1实验案例 (1)1.1案例：节水洗衣机 (1)1.1.1问题重述与分析 (2)1.1.2基本假设及说明 (2)1.1.3符号和变量说明 (2)1.1.4建模准备 (3)1.1.5模型建立 (4)1.1.6模型求解 (4)1.1.7思考题 (10)1实验案例1.1 案例：节水洗衣机问题：1996年全国赛B题节水洗衣机我国淡水资源有限,节约用水人人有责，洗衣机在家庭用水中占有相当大的份额，目前洗衣机已非常普及，节约洗衣机用水十分重要。

假设在放入衣物和洗涤剂后洗衣机的运行过程为：加水—漂洗—脱水—加水—漂洗—脱水—…—加水—漂洗—脱水（称“加水—漂洗—脱水”为运行一轮）。

请为洗衣机设计一种程序（包括运行多少轮、每轮加水量等），使得在满足一定洗涤效果的条件下，总用水量最少。

选用合理的数据进行运算，对照目前常用的洗衣机的运行情况，对你的模型和结果出评价。

洗衣机的节水优化模型摘要本文通过分析洗衣机的洗衣过程，认为是一次性溶解、多次稀释的过程。

据此建立非线性规划模型，并利用迭代公式和最优化原理，得出最少用水量的判断公式和代数解。

以海棠洗衣机为例，通过对比，利用我们的模型算出的用水量比厂家提供的数据要少，从而说明所建模型的优越性。

最后，根据模型解，给出最少用水量与脏衣服的重量的关系图，并从中得出有趣的结论，也给厂家提供一个节约用水的模型。

1.1.1问题重述与分析对洗衣机的运行进行设计，主要目的是为了节约用水量。

在满足洗涤效果的前提下使得用水量最少。

因此，这是一个典型的最优化问题，目标为洗衣总用水量最少，主要的决策为洗多少轮以及每轮加水量的问题。

而一般洗衣只是第一次加水漂洗时才放洗涤剂，而过后则是清水漂洗，通过化学原理，可以将第1轮洗涤后的各轮洗涤看成是不断的稀释过程。

为了评价洗涤效果，可用衣服上残留的污物质量与洗涤前污物质量之比作为评价指标。

在设计每轮加水量时，要考虑洗衣机本身洗衣同的最大容积，运行的最低加水量。

1.1.2基本假设及说明1．洗衣机一次用水量有最高限和最低限，能连续补充在限度内的任意水量；2．洗衣机每轮运行过程为：加水－漂洗－脱水；3．仅在第一轮运行时加上洗涤剂，在后面的运行轮中仅有稀释作用；4．洗衣时所加的洗涤剂适量，漂洗时间足够，能使污垢一次溶解，忽略不能溶解的污垢；5．脱水后的衣服质量与干衣服的重量成正比；6．每缸洗衣水只用一次；1.1.3符号和变量说明A：污物的质量（kg）；i ρ：第i 轮运行时污物浓度（kg/升）；n ：洗衣服时洗衣机运行轮数（次）； i x ：第i 轮用水量（升）；M ：干衣服的质量（kg ）； m ：衣服脱水后衣服含水质量（kg ）；ε：衣服的清洁度（常量，洗衣的衣服上污量与0A 之比）；S ：洗一次衣服的总用水量（升）； m ax M ：洗衣机一次洗衣的最大量（kg ）；α：脱水后衣服含水质量与干衣服质量比（常数）；显然M m α= m ax V ：洗衣机一次注水最高限（升）；m in V ：衣服完全浸泡的状态下为洗衣机能正常运行需注入的最低水量（升）；β：单位质量的衣服完全浸泡最低所需水量（常量）； 1.1.4 建模准备（1） 由化学中的洗涤原理知，有助于洗涤作用的三个因素：1、 表面活性（以肥皂为代表的活性剂产生洗涤作用的各种物质之通称）；2、 界面电（配入洗涤剂中的碱和磷酸盐等无机助剂的作用）；3、 机械力和流水力（由于水的流动产生机械力）在洗衣过程中，一般之在第一次加入洗涤剂，在第二次及以后，不再加入洗涤剂，从而，使有助于洗涤的三个因素的前两个不存在，只剩下水的流动力的作用，洗涤作用因此很微弱。

于是假设污物的第一次被洗涤，接下来的过程只是污物的稀释过程是合理的。

（2）实际生活经验可知，在衣服完全浸泡的基础上，洗衣机还需有一定的富裕水量m in V 才能使其正常运行。

一种衣服完全浸泡所需水量是衣服质量的β倍，则质量为M 的衣服使洗衣机能洗的最少水量M V M V β+=min min )(。

脱水后剩下水量是衣服质量的α倍，M m α=。

对于普通衣服βα,可视为常数。

实验测定1kg 混合干衣服浸泡所需水量，脱水后衣服含水量与干衣服质量之比，如表1。

M0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 水量 2.56 5.02 7.48 9.87 12.3 15.7 18.6m0.3 0.61 0.92 1.20 1.52 1.88 2.15计算可得0.5;60.0==βα。

各次运行时，污物的浓度为：mx mmx mmx m x A n n n +=+=+==-1323212101,,,,ρρρρρρρ ，经过迭代得到)())((32110m x m x m x x m A n n n +++=- ρ 1.1.5 模型建立根据以上分析，可以建立解决洗衣机节水的非线性最优化模型。

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≤+≤≤≤≤+++==∑=.,,3,2,)()()())((..min maxmin max 1min 032101n i V m x M V V x M V A m x m x m x x m A m t s x S i n nn ni iερ（1）1.1.6 模型求解 1.1.6.1 解析求解如果（1）存在最优解**2*1,,,n x x x ，则可以证明m x m x x n +==+=**2*1 （证明从略）。

n 的取值讨论ε≤++)()(**2*1m x m x x m n n（1） 当),,3,2(,1n i m x x i =+刚好为)(min M V ，则有最多洗涤轮数。

由()ε<nnM V m )(min ，得1)(ln ln min max +⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=M V m n ε （2） 当),,3,2(,1n i m x x i =+刚好为m ax V ，则有最少洗涤轮数。

由()ε<nnV m max ，得1ln ln max max+⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=V m n ε综上所述，n 的取值范围为max min n n n ≤≤。

1.1.6.2 其他求解方法所建立模型为非线性最优化模型，故这里采用Matlab 求解非线性规划的函数fmincon 求解。

1.1.6.3 数据初始化程序init1996b.m%1996B 洗衣机节水模型 %参数与数据初始化 %af =0.60;%脱水后衣服含水质量与干衣服质量比（常数）beta = 5.0;%单位质量的衣服完全浸泡最低所需水量（常量）； Vmin = 24;%衣服完全浸泡的状态下为洗衣机能正常运行需注入的最低水量（升）；ef= 0.001;%衣服的清洁度（常量，洗衣的衣服上污量与之比）；M = 5;%干衣服的质量（kg）；m = af*M;%衣服脱水后衣服含水质量（kg）VminM = beta*M + Vmin;Vmax = 60;%洗衣机一次注水最高限（升）；1.1.6.4 模型求解程序（根据n穷举求解）程序：solv1996_1.m%initinit1996bNmin = fix( log(ef)/ log((m/Vmax)) ) + 1 Nmax = fix( log(ef)/ log(m/VminM) ) + 1opti_s = 1e6;for n= Nmin:Nmax,t1= m/(ef)^(1/n)t2= VminMonex= max(m/(ef)^(1/n),VminM);S = n*onex-(n-1)*mx=[];x(1)=onex;if n>=2,for i=2:n,x(i)=onex-m;endend%test=sum(x)-S;if S < o pti_s,opti_n = n;%洗衣轮次opti_s = S;%存储最少所需水量opti_x = x;endendopti_nopti_sopti_xm1.1.6.5 模型求解程序（直接非线性规划求解）目标函数m文件：myobj1996b.mfunction r=myobj1996b(x)%1996年B题目标函数：总需水量r= sum(x);约束条件m文件：mycon1996b.mfunction [C,Ceq]= mycon1996b(x)%1996年B题采用非线性规划求解算法求解的约束条件函数global m ef %全局变量n= length(x);%洗衣轮次tmpX = x(1);%x1if n>=2,for i=2:n,tmpX=tmpX*(x(i)+m);%x1*(x2+m)*(x3+m)*...*(xn+m) endendC=m^n -tmpX*ef ;%只有一个约束，决策变量约束用fmincon的参数lb,ub来处理%C=m^n/tmpX - ef ;%只有一个约束，决策变量约束用fmincon 的参数lb,ub来处理Ceq=[];主程序：solv1996b_2%1996B洗衣机节水模型%参数与数据初始化%initinit1996bNmin = fix( log(ef)/ log((m/Vmax)) ) + 1 Nmax = fix( log(ef)/ log(m/VminM) ) + 1opti_s = 1e6;for n=Nmin:Nmax,%穷举所有可能洗衣次数的模型lb=[];ub=[];lb(1)= VminM;ub(1)= Vmax;if n>=2,for j=2:n,lb(j) = VminM- m;ub(j) = Vmax-m;endendlbub[x,fval,exitflag]=fmincon('myobj1996b',VminM*ones (1,n),[],[],[],[],...lb,ub,'mycon1996b')if fval < opti_s,opti_n = n;opti_s = fval;opti_x = x;endendopti_nopti_sopti_xm1.1.6.6 解析法运行结果：solv1996b_1Nmin =3Nmax =3t1 =30t2 =49S =141opti_n =3opti_s =141opti_x =49 46 46m =31.1.6.7 直接非线性规划求解运行结果solv1996b_2Nmin =3Nmax =3lb =49 46 46ub =60 57 57Warning: Trust region method does not currently solve this type of problem,switching to line search.> In E:\MATLABR11\toolbox\optim\fmincon.m at line 190In F:\PROGRAM\mbook\solv1996b_2.m at line 24Optimization terminated successfully:Search direction less than 2*options.TolX andmaximum constraint violation is less than options.TolConActive Constraints:123x =49 46 46fval =141exitflag =1opti_n =3opti_s =141opti_x =49 46 46m =3结果对比发现，两种求解方法得到的洗衣方案相同，均洗3轮，共需水141，第1，2，3轮分别加水49升，46升，46升。