圆1
一、知识点
1、旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是
中心对称图形，对称中心是圆心.
在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.
2、轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.
3、圆是轴对称图形，经过圆心的每一条都是它的对称轴。
（因为直径是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”或说成：“圆的对称轴是经过圆心的每一条直线”。
）
4、、垂径定理：垂直于弦的直径这条弦，并且弦所对的弧。
（这里的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线或线段，其本质是过“圆心”。
）
5、推论：（1）平分弦（不是直径）的直径，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径，弦且平分弦所对的另一条弧。
推论：圆的两条平行弦所夹弧。
6、与圆有关的角
(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.
圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.
(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.
圆周角的性质：
①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.
②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.
③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.
④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.
7、垂径定理及推论：
①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.
④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.
⑤平行弦夹的弧相等.
二、例题
(泸州市2008年)如图1，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，点P在劣弧CD上不同于点C得到任意一点，则∠BPC的度数是（）
A．45 B．60 C．75 D．90
2．(PA切⊙O于A，PO交⊙O于B，若PA=6，PB=4，则⊙O的半径是（）`
A
．
5
2
B．
5
6
C．2 D．5
3、(南京市2008年)如图3，已知O的半径为1，AB与O 相切于点A，OB与O交于点C，
OD OA
⊥，垂足为D，则cos AOB
∠的值等于（）
A．OD B．OA C．CD D．AB
）
4、(威海市2008年)如图，⊙O的半径为2，点A的坐标为（2，3
2），直线AB为⊙O的切线，B为切点．则B点的坐标为
A．⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
5
8
2
3
,B．()13,
- C．⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
5
9
5
4
,D．()3
1,
-
5、(2009年潍坊)已知圆O的半径为R，AB是圆O的直径，D是AB延长线上一点，DC是圆O的切线，C
是切点，连结AC，若，则BD的长为（）
A．B．C．D．
6、（09湖南邵阳）如图，AB是圆O的直径，AC是圆O的切线，A为切点，连结BC交圆O于点D，
连结AD，若45
ABC
∠=°，则下列结论正确的是（）
A．
1
2
AD BC
= B．
1
2
AD AC
= C．AC AB
> D．AD DC
>
7．如图，在⊙O中，弦BC15
∶AB AB BC CD
==50AC
ABC
∆AB O60,70
B C
∠=∠=BOD
∠AB O C
OA OB
=O4,8
AB=OB sin A A B C O//
AB OC
（1）求证：AC平分OAB
∠.
|
（2）过点O作OE AB
⊥于点E，交AC于点P. 若2
AB=
30
AOE
∠=︒，求PE的长．
30
CAB
∠=°
2R3R R
3
2
R
~
A
B
C
O D x
y
O1
1
B
A
C
B
A O
M
B
A
D
C
E
C
、
B
D
O
A
O
P
B
D
E
O
B
C
、
18、（2010湖北荆门）如图，圆O 的直径为5，在圆O 上位于直径AB 的异侧有定点C 和动点P ，已知BC ：CA =4：3，点P 在半圆弧AB 上运动（不与A 、B 两点重合），过点C 作CP 的垂线CD 交PB 的延长线于D 点． （1）求证：AC ·CD=PC ·BC ；
（2）当点P 运动到AB 弧中点时，求CD 的长；
（3）当点P 运动到什么位置时，△PCD 的面积最大并求出这个最大面积S 。
{
巩固练习
一、选择题： ·
1、下列命题中正确的是（ ）
A 、平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
B 、弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦；
C 、若两段弧的度数相等，则它们是等弧；
D 、弦的垂线平分弦所对的弧。
2、如图，⊙O 中弦AB ⊥CD 于E ，AE ＝2，EB ＝6，ED ＝3，则⊙O 的半径为 。
3、在半径为5cm 的⊙O 中，有一点P 满足OP ＝3 cm ，则过P 的整数弦有 条。
第23题图
A
4、已知⊙O 的半径为10cm ，弦AB ∥CD ，AB ＝12 cm ，CD ＝16 cm ， 则AB 和CD 的距离是（ ） A 、2cm B 、14cm C 、2cm 或14cm D 、2cm 或12cm
5、圆内一弦与直径相交成300
的角，且分直径为1 cm 和5 cm 两段，则此弦长为 。
6、如图，如果⊙O 的半径为2，弦AB =23 ）
A ．
1
2
3 Ｃ．1 27、（2010福建省南平）如图，⊙O 的直径AB 长为6，弦AC 长为2，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，求四边形ADBC 的面积.
8、（2009柳州）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是弧BD 的中点，CE⊥AB，垂足为E ，BD 交CE 于点F ． （1）求证：；
（2）若，⊙O 的半径为3，求BC 的长．
—
9、（2010浙江金华）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是
的中点，CE ⊥AB 于 E ，BD 交CE 于点F ．
（1）求证：CF ﹦BF ；（2）若CD ﹦6， AC ﹦8，则⊙O 的半径为 ，CE 的长是 ．
•第2题图
E
O
D C
B
A
CF BF =2AD =·
A
B
C
O
!
A
B
A
O
/
10、（2009年广州市）如图，在⊙O 中，∠ACB=∠BDC=60°，AC=cm 32，
(
（1）求∠BAC 的度数； （2）求⊙O 的周长
11、D 是△ABC 中BC 边上中点，且AD ⊥BC 延长AD 交其外接圆于E 。
（1）求证AB 2
＝AD ·AE 。
变式思考（1）：若△ABC 是等边三角形，D 是△ABC 中BC 边上任一点（如图2）①结论AB 2
＝AD ·AE 还成立吗②若△ABC 外接圆半径为6，你能求出AD ·AE 的值来吗 变式思考（2）：D 若与B ，C 重合情况又如何 变式思考（3）：若D 为BC 的延长线上任一点（如图3）。
①结论AB 2
＝AD ·AE 还成立吗
②若△ABC 外接圆半径为6，你能求出AD ·AE 的值来吗
C
B
A
O
D
图1
图2
D
A
E
C
B
A
C D
E
图3。