, ( k 0,1, 2, 3)
4
1 i
8
w1
即
w0 w1 w2 w3
8
y
1+i
2 co s i sin 16 16
,
2
8
8
9 9 2 co s i sin , 16 16 1 7 1 7 2 co s i sin , 16 16 2 5 2 5 2 co s i sin . 16 16
当 k 0 时， 0 2 (cos

3

3
) 1 3i ，
当 k 1 时， 1 2 (cos i sin ) 2 ， 当 k 2 时， 2 2 (cos
5 3 i sin 5 3
3
) 1 3i
我们知道，在实数域内， 8 只有一个值 2 ，而在复数域内， 8 有三个根，且它们是内接于中心在 原点，半径为 2 的圆的正三角形的三个顶点
即
z 3 z1 z 3 z 2 z 3 z1 z 2 z1 z 2 z1 z 2 z1 z 2 ，
2 2 2
所以
z1 z 2 z 3 z1 z 2 z 2 z 3 z 3 z1 0 .
2 2 2
二、 乘方与开方运算（幂与根 ） 1）乘方
z r e
无限集合, 两边的集合相等, 即每给定等式左边的一个
数, 就有等式右边的一个数与之对应, 反之亦然.
例：设 z1 1 ,
z 2 i . 则： z z i e 1 2
i

2
;
A rgz1 2 n ,
A rg z 2

2
2
2 m ,
2k
A r g z1 z 2 A r g z1 A r g z 2
2
定理1 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积, 两个复 数乘积的幅角等于它们幅角的和.
y
z1 z 2
r1 r2
r2
乘法的几何意义: 几何上 z1z2 相当 于将 z2 的模扩 大 |z1| 倍并旋转
iz1
1 2
1
z2
z1
2 z1
1
2
r1
一个角度Arg z1 .
0
1
x
等式 Arg(z1z2)=Arg z1+Arg z2的意思是等式的两边都是
2
w0 x
w2
O
8
8
w3
四个根是内接于中心在原点半径为21/8的圆的正方形 的四个顶点.
例3 求
3
8.
解 因为 8 8 (cos i sin )， 所以
3
8
3
8 (cos
2 k
3
i sin i sin
2 k
3
) ( k 0，， ) . 1 2
n n
in
r
n
co s n
i sin n

令|z|=1,则得到 德莫佛(De Moivre) 公式：
co s
i sin

n
co s n i sin n
2 ）开方:
若满足 w
n
z
记为
则称w为z的n次方根, 于是
w
iArg z
n
z .
w e
n
inArg w
§1.3 复数的乘幂与方根
一、乘积与商
z 1 r1 e
i 1
z 2 r2 e
i 2
z1 z 2 r1 r2 e
i ( 1 2 )
| z 1 z 2 | r1 r2 | z 1 || z 2 | Arg ( z 1 z 2 ) Argz 1 Argz
3


3
后得到的向量 z 1 z 3 或 z 1 z 3 的终点 z 3 或 z 3 即
为所求. 根据复数的乘法，有
z 3 z 1 (cos

3
i sin

3
)( z 2 z 1 )
1 3 ( i )( 1 i ) 2 2
1 3 1 3 ( )( )i ， 2 2 2 2

则有
即
3 2
k,m ,n Z

2

2 ( m n )
2 k ,
k=m+n+1
按照乘积的定义, 当z10时, 有
z2 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z1 z2 A rgz2 A rg A r g z1 z1
z1
证
如图，向量 z

1
z2
旋转 得到向量 z
3

1
z3
，向量 z
2
z3
旋转 得到向量 z
3

2
z1
，由于复数 e 的模为 1，
3
i

辐角为 .( z 2 z 1 )， z 1 z 2 e 3 ( z 3 z 2 ) ，
i

i

由此得
z 3 z 1 ( z 3 z 2 ) ( z 2 z 1 )( z 1 z 2 ) .
所以
3 3 1 3 z3 ( )( )i . 2 2 2 2
同理，若转角为 ，可得
3
3 3 1 3 z3 ( ＋ )( － )i 2 2 2 2

例2
设复数 z ，z ，z 对应等边三角形的三个顶点，证明：
1 2 3
2 2 2 z1 z 2 z 3 z1 z 2 z 2 z 3 z 3 z1 0 .
3
0

z2 z2 z1 z1 z2 A rg A r g z 2 A r g z1 z1
z2
;

r2 r1
e
i ( 2 1 )
z1
定理2 两个复数的商的模等于它们的模的商, 两个复数 的商的辐角等于被除数与除数的幅角之差.
解
如图，将向量 z 1 z 2 逆时针旋转 或
ze
推得
w n z a rg z 2 k A rg w n ( k 0,1, 2, , n 1)
从而
n
z
1
i n
arg z 2 k n
z
e
r
n
arg z 2 k arg z 2 k i sin cos n n
( k 0,1, , n 1)
几何解释：z1/n的n个值就是以原点为中心, r1/n为半径 的圆的内接正n边形的n个顶点。
例2 求
4
1 i.
2 co s i sin , 4 4
[解] 因为
1 i
所以
2 k 2 k 2 cos 4 i sin 4 4 4