第一课时辅导讲义
4、圆周角定理及其推论（重点）
同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。

推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三
角形。

即：在△ABC中，∵OC=OA=OB
∴△ABC是直角三角形或∟C=90°
5.垂径定理的应用（难点）
（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的的弧，
垂径定理的表现形式：如图5-2-8所示，
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：
①AB是直径②AB CD
⊥③CE DE
=④弧BC=弧BD⑤弧AC=弧AD
中任意2个条件推出其他3个结论。

C
B A
O
O
E
D
C
B
A
考点一：圆心角，弧，弦的位置关系
例1、（2006•）如图，BE是半径为6的圆D的1/4圆周，C点是BE上的任意一点，△ABD是等边三角形，则四边形ABCD的周长P的取值围是（）
例2、有下列说法：①等弧的长度相等；②直径是圆中最长的弦；③相等的圆心角对的弧相等；④圆中90°角所对的弦是直径；⑤同圆中等弦所对的圆周角相等．其中正确的有（）
例3、（2007•）如图，AB是⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出下列五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧AE是劣孤DE的2倍；⑤AE=BC．其
中正确结论的序号是
例4.（2005•江）如图所示，⊙O半径为2，弦BD=2√3，A为弧BD的中点，E为弦AC的中点，且
在BD上，则四边形ABCD的面积为
考点二：圆周角定理
例1如图，三角形ABC中，∠A=60°，BC为定长，以BC为直径的⊙O分别交AB，AC于点D，E．连接DE，已知DE=EC．下列结论：①BC=2DE；②BD+CE=2DE．其中一定正确的有（）
例2、（2011•）一个圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长100m，测得圆周角
∠ACB=45°，则这个人工湖的直径AD为（）
例3、（2010•）如图，MN是⊙O的直径，MN=2，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为AN^的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（）
、
例4、如图AB是⊙O的直径，AC^所对的圆心角为60°，BE^所对的圆心角为20°，且∠AFC=∠BFD，
∠AGD=∠BGE，则∠FDG的度数为（）
考点三：垂径定理
1、（2010•大田县）如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴相切于点Q，与y轴交于M（0，2），N（0，8）两点，则点P的坐标是（）
A、（5，3）
B、（3，5）
C、（5，4）
D、（4，5）
2、（2010•潍坊）已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8m，OC=5m，则DC的长为（）
A、3cm
B、2.5cm
C、2cm
D、1cm
3、（2009•）如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，
CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为多少？
4、已知：如图，∠PAC=30°，在射线AC上顺次截取AD=3cm，DB=10cm，以DB为直径作⊙O交射线AP于E、F两点，求圆心O到AP的距离及EF的长．
5、如图所示，⊙O的直径AB和弦CD交于E，已知AE=6cm，EB=2cm，∠CEA=30°，求
CD．
6、如图，△OAB中，OA=OB，以O为圆心的圆交BC于点C，D，求证：AC=BD．
考点四：垂径定理的应用
1、（2009•）一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是多少？
2（2006•）如图，底面半径为5cm的圆柱形油桶横放在水平地面上，向桶加油后，量得长方形油面的宽度为8cm，则油的深度（指油的最深处即油面到水平地面的距离）为多少？
3、（2008•黄冈）如图是“明清影视城”的圆弧形门，黄红同学到影视城游玩，很想知道这扇门的相关数据．于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=20cm，
BD=200cm，且AB，CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮助黄红同学计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少？
5、如图，圆柱形水管原有积水的水平面宽CD=20cm，水深GF=2cm．若水面上升2cm（EG=2cm），则此时水面宽AB为多少？
针对性练习
1、（2004•）如图，D、E分别是⊙O的半径OA、OB上的点，CD⊥OA，CE⊥OB，CD=CE，则AC^与CB^弧长的大小关系是
2、如图，已知AB是⊙O的直径，PA=PB，∠P=60°，则弧CD所对的圆心角等于度．
3、（2009•）如图，在⊙O中，D、E分别为半径OA、OB上的点，且AD=BE．点C为弧AB上一点，连接CD、CE、CO，∠AOC=∠BOC．
求证：CD=CE．
4、（2011•）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB=40°，则∠A的度数等于（）
5、（2011•）如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，若∠C=40°，则∠ABD的度数为（）
6、（2005•）如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，D、E是⊙O上两点，则∠D= 度，∠E= 度
7、在△ABC中，∠A=150°，BC=6cm，则△ABC的外接圆的半径为cm．
8、如图，P是直径AB上一点，且PA=2，PB=6，CD为经过点P的弦，那么下列PC与PD的长度中，
符合题意的是（）
9、如图，在圆O中，直径AB=10，C、D是上半圆AB^上的两个动点．弦AC与BD交于点E，则AE •AC+BE•BD=
10、（2008•荆州）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，⊙A与x轴相切于B，与y轴交于C（0，1），D（0，4）两点，则点A的坐标是（）
11、（2003•）如图所示，AB是⊙O的弦（非直径），C、D是AB上的两点，并且AC=BD．
求证：OC=OD．。