把试点安排在黄金分割点来寻找最佳点的方法,就是 黄金分割法.
• 案例 炼钢时通过加入含有特定化学元素的材料,使 炼出来的钢满足一定的指标要求。假设为了炼出某 种特定用途的钢，每吨需要加入某些元素的重量在 1000g到2000g之间，问如何通过试验的方法找到它 的最优加入量。
最朴素的想法是:以1g为间隔,从1001开始,直到 1999,把1000g到2000g的所有情况都做一遍实验, 一定可以得到最优值.
二试对折重合点; 留下含好那一段; 按此办法反复做;
每次打折六成多, 直到结果满意止;
何时才算满意呢?
什么时候结束我们的试验呢?这要看你要求试验达到 什么精度.
定义:存优范围与原始范围的比值叫做精度.
δn=
第n次试验后的存优范围 原始的因素范围
δn=0.618n-1
例如:若要求精度达到0.05.要做多少次试验呢?
用黄金分割法的操作步骤如下:
用一张纸条表示1000-2000g,以1000为起点标出刻度, 找出它的黄金分割点x1作为第一试点; 对折纸条,找出x1的对称点x2作为第二试点; 用黄金分割常数计算出两个试点对应的材料加入量:
1000 1382 1618 2000
x2
x1
试验点的选取：
x1=小+0.618×(大－小)……(1)
0 1-x x
1 0 2x-1x-1 x
(1-x)/1=(2x-1)/x,即x2+x-1=0,得x≈0.618. 这就是黄金
分割常数。
黄金分割常数用ω表示，我们常常取近似值，记作ω=0.618
怎样用黄金分割常数来缩小因素范围[a,b]，从而找到最佳点呢? 这是我们今天要解决的问题.
黄金分割法---0.618法
黄金分割法—0.618法
1974年，数学家华罗庚(左3)在农村推广优选法
什么是线段的黄金分割点？
A
C
B
如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，若AC2=BC×AB， 则称点C为线段AB的黄金分割点。
线段AC与AB的比值是多少?
A
C
B
设线段AC=x,为了计算方便,不妨设AB=1.
不难得出:x2+x-1=0 解之:x≈0.618
x2=小+大－x1
……(2)
对于(2)来说,相当于“加两头,减中间”.
一般公式：xn=小+大－xm
比较两次实验结果,如果x2是好点,则将纸条沿 1618处剪断,去掉1618以上的部分,保留1618以下 的部分.
重复上面的步骤,找出x2的对称点x3作为第三试点. X3=1000+1618-1382=1236 (第三次加入材料1236g)
尽快的找到最佳点的两个原则是什么？
（1）每次要进行比较的两个试验点，应关于相应试验区间的中 心对称；（2）每次舍去的区间占舍去前的区间长度的比例数应 为相同。
• 根据上面的两个原则:
(b-x1)/(b-a)=(x1-x2)/(x1-a)
a
x2 x1
b
a x3 x2 x1
• 为了简单起见，可以假设试验区间为[0,1].
一般公式：xn=小+大－xm
0.618n-10.05 .lg0.618
+1≈7.22
所以,只要安排8次试验,就可以使精度达到0.05.
精度计算公式:
n≥ . lgδ
.lg0.618
+1
其中,δ为精度.
小结:
1、黄金分割法适应于目标函数为单峰的情形. 2、第一个实验点确定在因素范围的0.618处.
3、后续实验点用“加两头，减中间”的方法来确 定.
1000
1236 1382
1618
x3
x2
如果第二试点仍是好点,则剪掉1236以下的部分,
在留下的部分内找出x2的对称点x4作为第四试点.
1236 1382 1472 1618
x3
x2
x4
x1
重复上面的步骤,最佳点被限制在越来越小的范围内, 即存优范围越来越小.
上面的过程可以总结如下:
一试零点六一八, 对准差点切一刀, 再试好点对称处,