《计算方法》中的常见算法进行综合设计或应用（具体课题题目见后面的供选题目）。

2．设计要求：●课程设计报告正文内容a.问题的描述及算法设计；b.算法的流程图（要求画出模块图）；c.算法的理论依据及其推导；d.相关的数值结果（通过程序调试)，；e.数值计算结果的分析；f.附件（所有程序的原代码，要求对程序写出必要的注释）。

●书写格式a．要求用A4纸打印成册b．正文格式：一级标题用3号黑体,二级标题用四号宋体加粗,正文用小四号宋体;行距为22。

c．正文的内容:正文总字数要求在3000字左右（不含程序原代码）。

d．封面格式如下页。

●考核方式指导老师负责验收程序的运行结果，并结合学生的工作态度、实际动手能力、创新精神和设计报告等进行综合考评，并按优秀、良好、中等、及格和不及格五个等级给出每位同学的课程设计成绩。

具体考核标准包含以下几个部分：a．平时出勤（占10%）b．系统需求分析、功能设计、数据结构设计及程序总体结构合理与否（占10%）c．程序能否完整、准确地运行，个人能否独立、熟练地调试程序（占40%）d．设计报告（占30%）注意：不得抄袭他人的报告（或给他人抄袭），一旦发现，成绩为零分。

e．独立完成情况（占10%）。

●课程验收要求a．判定算法设计的合理性，运行相关程序，获得正确的数值结果。

b．回答有关问题。

c．提交课程设计报告。

d．提交软盘（源程序、设计报告文档）。

e．依内容的创新程度，完善程序情况及对程序讲解情况打分。

三、进度安排1、班级：信息与计算科学：0601、0602、06032、主讲教师：聂存云3、辅导教师：聂存云上机时间安排：第 12 周星期一 8时：30分——11时：30分星期三 8时：30分——11时：30分星期五 8时：30分——11时：30分第 13 周星期三 8时：30分——11时：30分星期五 8时：30分——11时：30分数理系课程设计评分表教师签名：日期：《计算方法》课程设计供选课题1. 线性代数系统的求解设计（供5人选：学号1-5）一、设计问题：数值求解下面的微分方程。

-u’’=f(x)u(0)=u(1)=0 （1）二、设计内容与方案（1）对上述问题进行离散，得到相应的线性系统（2）采用高斯消去（追赶法）和一种迭代方法（Jacobi或Gausiseidd）求解线性方程组（3）利用Matlab描绘u(x)的图像（对数值解结果）（4）针对（1）并进行一定理论分析问题(1) 对应的每一个精确解，可供一人进行课程设计。

1人u=x2(x-1)21人u=sin(пx)1人u=xsin(пx)1人u=x3(x-1)21人u= x2sin(пx)2. 二维椭圆问题的离散求解（供4人选：学号6-9）一、设计问题：y数值求解下面的微分方程。

-u xx-u yy=f(x,y)1u|аη=0设精确解为u=sin(пx)*sin(пy) ①(2人)u=x2(x-1)2 ②（2人）二、设计内容与方案①区域划分②节点排序（自然排序）③得到离散的线性代数方程组④采用Gauss-Seidel迭代法求解3.非线性问题的求解设计（供4人选：学号10-13）一、设计问题⑴ x2-3x+2-e x=012-x22=0 x2+xy+y=3⑵（3）1x22-x13-1=0 x2-4x+3=0x(0)=(1,1)T二、设计内容与方案⑴设计各种线性收敛的迭代方法求解，然后采用Stiffensen加速方法计算⑵用牛顿迭代方法求解（ⅰ），并与1的结果进行比较。

⑶采用牛顿法迭代求解（ⅱ）⑷采用f(x k)+f’(x k)(x-x k)+(f“（x k）/2!)*(x-x k)2=0方法求解三、设计要求1、每一种方法均必须输出设计的结果2、给出算法流程3、算法描述注：设计题目为（1）（2）为一组（2人）；（1）（3）为一组（2人）每组中的内容(1)(2)(3) 和(1)(2)(4)各供1人4.初值问题的数值求解设计（供4人选：学号14-17）一、设计问题(1) (2 )y’= -50y+50x2+2x y’=-1/x2-y/x,0≤x≤1 1≤x≤2 y(0)=1/3 y(1)=1准确解为y(x)=（1/3）*e-50x+x2二、设计内容与方案①采用Euler方法求解②采用改进的Euler方法求解③采用梯形公式法求解④四阶Runge-Kutta方法求解三、设计要求1、得到各剖分节点处的精确解、近似解、误差2、进行一定的理论分析每一问题可供2人，分别为（1）（2）(3) 供1人；（1）（2）(4) 供1人5.Runge现象及其修正方法设计（供2人选：学号18-19）一、内容：插值被插值函数 (供不同同学选择)①f(x)=1/(1+x2) x∈[-5,5]②f(x)=1/(1+5x2) x∈[-1,1]二、要求⑴采用Lagrange插值：将[-5,5]分成10等分Δx=X i=-5+(i-1)h, i=1、2....、n得到L10(x),验证Range现象，利用Matlab绘出插值函数L10(x)d的图像⑵采用分段线性插值：将[-5,5]分成10等分，Δx=(5-(-5))/10=1在第i个子区间上有：[x i-1,x i]L’i(x)= - 计算函数值L1i(0.5);利用Matlab绘图分段线性插值函数的图像⑶从理论上给出（2）的插值误差估计结果6. 对称矩阵的条件数的求解设计（供4人选：学号20-23）一、求矩阵A的二条件数问题1 A=问题2 A=二、设计内容：1 采用幂法求出A的.2 采用反幂法求出A的.3计算A的条件数ⅡAⅡ2*ⅡA-1Ⅱ2=cond2（A）=/.（精度要求为10-6）三、设计要求1、求出ⅡAⅡ2。

2、并进行一定的理论分析。

每个问题可供2人设计内容1，3 供1人；设计内容2 供1人7. 数值积分方法的加速和自适应算法设计（供10人选：：学号24-33）一、设计内容1、数值积分加速收敛方法。

2、自适应选取求积步长二、设计问题x21、I=x dx2、I=3、-1dx4、I= 其中令=15、I=三、设计方案1、简单梯形/Simpson公式求积2、复化梯形/Simpson公式求积3、对复化梯形公式的结果，进行Romberg算法得到数值积分的加速4、对复化梯形公式（3点）根据给定的精度ξ=10-6，设计自适应选取积分步长5、采用高斯公式求积6、从理论上给出2、3中的误差估计，并列出相应的精确值、近似值、误差。

设计方案中的梯形公式, Simpson 公式各供1人，每个设计题1人1． ⎩⎨⎧==<<=+-1)1(,0)0(10'''u u x f bu au实验中，考虑如下情形 (i) a=1 和 b=0,(ii) a=1 和 b=1 , (iii) a=1 和 b=-1 ,(iv) ⎩⎨⎧≤<≤≤=15.025.001x x a a=1 和 b=0 .取f=0.2．dx x f ba⎰)(实验中可取a=0,b=1, x e x f =)( 分别利用如下方法，验算相应的精度： (i)复化梯形(ii) 复化辛普生公式(iii) 对复化梯形构造自适应算法(iv) 对复化辛普生公式构造自适应算法(v)对于二重、三重积分情形考虑复化中矩形公式，⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩdxdy z y x g dxdy y x f ),,(,),(。

3．（i ） ⎪⎩⎪⎨⎧==<<=-1)1(,0)0(10)('u u x fdx du a dx d其中 a(x)=1.0（ii ） ⎪⎩⎪⎨⎧==<<=-1)1(,0)0(10)(u u x f dx du a dx d其中⎩⎨⎧≤≤<≤=15.05.05.001)(x x x a（iii ） ⎪⎩⎪⎨⎧==<<=-1)1(,0)0(10)(u u x f dx du a dx d其中x x a =)(.（iv ） ⎪⎩⎪⎨⎧==<<=-1)1(,0)0(10)(u u x f dx du a dx d其中⎩⎨⎧≤≤<≤=15.01005.00)(x x x x a4．利用(i) 向前Euler 方法 求解 1)0(,10,1'=≤≤+-=y x y y (ii) 向后Euler 方法 求解 1)0(,10,2'=≤≤+-=y x x y y (iii) 改进的Euler 方法 求解 1)0(,10,1'=≤≤++-=y x x y y (iv)考虑如下迭代方法（二阶R-K 方法）求解1)0(,10,1'=≤≤++-=y x x y y),(),21,21(,11221k k k k k k y x hf k k y h x hf k k y y =++=+=+5．求解0)(=x f 的根（1） 简单迭代方法 xe x xf --=)(，5.00=x加速技术1： )(11k k k k x x x x --=-+ω，)6.01/(6.0+=ω 加速技术2：Aitken 2∆加速))()/(()(:11111+-+++-----=k k k k k k k k x x x x x x x x（2） 单点和双点弦截法，尝试加速因子ω，20102)(23-++=x x x x f（3） 二分法 2)2/(sin )(x x x f -=在[1.5,2]的根。

（4） 牛顿法 20102)(23-++=x x x x f修正的牛顿法 x x x x f +-=232)()()('1k k k k x f x mf x x -=+ m 为重根数。

6、情形（i ）⎩⎨⎧=<<=∆-otherwiseu y x fu ,01,0情形（ii ）⎩⎨⎧=<<=--otherwiseu y x fu u yy xx ,01,0ε采用五点差分格式（两种） 含网格剖分（两种以上）、形成离散格式、数值求解、数值结果分析。

7．考虑区域]1,0[]1,0[⨯=Ω的网格剖分技术与局部加密技术。

（给出矩形区域、圆形区域、正规和扭曲、局部加密）8．对问题⎩⎨⎧=<<=∆-otherwiseu y x f u ,01,0若（i ）u 为调和函数，验算如下格式为六阶格式。

（ii ）u 为一般函数，验算如下格式为二阶格式。

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--------1414204141（见专业英语书P50） (iii) u 为一般函数，验算如下格式为二阶格式。