在1a b c ++=条件下的不等式探究
在有关不等式的题目中，笔者发现有一类不等式，它的成立是建立在1a b c ++=的条件之下的，形式多种多样，但万变不离其宗，它的成立都离不开1a b c ++=这一条件。

在本文中，笔者就是对这一类不等式作了一些研究。

发现这一类不等式虽然解法也是形式各样,但是都离不开如何利用好1a b c ++=这一条件。

利用好1a b c ++=这一条件，那么这一类不等式的解法就是手到擒来。

【例1】 已知,,a b c 是正数且1a b c ++=，求证：2221
3
a b c ++≥ 分析：这是一个对称不等式，取等号的条件应为：13
a b c ===，笔者在研究这个不等式的时候，通过研究1a b c ++=这个条件发现这个不等式的的证明方法有很多，下面我们来一一研究。

我们利用代入、比较和配方，就可以得到以下三个证法。

证法1：
因为 ()()()2
222222
133
a b c a b c a b c ++++-=++-
222
1
2222223
a b c ab bc ca ⎡⎤=++---⎣⎦ ()()()222
103a b b c c a ⎡⎤=-+-+-≥⎣
⎦ 所以 2221
3a b c ++≥（当且仅当13
a b c ===时取等号）。

证法2：
因为 ()()2
2222a b c a b c ab bc ca ++=++-++ ()22212a b c ≥-++
所以 22213a b c ++≥（当且仅当13
a b c ===时取等号）。

证法3：
因为 ()2
222221a b c a b a b ⎡⎤++=++-+⎣⎦
()2222221a ab b a b =++-++ 2222111()()()3
3
3
3
a b a b =+-+-+-+ 13
≥
所以 22213
a b c ++≥（当且仅当13
a b c ===时取等号）。

我们利用换元法，又可以得到以下二种证法。

证法4：
令 123111,,3
3
3a t b t c t =+=+=+，则1230t t t ++=， 222222123111()()()3
3
3
a b c t t t ++=+++++ 222123123121()()3
3
3
t t t t t t =++++++≥ 当且仅当1230t t t ===，即1
3
a b c ===时取等号。

证法5：
令222a b c t ++=，即222a b t c +=-，
设22,a t c b t c θθ=-=-，代入1a b c ++=得
2(cos sin )1t c c θθ-+=-
所以有2
sin()4
2t c
πθ+=
-
由
2
112c
t c -≤- 得23111()2333t c ≥-+≥，即2221
3a b c ++≥
当且仅当13
a b c ===时取等号。

我们还可以应用函数、方程和数形结合的数学思想，就可以得到下面三种证法：
证法6：
令2221()3
f a a b c =++-，则
2221
()[1()]3
f a a b a b =++-+-
222
22(1)223
a b a b b =+-+-+
因为 222214(1)8(22)12()033b b b b ∆=---+=--≤
所以 ()0f a ≥，即22213a b c ++≥，当且仅当1
3
a b c ===时取等号。

证法7：
令222a b c t ++=，将1()c a b =-+ 代入得
2222(1)2210a b a b b t +-+-+-=
这个关于a 的方程有实根，则有 224(1)8(221)0b b b t ∆=---+-≥ 即 2128480b b t -+-+≥ 所以 23111()2333
t b ≥-+≥
即22213a b c ++≥，当且仅当13
a b c ===时取等号。

证法 8： 令222a b c t ++=，
则直线1a b c +=-与圆2221a b c +=-应有公共点，故
212
c t c -≤-所以 2213111(1)()22333t c c c ≥+-=-+≥
即22213a b c ++≥，当且仅当1
3
a b c ===时取等号。

如果我们熟悉柯西不等式的话,那这个不等式还可以直接利用柯西不等式来证明 证法9:
22222222223()()(111)()1a b c a b c a b c ++=++⨯++≥++=
所以有2221
3a b c ++≥，当且仅当13
a b c ===时取等号
【例2】 设,,a b c 都为正数，且1a b c ++=，证明：222231a b c abc +++≤
证明：我们把1a b c ++=代入不等式222231a b c abc +++≤，得
222223()()a b c abc a b c a b c +++++≤++
即只需要证明：
3()ab bc ca abc a b c ++≥++注意到有：
222222222222222222a b b c ab c b c c a abc c a a b a bc
+≥+≥+≥ 所以：
222222222a b b c c a ab c abc a bc ++≥++ 因此：
2222()3()3()ab bc ca a bc ab c abc abc a b c ++≥++=++ 所以：
3()ab bc ca abc a b c ++++因此原不等式成立，当且仅当1
3
a b c ===时取等号
【例3】设,,a b c 都为正数，且1a b c ++=，证明：
3
2
a bc
b ca
c ab a bc b ca c ab ---++≤+++ 证明：
要证明 3
2
a bc
b ca
c ab a bc b ca c ab ---++≤+++ 即是要证明
3
2
a bc
b ca
c ab a bc b ca c ab ---++≥+++
因为1a b c ++=，所以有
()()()a bc a a b c bc a b a c +=+++=++ ()()()b ca b a b c ca a b b c +=+++=++ ()()()c ab c a b c ab a c b c +=+++=++ 所以要证明
3
2
a bc
b ca
c ab a bc b ca c ab ---++≥+++ 即是要证明 4443()()()()()()
bc ca ab
a b a c a b b c a c b c ++≥++++++
即是要证明
2222226a b ab b c bc c a a c abc +++++≥ 由均值不等式可得
622222222222266a b ab b c bc c a a c a b ab b c bc c a a c abc +++++≥•••••=
所以原不等式成立，当且仅当1
3
a b c ===时取等号。

【例4】 设,,a b c 都为正数，且1a b c ++=，证明： (1)(1)(1)8(1)(1)(1)a b c a b c +++≥--- 证明：
因为1a b c ++=，所以有
1(1)(1)2(1)(1)a b c b c +=-+-≥-- 1(1)(1)2(1)(1)b c a c a +=-+-≥--1(1)(1)2(1)(1)c a b a b +=-+-≥--
所以有
(1)(1)(1)2(1)(1)2(1)(1)2(1)(1)8(1)(1)(1)a b c b c c a a b a b c +++≥---------
所以有
(1)(1)(1)8(1)(1)(1)a b c a b c +++≥---
当且仅当1
3
a b c ===时取等号。

由上面的例子可以看出，例1虽然不是一道很难的题目，只是在1a b c ++=条件下一个比较简单的不等式，
我们通过对这一道简单的不等式的探究我们就发现了九种证明这个不等式的方法，这个证明方法可谓多种多样，但是这么多的证明方法，都是紧扣着1a b c ++=这一条件，观察上面的各种证明方法，无论是代入法、比较法、配方法和换元法，还是利用用函数、方程和数形结合的数学思想，亦或是利用柯西不等式，都只是怎么利用好1a b c ++=这一条件。

例2也是巧妙的把
1a b c ++=这一条件代入。

例3和例4则更是通过利用1a b c ++=，把
原不等式进行拆分变形，水到渠成。

所以我们找到这一类不等式的解法，要证明这一类不等式，一定要好好把握1a b c ++=这一条件，这是证明这一类不等式的关键。

参考文献：
1. 陆建强.高考聚焦百问百题[M], 苏州大学出版社, 2003
2. 田林.用好1a b c ++=，巧证不等式[J],数学通讯, 2003(24)。