0
类似TM波的方法可以得到：
Hz
H0J
m
(kc
r
)
cos
sin
m m
e
z
其中：H0 由激励条件确定， kc 由边界条件确定。
圆柱形波导中TE波的横向场分量由下式推到：
Et
j
kc2
(aˆz
t
Hz
)
Er
jm
kc2r
H0
J
m
(kc
r
)
sin m
cos
m
e
z
E
j
kc
H0
J
m
(kc
r
)
cos sin
因为 J0(x) J1(x) 所以 0n v1n
由边界条件，当 r a 时 Ez 0
Jm(kca) 0
可得： kc vmn a
vmn 为m 阶第一类Bessel函数的第 n 个根
圆柱形波导中TM波的横向场分量由下式推到：
Et
1 kc2
(t Ez )
Er
j
kc2
E0
J
m
(
kc
r
)
cos m sin m
e
z
E
j m
kc2
E0
J
m
(
kc
r
匀理想介质。
x
横截面的尺寸为 r a
z
特点：圆柱形波导结构对称，制作方便。
2. 传输波型及场分量的表达式
（1）TM波：
1 r
r
(r
Ez r
)
1 r2
2Ez
2
kc2 Ez
0
采用分离变量法求解，设 Ez (r,) R(r)()
代入方程，可分离出常微分方程：
d2 d 2
m2
0
d2R dr 2
1 r
m m
e
z
Ht
1 kc2
(t Hz )
Hr
j
kc
H0J
m
(kc
r
)
cos sin
m m
e
z
H
j m
kc2r
H0
J
m
(kc
r
)
sin m cos m
e
z
其中：Jm 为m阶Bessel函数的导数。
由边界条件，当 r a 时 E 0
E
j
kc
H0
J
m
(kc
a)
cos m sin m
波传播方向
(2) TM01模
TM01模是TMmn波中的最低模，场分量表达式为：
Er
j a
2.405
E0J1
(
2.405 a
r)e z
Ez
E0
J
0
(
2.405 a
r)e z
H
j a
2.405
E0J1
(
2.405 a
r
)e
z
Hz Hr E 0
壁电流为： Jz H ra
场分布：
壁电流:
Jz H ra
dR dr
(kc2
m2 r2
)R
0
Bessel方程
d2 d 2
m2
0
的解为：
C1
cos m
C2
sin
m
C
cos m
sin
m
其中： m 0,1, 2,...
根据场的单值条件，所以 应该以2 为周期的周期函数。
d2R dr 2
1 r
dR dr
(kc2
m2 r2
)R
0
的解为：
m 阶第一类Bessel函数
第7章 规则波导和空腔谐振腔
第一讲：规则波导中电磁波的一般特性 第二讲：矩形波导的传输特性 第三讲：矩形波导主模的传输特性 第四讲：圆柱形波导的传输特性 第五讲：空腔谐振器
1. 圆柱形波导的概念
圆形波导：指横截面为圆形的导体管道。
y
假设：波导管沿 z 方向均匀无限长，
管壁为理想导体，管内填充均
ar
给定波长，则波导的尺寸应满足
a
3.41 2.61
通常选： a / 3
（2）传播常数
不论是TE波还是TM波，传播常数均为： kc2 k2
其中： TM波
kc
vmn a
TE波
kc
mn
a
m 阶第一类Bessel函数的第 n 个根 m 阶第一类Bessel函数导数的第 n 个根
相位常数： j
k2 kc2
（3）相速和群速
相速： vp v / 1 ( / c )2
可见：波导中的相速大于自由空间的波束； 相速是频率的函数，说明波导系统是色散传输系统； 相速是m,n的函数，说明相速与传播模式有关。
群速： vg v 1 ( / c )2
可见： vvvg v2
（4）圆波导的简并
4、圆柱形波导的传输特性
TE波 c 2 a / mn
（1）截止波长
TM波 c 2 a / vmn
截止频率
TE波 fc mn / (2 a ) TM波 fc vmn / (2 a )
圆波导中各模式的截止波长
波型
c
波型
c
TE11
TM01
TE21
TE01 TM11
TE31
TM21
3.413a 2.613a 2.057a 1.640a 1.496a 1.223a
)
sin m
cos
m
e
z
Ht
1 kc2
(
j aˆz
t Ez )
Hr
j m
kc2
E0 J m
(kc
r)
sin m
cos
m
e
z
H
j
kc
E0
J
m
(kc
r
)
cos
sin
m m
e
z
其中：Jm 为m阶Bessel函数的导数。
（2）TE波：
1 r
r
(r
Hz r
)
1 r2
2Hz
2
kc2 H z
R AJm(kcr) BNm(kcr)
m阶第二类Bessel函数， 或叫纽曼函数
第一类Bessel函数
第二类Bessel函数
由于波导中场有限，而 x 0时 Nn(x)
因此只能选取第一类Bessel函数。
所以：
Ez
E0
J
m
(kc
r
)
cos
sin
m m
e
z
其中：E0 由激励条件确定， kc 由边界条件确定。
(
1.841 a
r
)
cos
sin
e
z
Ez 0
Hr
ja
1.841
H0J1
(
1.841 a
r
)
cos
sin
e
z
H
j a2
(1.841)2 r
H0J1
(
1.841 a
r
)
sin
cos
e
z
Hz
H0
J
1
(
1.841 a
r
)
cos sin
e
z
场分布：
壁电流为：
J Hz ra Jz H ra
波传播方向
(3) TE01模 TE01模场分量表达式为
E
ja
3.832
H0J1
(
3.832 a
r
)e
(
j t

z
)
Hr
ja
3.832
H0
J1
(
3.832 a
r
)e(
j
t
z
)
Hz
H0
J0
(
3.832 a
r
)e
(
j
t
z
)
Ez Er H
壁电流为： J Hz ra
场分布：
壁电流:
J Hz ra
波传播方向
TE41
TE12
TM02 TM31
TE22
TE02 TM12
1.81a 1.179a 1.138a 0.985a 0.937a 0.896a
圆波导的截止波长分布图
可见：圆波导中 TE11模的截止波长最长，称为主模。c TE11 3.413a
实现单模传输的波长范围为：
2.61a (c TM01 ) 3.41a (c TE11 )
e
(
jt
z
)
0
Jm (kca) 0
可得： kc mn a
mn 为m 阶第一类Bessel函数导数的第 n 个根
3、圆柱形波导中的主要模式
(1) TE11模
TE11
模 的 场 分 量
Er
ja2
(1.841)2 r
H0
J1
(
1.841 a
r
)
sin cos
e
z
E
ja
1.841
H0J1