初中数学因式分解中的换元法学法指导
徐卫东 刘建英
因式分解是初中数学的重要内容之一，是多项式乘法的逆运算，在代数式的化简、求值、解方程等领域中都有着广泛、直接的应用。
但当一个多项式的项数、字母较多，次数较高或还含有代数式乘积的项时，结构复杂，容易造成思路混乱，这时可对多项式中某些相同的部分设辅助元代换，达到减少项数、降低次数，便于分解因式。
把复杂、繁难的问题变得简单、容易的目的。
举例简解如下。
一、整体换元
例1 因式分解.2)1x x ()1x x (2424--++-+
解：设A 1x x 24=-+，原式)1x x )(2x x ()2A )(1A (2A A 24242++-+=+-=-+= ).
1x x )(1x x ()2x )(1x )(1x (]x )1x )[(2x )(1x ()x 1x 2x )(2x x (2222222222424+-+++-+=-++-=-++-+=
例2 若βα、是方程0c bx x 2=++的两根。
因式分解.c ]c x )1b (x [b ]c x )1b (x [222++++++++
解：因为βα、是方程0c bx x 2=++的两根，所以.c ),(b αβ=β+α-=
设A c x )1b (x 2=+++，原式).A )(A (A )(A c bA A 22β-α-=αβ+β+α-=++= 但-αβ+β-α-+=α-αβ+β-α-+=α-+++=α-x x x x x )1(x c x )1b (x A 222 ),x )(1()1x ()1x (x )x ()x x x (2α-+β-α=+β-α-+β-=α+αβ-α-+β-=α
同理),x )(1x (A β-+α-=β-
所以原式).1x )(1x )(x )(x (+β-+α-β-α-=
二、局部换元
例3 因式分解.14)8x 5x )(5x 5x (22-++-+
解：设,A x 5x 2=+
原式14)8A )(5A (-+-=
).
9x 5x )(6x )(1x ()
9x 5x )(6x 5x ()
9A )(6A (54
A 3A 2222+++-=++-+=+-=-+=
例4 因式分解.x )6x 5x )(6x 7x (222+++++
解：设A 6x 5x 2=++，原式.)6x 6x ()x A (x Ax 2A x )x 2A (A 222222++=+=++=++=
三、局部分解后，重组再换元
例5 因式分解.91)9x )(35x 4x 4(22----
解：原式91)]3x )(5x 2[()]3x )(7x 2[(91)3x )(3x )(5x 2)(7x 2(--+⋅+-=--++-= ,A 21x x 291)15x x 2)(21x x 2(222=-------=设原式91A 6A 91)6A (A 2-+=-+= )8x x 2)(7x 2)(4x ()8x x 2)(28x x 2()13A )(7A (222--+-=----=+-=
例6 因式分解2x 3)12x )(10x )(16x )(5x (4-++++
解：原式)60x 16x )(60x 17x (4x 3)]10x )(6x )][(12x )(5x [(4222++++=-++++= .x 32-
设A 60x 16x 2=++，原式)x 3A 2)(x A 2(x 3Ax 4A 4x 3)x A (A 4222+-=-+=-+= )120x 35x 2)(8x )(15x 2()120x 35x 2)(120x 31x 2(222++++=++++=
注：这里分解后重组的目的是为了寻找整体或局部换元的可能。
四、多元换元
例7 因式分解).xy 2y x )(2y x ()1xy (2-+-++-
解：设,B x y ,A y x ==+
原式)B 2A )(2A ()1B (2--+-=
2
2
2
22222)y x 1xy ()A 1B (A )1B (A 2)1B (B
4AB 2A 2A 1B 2B )
B 4AB 2A 2A ()1B (--+=-+=++-+=+--++-=+--+-=
例8 因式分解.)y x )(a b ()y x 2)(b a (22--++-
解：设,C y x ,B y x 2,A b a =-=+=-
原式)y x y x 2)(b a ()C B )(C B (A )C B (A AC AB 2222-++-=-+=-=-=
)y 2x )(b a (x 3)y x y x 2(+-=+-+
例9 因式分解)c b a (b )b c a )(c b a (a )b a c )(a c b )(c b a (-++-+-++-+-+-+ ).a c b )(b c a (c )a c b (-+-++-+
解：设.C b a c ,B a c b ,A c b a =-+=-+=-+注意到+-+=++)c b a (C B A
.a 2A C ,c 2C B ,b 2B A ,c b a )b c a ()a c b (=+=+=+++=-++-+ 所以原式+++=⋅++⋅++⋅++
=)C A (AC ABC 2[2
1BC 2C B AB 2B A AC 2C A ABC )C B (A [2
1)]C B (BC )C B A (AB )C B A (AC [21)]C B (BC )B A (AB +=+++++++=+++ )BC AC AB A )(C B (2
1]BC )C B A (A )[C B (21)]C B (BC )C B A (2++++=++++=++++.abc 4c 2b 2a 22
1)C A )(B A )(C B (21=⋅⋅=+++= 注：类似例7、8、9等，不能展开，否则将不堪繁琐，难以继续分解。
由上述数例可知，比较复杂的多项式因式分解，需综合应用多种分解方法，而换元法是一种行之有效的手段，在换元分解结束后，必需把原代换的代数式代换回来，恢复成原字母的分解式。