数学方法之换元法篇
通过换元法可以把未知问题化为已知问题，把抽象问题化为具体问题，把较复杂的问题化为简单问题. 通过问题化为具体问题，把较复杂的问题化为简单问题. 通过换元可以清楚的认识问题的实质，迅速寻找和选择解决问题的途径的方法. 根据数式的特点常见的换元法有：（1）整体换元；（2）平均数换元法；（3）比值换元法；（4）三角代换法；（5）不等量换元法；（6）根式换元法；（7）倒数换元法；（8）相反数换元法；（9）坐标换元法等等.
一、整体换元
例1：求函数x x x x y cos sin cos sin ++=的最大值. 解析：设
••
t x x •y x x t .21
cos sin ),22(cos sin 2-=•≤≤-+=则
•
t t t y .1)1(2
12122-+=+-=故 当.22
1
,2max
+==
••y
•t 时
二、三角换元
例2：求函数2
5x x y -+=的值域. 解析：令••••x ],2
,2[,sin 5π
πθθ-
∈=
).
4
sin(10cos 5sin 5|cos |5sin 5π
θθθθθ+=+=+•=y 则 因为
2
2
π
θπ
≤
≤-
，所以
.4
34
4
π
π
θπ
≤
+
≤-
所以1)4
sin(22≤+≤-
πθ，得
10
)4
sin(105≤+
≤-π
θ
所以函数的值域为[10
,5•-
]. 三、平均数换元法
例3：
已知
正
数
.4
25
)1)(1(:,1,≥++=+y y x x •••y x y x•求证满足 证明：由题意可知x ，y 的平均数为2
1，令x =21+θ，y =21-θ（-21<θ<2
1）, 则
.4
11625
23)
1)(1()1)(1(22422θθθ-+
+=
++=++xy
y x y y x x 显然分子
的值大于等于1625
，
分母的值大于0小于等于4
1，从而得证. 四、比值换元
例4：已知x ，y ，z 满足x -1=3
2
21-=
+z y ，试问实数x ，y ，z 为何值时，x 2+y 2+z 2达到最
小值
解析：由比例可以设t z y x =-=+=-32
2111，则 222z y x ++2
2)12()1(-++=t t +.
61014)
23(22
++=+t t t 当14
5
-=t 时，即149=x ，712-=y ，2
22
,14
13
z y ••x
z ++=时达到最小
值.
五、根式换元
例5：求函数y =2x +x
21-的值域.
解析：设t =x
21-≥0，则x =2
12
t -，f
(t )=)
0(2
1
2
12
≥++-t t t
，由二次函数的图象可以知
f (t )≤1，所以原函数的值域是(].1,•••
∞- 六、不等量换元
例6：求证：4
7)
1(113121112
2
3
2
2
<
++++++n n Λ.
证明：对通项公式进行变形
)1
111(21)1)(1(111122+--•=+-=-<k k k k k k . 令k =2，3，…
n ，n +1
，则
47)2111211(211)1(113121112
2322<
+-+-++<++++++n n n n Λ.。