2017 高考全国卷及自主招生数学高考真题
线性规划专题真题整理（附答案解析）
x 3y 3,
1.
（ 17 全国卷 I ，文数
）设 x ，y 满足约束条件 x
y 1, 则 z=x+y 的最大值为（
）
7 y
0,
A ． 0
B ． 1
C ．2
D ．3
答案： D
解析：如图，由图易知当目标函数
z x
y 经过
直线 x 3 y 3 和 y 0 （即 x
轴）的交点 A(3,0) 时，
z
能取到最大值，把 A(3,0) 代入 z=x+y 可得
z max 3 0 3 ，故选 D.
x 2 y 1
2.（17 全国卷 I, 理数 14 题）设 x ，y 满足约束条件
2x y 1，则 z 3x 2 y 的最小值
x
y 0
为
答案： 5
x 2 y 1
解析：不等式组
2x y
1
表示的平面区域如图所示。
x y 0
由 z 3x 2 y 变形得 y 3 x
z。
要求
z
的最小值，
2
2
即求直线 y
3 x z
的纵截距的最大值。
由右图，易知
2 2
当直线 y
3 x z
过图中点 A 时，纵截距最大。
2
2
联立方程组
2 x y
1
，此时 z
3(1)
2 1
5 。
x 2 y 1
，解得 A 点坐标为 ( 1,1)
故 z 3x 2 y 的最小值是 -5.
2x+3y 30
3. （17 全国卷Ⅱ，文数 7、理数 5）设 x、y 满足约束条件2x 3 y 3 0 .则z2x y的
y 30
最小值是（）
A.-15 C.1D9
答案： A
2x+3y 30
解析：不等式组2x 3y 30 表示的可行域如图所示，
y30
易知当直线z
2x y 过到y
2
x 1与 y
3
交点
3
6 ，3
时，目标函数 z2x y 取到最小值，此时有
z min 26315 ，故所求z
最小值为15．
）设，满足约束条件
3x 2 y60
的取值范围是
4. （17 全国卷Ⅲ，文数 5
x0，则
z=x-y x y
y0
()
A.[-3,0]
B.[-3,2]
C.[0,2]
D.[0,3]
答案： B
解析：绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数
的几何意义可得目标函数z x y 在直线3x 2y 60 与= -
直线 x0 （即x
轴）的交点A0,3处取得最小值，
此时 z min0 3 3。
在点B2,0处取得最大值，此时 z max 2 0 2 . 故本题选择 B 选项 .
5.（17 全国卷Ⅲ，理数13）若 x，y 满足约束条件x y 0
x y 2 0 则z3x 4 y 的最小值为y 0
________．
答案： 1
x y 0
解析：由题意，画出不等式组 x y 2 0 表示的可 y 0
行域如图所示：
目标函数为 z
3 x
4 y ，则直线 y
3
x
z
4 4 纵截距
越大， z
值越小．由图可知：目标函数
z
在两直线
x y
0 和 x
y
2
的交点
A 1,1
处取最小值，
故 z min
3 1
4 1 1 ．
x-2y+5 0
6（. 17 年，山东卷，文数 3）已知 x,y 满足约束条件 x+3
0 则 z=x+2y 的最大值是（
）
y 2
答案： D
x-2y+5 0
解析：由不等式组
x+3 0
A
画出可行域，
y
2
及直线 x
2 y
0 ，如图所示：
平移 x 2 y 0 发现，当其经过直线 x-2y+5 0 与 y
2 的交点 A ( 1,2) 时，目标函数
z=x+2y 取最大值 ，最大为 z max
1 2 2
3，选 D.
x y 3 0
7.（17 年，山东卷，理数
4）已知 x, y 满足 3x+y 5 0 ，则 z x 2 y 的最大值是 ()
x
3 0
（A ）0
（B ）2 （C ）5 （D ）6
A
答案： C
解析：根据不等式组
x
y 3 0
3x+y 5
画出可行域及直
x 3 0
线 x
2 y 0 图象，如右图所示。
平移 x 2y 0 发
现，当其经过直线 x y
5 0与 x x
3
3
A( 3,4) 时，目标函数 z x 2 y 取最大值，最大值为 z max 3 2 4 5，故选C.
x 3,
8.（17 年，北京卷，文数、理数4）若x, y
满足x y 2, 则 x 2 y 的最大值为（）y x,
答案 D
x3,
x 3
y x
解析：令 z x 2 y ，画出不等式组x y2, 表示x y2
3,3
y x,
的可行域及直线 x 2 y0 ，如右图所示。
x2y0
易知当目标函数过点 A 3,3 时，z x 2 y 可以
取到最大值。
此时， z max 3 2 39 。
故选D。
9.（17 年，天津卷，文数 16）某电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需
要播放广告 . 已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：
连续剧播放时长（分钟）广告播放时长（分钟）收视人次（万）甲70560
乙60525已知电视台每周安排甲、乙连续剧的总播放时间不多于600 分钟，广告的总播放时间不少于 30 分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的 2 倍. 分别用 x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.
（I）用 x ，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（I I ）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？
70x60 y 600,7x6y60,
5x 5 y 30,x y6,解析：（Ⅰ）由已知， x, y 满足的数学关系式为 x 2 y,即 x 2 y0,
x0,x0,
y0,y0,该二元一次不等式组所表示的平面区域为图 1 中的阴影部分：
（Ⅱ）设总收视人次为 z 万，则目标函数为 z
12 z z
60x 25y ，变形得 y
x
，其中
5
25
25
是直线 z 60x 25 y 在 y
轴上的截距，且仅当
z
取最大值时 z 也取到最大值。
因为 x 、
25
M 时，截距
z
y
满足线性约束条件，由（图二）可知当目标函数直线经过点
最大，此
25
7x 6 y 60 3 ，所以 M 坐标为 6,3 。
时 z 最大。
解方程组
2 y
得 x 6, y x 0
所以，电视台每周播出甲连续剧
6 次，乙连续剧 3 次才能使总收入人次最多。
2x y
0,
10.（17 年，天津卷，理数 2）设变量 x, y 满足约束条件 x 2 y
2 0,
则目标函数 z x y
x 0,
y 3,
的最大值为（
）
2 3
A.
C.
3
2
答案： D
2x y 0
x 2y 2
0,3
解析：不等式组表示的可行域如右图阴影部分
y 3
所示， x y 0 的图象如图中虚线所示。
易知
当目标函数 z
x y 过点 P 0,3 时取最大值，
y
x
最大值为 z max0 3 3。
故选D。
x0
11. （17 年，浙江卷， 4 题）若 x, y满足约束条件 x y30 ，则 z=x+2y 的取值范围是
x2y0
A ．[0,6]B．[0,4]C．[ 6，+∞）D．[ 4,)
答案： D
解析：不等式组表示的可行域如右图阴影部分
所示。
由 z x 2 y 得 y 1 x 1
z ，令z0 作出
22
x 2y 0 的图象，易知 z x 2 y 过点 P(2,1)时有最小值，因为可行域是开放区域所以无最大值。
x y 3 0
x 2y 0
x 2y 0
P(2,1)
∴ z min2214
∴ z x 2 y 的取值范围为
[4,+∞）。
故选。
D。